X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIO: A CONSTRUÇÃO DE ALGUNS
CONCEITOS
Resumo: Esse trabalho apresenta como foram desenvolvidas algumas atividades para a
introdução do estudo da Trigonometria em quatro turmas da 2ª série do Ensino Médio de
uma escola pública. O objetivo dessas atividades é a construção de forma significativa de
alguns conceitos trigonométricos através da participação ativa dos alunos, levando-os à
formulação de conceitos e ao estabelecimento de possíveis relações.
Palavras-chave: trigonometria; construção; conceitos.
O ensino da trigonometria
As origens da Trigonometria remontam aos trabalhos de Hiparco de Nicéia, século
II a.C., embora existam traços anteriores de seu uso. Porém, seu desenvolvimento se deu
principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e
Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. Se
considerarmos o termo trigonometria como “medidas do triângulo” sua origem data do
segundo ou terceiro milênio antes de Cristo.
Segundo a Wikipédia (2010), o desenvolvimento da trigonometria não é obra de um
só homem ou nação. Sua história tem milhares de anos e faz parte de todas as grandes
civilizações. Desde os tempos de Hiparco até os tempos modernos, não havia termos como
"razão" trigonométrica. Ao invés disso, os gregos e depois os hindus e os muçulmanos
usaram linhas trigonométricas que tomaram a forma de cordas e mais tarde meias cordas,
ou senos. Essas cordas e linhas de senos então seriam associadas a valores numéricos,
possivelmente aproximações e, listados em tabelas trigonométricas
Os educadores, em sua prática pedagógica, têm a oportunidade de verificar que os
alunos apresentam mais dificuldades em determinados conteúdos matemáticos. A
aprendizagem em Trigonometria tem se constituído um obstáculo pedagógico, pois alunos
que não conseguem alcançar níveis de aprendizagem satisfatórios tendem a criar certa
aversão pelo conteúdo.
Trabalhos como o de Brighenti (1994) apontam para o fato de que até mesmo
alunos no início do ensino superior não conseguem aplicar os conceitos de seno e cosseno
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estudados no triângulo retângulo e utilizam de forma inadequada a relação entre os catetos
e a hipotenusa.
Para evitar tal fato é necessário mudar a prática, pois não é suficiente apresentar aos
alunos os conceitos já sistematizados, eles devem participar da construção desses
conceitos.
Desenvolver um determinado conteúdo baseado em atividades pressupõe que a
aprendizagem se constitui através da construção das noções matemáticas, da discussão dos
resultados obtidos e da elaboração final dos conceitos que estão sendo construídos. Em
nossas escolas, na maioria das vezes, não é dada ao aluno a oportunidade de refletirem e
questionarem sobre os conceitos estudados. Os alunos estão acostumados a repetirem
mecanicamente exercícios semelhantes aos exemplos dados pelo professor, sem muito
significado.
Segundo Costa (1997) uma seqüência didática que privilegia a resolução de
problemas e coloca o aluno numa posição de ação e de tomada de decisões facilita o
entendimento e o processo de construção do conhecimento.
Ainda, segundo a autora, os alunos encontram muita dificuldade em entender a
nova medida de unidade de ângulos, o radiano, uma vez que está ligada a um arco do ciclo
trigonométrico.
Em nossa prática, também podemos verificar a dificuldade dos alunos em
identificar, no ciclo trigonométrico, arcos diferentes com mesma origem e mesma
extremidade.
Diante das dificuldades manifestadas por muitos estudantes em compreender
significativamente conceitos da trigonometria e pelo desafio de reverter os resultados
negativos dessa aprendizagem que, na maioria das vezes, ocorre pela memorização de
fórmulas sem nenhum sentido ou significado, devemos refletir sobre nossa prática em sala
de aula.
É necessário investigar sobre a maneira como o aluno aprende determinado
conteúdo, analisar suas dificuldades, consultar quais são as suas necessidades e relacionar
o conteúdo com a prática.
Cabe a nós, professores, a organização de uma metodologia que julgamos mais
adequada ao grupo que iremos trabalhar, escolhendo situações que tenham significado para
os alunos e selecionando o material de apoio a ser usado.
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As atividades desenvolvidas
No início desse ano letivo de 2010, me deparei com quatro turmas da 2ª série do
Ensino Médio de uma escola pública. Esses alunos vinham de sete diferentes turmas da 1ª
série do período matutino, porém, devido à retenção de muitos alunos apenas quatro
turmas de 2ª série foram formadas nesse mesmo período. Ao conhecer cada turma fiz
alguns questionamentos sobre os conteúdos vistos na série anterior e pude constatar que
estava diante de salas bem heterogêneas.
Em todas as salas os alunos utilizaram o material distribuído pela Secretaria de
Educação do Estado de São Paulo constituído por quatro cadernos que devem ser vistos ao
longo dos quatro bimestres do ano letivo, porém tiveram diferentes professores de
matemática e alguns não conseguiram terminar o conteúdo previsto nesse material para a
1ª série, ou seja, muitos alunos não tiveram oportunidade de conhecer o caderno 4 que
apresenta os seguintes conteúdos:
• Razões trigonométricas nos triângulos retângulos;
• Polígonos regulares: inscrição, circunscrição e pavimentação de superfícies;
• Resolução de triângulos não retângulos: Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.
O início dos trabalhos que devem ser realizados para o 1º bimestre da 2ª série inclui
identificar o conhecimento que os alunos construíram na série anterior, já que esse trabalho
se inicia com os seguintes conteúdos:
• Fenômenos periódicos;
• Funções trigonométricas;
• Equações e inequações;
• Adição de arcos.
