Matemática
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Eduardo
Matemática | Trigonometria
Triângulo Retângulo
S eno
O posto
H ipotenusa
C osseno
A djacente
H ipotenusa
T angente
O posto
A djacente
A
c
B
c
senα =
a
b
cos α =
a
c
tgα =
b
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b
β
α
a
C
b
senβ =
a
c
cos β =
a
b
tg β =
c
Triângulo Retângulo
Tabela Trigonométrica de Valores Notáveis
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
1
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Triângulo Retângulo
Exemplo: (UFSC 2012) Um viajante sobe uma trilha com 30º
de inclinação constante a partir da base de uma árvore,
conforme a Figura 2. Após subir 25 m em linha reta e
estando em pé, o viajante verifica que seus olhos estão
no mesmo nível do topo da árvore. Se a altura do
viajante é 1,80 m e seus olhos estão a 10 cm do topo de
sua cabeça, a árvore mede 14,30 m.
x
o
sen30 =
Resolução:
25
1
x
=
⇒ x = 12,5
2 25
1,7m
25m
x
Altura = 12,5 + 1,7 = 14,2m
Incorreto
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Triângulo Retângulo
Exemplo: Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um
ângulo de 60°, uma torre na margem oposta. Quando
ela se afasta 40 m, esse ângulo é de 30°. A largura do
rio é:
a. 5 m
b. 10 m
c. 20 m
d. 20 √3 m
e. n.d.a.
y
30°
40m
60°
x
rio
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Triângulo Retângulo
30°
40m
120°
30°
60°
x
40m
rio
a. 5 m
b. 10 m
c. 20 m
d. 20√3 m
e. n.d.a.
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y
Cos60° =
1
x
=
2 40
x = 20
x
40
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Triângulo Qualquer
Definição
Para encontrar o valor de um lado ou de um
ângulo em um triângulo qualquer, são necessárias
pelo menos três informações sobre o triângulo,
onde uma delas deve ser um segmento.
A
c
B
α
β
a
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b
γ
C
Triângulo Qualquer
Lei dos Cossenos
ˆ
a2 = b2 +c2 -2.b.c.cosA
b2 = a2 +c2 -2.a.c.cosBˆ
ˆ
c2 = a2 +b2 -2.a.b.cosC
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Triângulo Qualquer
Lei dos Cossenos
Exemplo: A água utilizada na casa de um sítio é
captada e bombeada do rio para um caixa d’água a 50
m de distância. A casa está a 80 m de distância da
caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa
d’água-bomba e caixa d’água-casa é de 60º. Se
pretende bombear água do mesmo ponto de captação
até a casa, quantos metros de encanamento serão
necessários?
Caixa d’agua
80m
Casa
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60º 50m
Bomba (rio)
x
Triângulo Qualquer
Lei dos Cossenos
Caixa d’agua
80m
60º 50m
Rio
x
Casa
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x² = 50² + 80² - 2.50.80.cos60º
x² = 2500 + 6400 - 8000.cos60º
x² = 8900 - 8000.1/2
x² = 8900 - 4000
x² = 4900
x = 70m
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Triângulo Qualquer
Lei dos Senos
a
ˆ
senA
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=
b
senBˆ
=
c
ˆ
senC
= 2R
Triângulo Qualquer
Lei dos Senos
Exemplo : (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados
AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o
ângulo A vale 30º. O seno do ângulo B vale:
a. 1/2
C
b. 2/3
6
c. 3/4
8
B̂
d. 4/5
B
30º
e. 5/6
A
Resolução:
8
8
6
8
6
8 2
ˆ
=
⇒
12
=
⇒
=
⇒ senB =
=
o
ˆ
ˆ
ˆ
1
sen30
senB
senB
senB
12 3
2
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Gabarito: b
Triângulo Qualquer
Lei dos Senos
Exemplo: No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8
cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. O
seno do ângulo B vale:
a. 1/2
C
b. 2/3
6
c. 3/4
8
x
B̂
d. 4/5
B
30º
e. 5/6
A
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