Ao perceber que as razões trigonométricas não foram apresentadas a muitos alunos,
resolvi preparar atividades que pudessem levá-los à construção desses conceitos, pois
experiências anteriores me mostraram as dificuldades dos alunos em entender os conceitos
trigonométricos quando o professor é apenas um expositor e o aluno um expectador
passivo dessa exposição. Acredito ser fundamental estar bem consolidada a base conceitual
de proporcionalidade para iniciar o estudo das funções trigonométricas, pois o estudo da
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trigonometria apresenta a importante característica de estabelecer ligação entre o eixo
‘Geometria e Medidas’ e o eixo “Números e Funções’.
O ponto de partida foi a revisão/construção dos conceitos das razões
trigonométricas no triângulo retângulo, para os quais os conceitos de Semelhança de
triângulos e Proporcionalidade eram necessários. O objetivo a ser alcançado era que os
alunos determinassem a altura de árvores, de andares superiores da escola, comprimento de
rampas, que usualmente chamamos de medidas inacessíveis.
Inicialmente, através da construção de vários triângulos retângulos semelhantes e
da relação entre as medidas de seus lados podemos levar os alunos à construção dos
conceitos de razão trigonométrica no triângulo retângulo para só depois apresentarmos os
nomes das razões trigonométricas e sua representação através das fórmulas.
A representação das atividades propostas através de esquemas gráficos facilitou o
entendimento dos alunos e a participação deles nesse processo de construção do
conhecimento permitiu que saíssem da posição de meros ouvintes para especuladores e
produtores do próprio conhecimento. Muitos alunos que já tinham conhecimento das
fórmulas chegaram a dizer que finalmente tinham entendido o significado de ‘seno ‘,
‘cosseno’ e ‘tangente’.
O próximo passo foi a passagem das razões trigonométricas para o ciclo
trigonométrico. Foi pedido para que eles construíssem uma circunferência de raio unitário
cujo centro seria a origem do plano cartesiano. Posteriormente, utilizando o Teorema de
Pitágoras, os alunos puderam verificar que, se a medida da hipotenusa for unitária (raio da
circunferência), os catetos opostos e adjacentes são iguais ao seno e ao cosseno do
respectivo ângulo, e assim chegaram à relação trigonométrica fundamental sen2 α + cos2 α
= 1, sendo α o ângulo em questão. Assim, foi possível iniciar o trabalho com as razões
trigonométricas no primeiro quadrante.
Acredito que tal forma de explorar esse conteúdo, através dos conceitos já
concebidos no triângulo retângulo, fez com que os alunos tivessem uma aprendizagem
significativa da passagem para o ciclo trigonométrico apropriando-se da idéia do eixo x
como representação da variação dos valores do cosseno e do eixo y como representação da
variação dos valores do seno.
A apresentação da tangente dos arcos nesse mesmo quadrante foi desenvolvida de
maneira análoga.
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Para ampliar os conceitos estudados para arcos maiores que 90°, ou seja, arcos
contidos na primeira volta do ciclo trigonométrico, faz-se necessário que os alunos
conheçam e trabalhem com as duas unidades de arcos mais utilizadas: o grau e o radiano.
Atividades realizadas com outras turmas me mostraram a dificuldade que os alunos
têm em compreender a unidade de medida ‘radiano’ pois, até então, todos os ângulos
tinham suas medidas dadas em ‘graus’. Para a compreensão dessa nova unidade de medida,
pedi aos alunos que construíssem algumas circunferências de diferentes tamanhos. Depois,
eles deveriam marcar o raio de cada uma delas e com o auxílio do compasso verificar
quantas vezes a medida do raio ‘cabe’ no comprimento da circunferência. Após algumas
medições os alunos compreenderam a correspondência entre um arco de medida igual ao
raio e sua medida em graus. Assim, ao dizer a eles que o radiano é um arco unitário cujo
comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência no qual está contido foi
aceito de forma natural, ao contrário de outras vezes que abordei tal assunto de forma
expositiva.
As relações entre arcos de medidas 180° ou π radianos, 360° ou 2π radianos
passaram a ser utilizadas nas atividades que exigiam tais transformações. É importante
ressaltar que alguns alunos também fizeram observações sobre o valor aproximado de π,
dizendo que ao utilizar o compasso com a medida do raio chegavam a ‘3 raios e mais um
pouquinho’ no arco de 180°, relacionando tal medida a um número real (3,1415...).
Novas atividades, seguindo esse mesmo processo de construção dos conceitos,
serão desenvolvidas para dar continuidade a esse estudo.
Durante a execução das atividades é possível diagnosticar algumas concepções e
dificuldades dos estudantes. Nesse momento o papel mediador do professor é muito
importante para a condução dos próximos passos.
Cabe também relatar a participação e o interesse da maioria dos alunos durante a
realização das atividades num ambiente favorável à aprendizagem onde a interação entre
professor e alunos e alunos entre si favoreceu o bom resultado do trabalho.
REFERÊNCIAS
BRIGHENTI, M. J. L. Ensino e Aprendizagem da Trigonometria: Novas Perspectivas
da Educação Matemática. Dissertação de Mestrado, UNESP/Rio Claro, 1994.
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COSTA, N. M. L. Funções Seno e Cosseno: Uma seqüência de ensino a partir dos
contextos do “mundo experimental” e do computador. Dissertação de Mestrado, PUC/SP,
1997.
SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do Professor – Matemática – 1ª
e 2ª séries do ensino médio – 1º e 4º bimestres. São Paulo: SEE, 2009.