CONJUNTOS NUMÉRICOS
Símbolos Matemáticos
a, b, ...
variáveis e parâmetros
=
igual
A, B, ...
conjuntos
≠
diferente
∈
pertence a
>
maior que
∉
não pertence
<
menor que
⊂
está contido
⊄
não está contido
≥
≤
maior ou igual a
menor ou igual a
⊃
contém
n!
fatorial
⊃
não contém
Σ
somatório
∃
existe
Π
produtório
∃
não existe
∞
infinito
∃|
existe apenas um / existe um único
∫
integral
|
tal que
lim
limite
∀
todo, qualquer
log
logaritmo
⇒
implica (se então)
ln
logaritmo natural (neperiano)
⇔
equivale (se e somente se)
∪
união de conjuntos
∩
interseção de conjuntos
∅
Conjunto vazio
∨
ou
∧
e
~
negação (lógica)
números naturais
números inteiros
números racionais
números reais
Propriedades das desigualdades:
a) Se a > b e b > c ⇒ a > c
Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
b) Seja a > b :
•
Se c >0 ⇒ a . c > b . c
Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
•
Se c < 0 ⇒ a . c < b . c
Ex. a = 5 , b = 3 , c = -2
c) a > b ⇒ a + c > b +c , ∀ c ∈ R
d) a > b e c > d ⇒ a + c > b + d
Ex. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4
e) Se a > b > 0 e c > d >0 ⇒ a . c > b. d
Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a origem,
independentemente do sentido.
 a , se a ≥ 0
a =
− a , se a < 0
Propriedades do Valor Absoluto
•
a ≥0
•
a2 = a
•
e
a =0
⇔
a =0
2
a2 = a
• a < b, b > 0 ⇔ - b < a < b
•  a > b, b > 0 ⇔ a > b ou a < -b
ou
• | a | = b, b > 0 ⇔ a = b ou a = -b
• Se a, b ∈ R ⇒ | a . b | = | a | . | b |
• Se a, b ∈ R , b ≠ 0 ⇒
a
a
=
b
b
• Se a, b ∈ R ⇒ | a + b | ≤ | a | + | b |
(Desigualdade Triangular)
• Se a, b ∈ R ⇒ | a | - | b | ≤ | a - b | ≤ | a | + | b |
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Introdução
Tudo que será desenvolvido está baseado nas propriedades dos números reais.
Acreditamos ser imprescindível que você tenha essas propriedades bem conhecidas.
O conjunto dos números naturais ( ) é formado pelos números 0,1,2,...
= { 0,1,2,3,...}.
O conjunto dos números inteiros ( ) é formado pelos números naturais acrescido dos
números - 1,-2,-3,... .
= { .....,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}
O conjunto dos números racionais ( ) é formado pelos números na forma a/b, onde a e
b são inteiros com b ≠ 0.
= { .....,-3,-2,-1, −
1
1
,0, ,1,2,3,....}
2
2
Utilizando o elemento genérico, podemos escrever, de modo mais simples ,
a
b

=  | a ∈ Z e b ∈ Z* 

O conjunto dos números irracionais ( I ) é formado pelos números cuja representação
decimal infinita não é periódica. Ex:
2 = 1,4142136...
3 = 1,7320508...
π = 3,1415926...
O conjunto dos números reais (
) é formado pelos números racionais e pelos números
irracionais.
= Q U I , sendo Q I I = ∅
Regras Básicas
Em
estão definidas duas operações: a adição e a multiplicação.
Para os números reais a e b associa-se um único número real, a + b, chamado soma de a e b.
Para os números reais a e b associa-se um único número real, a ⋅ b , chamado produto de a e
b.
As propriedades básicas das operações de adição e multiplicação são dadas a seguir:
•
Propriedade comutativa
Quaisquer que sejam os números reais a e b, tem-se:
a. b = b. a
a +b=b+a
•
Propriedade associativa
Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, tem-se
(a + b) + c = a + ( b + c)
•
(ab)c = a(bc)
Elemento Neutro
Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, tais que, para qualquer número real a,
tem-se:
a+0=a
•
a.1=a
Elemento oposto e elemento inverso
Existem únicos números reais, indicados
1
( a ≠ 0) (chamado inverso), tal que
a
– a ( chamado oposto) e
a + (–a) = 0
•
a.
1
=1
a
Propriedade distributiva
Quaisquer que sejam a,b e c reais, tem-se
a (b + c ) = ab + ac
(b + c) a = ba + ca
Partindo dessas propriedades, apresentaremos alguns resultados:
Cancelamento
se a + b = a + c então b = c
se ab = ac e a ≠ 0 então b = c
Anulamento
a.0 = 0, para todo a pertencente a
para quaisquer a e b de
Regras de sinal
para quaisquer a e b de
–( –a) = a
(–a)b = – (ab) = a(–b)
(–a)(–b) = ab
, se ab = 0, então a = 0, ou b = 0.
Subtração
A diferença de b e a, indicada por b – a, é definida por b – a = b + (– a), para quaisquer a e b
reais.
A regra dos sinais nos diz:
– ( a + b) = – a – b
Divisão
O quociente de b por a, onde a ≠ 0, indicado por
denominador. Também é chamado fração
b
, onde b é o numerador e a o
a
b
.
a
É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO !!
Soma de frações:
a b a ±b
± =
c c
c
(c ≠ 0)
a c ad ± bc
± =
(b ≠ 0, d ≠ 0)
b d
bd
Produto de frações:
a c
ac
⋅ =
b d bd
(b ≠ 0, d ≠ 0)
Quociente de frações:
a
b = a ⋅ d (b ≠ 0, d ≠ 0 e c ≠ 0)
c
b c
d
Bibliografia:
1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São
Paulo, 2002.
2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 1. Atual editora. São Paulo, 2000.
EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS
1) Quais das proposições são verdadeiras?
a) 3 ∈
d)
1
∈
2
b) N ⊂
e)
4 ∈
c) Z ⊂
f)
3∈
2) Complete, usando as propriedades especificadas:
a) 32 . 45 =
(comutativa)
b) 5(2 +3 ) =
(distributiva)
c) 7 + 0 =
(elemento neutro)
d) 3 .
1
=
3
(elemento inverso)
3) Efetue:
a) (-4)(-3)=..........
b) (2)(-4)(3) =..............
c) (-3)6 =...............
4) Complete com verdadeiro ou falso, para todo a real:
( ) – (– a + 3) = a + 3
( ) – (1 – a) = –1 + a
( ) –2 – a = – (2 + a)
5) Efetue:
a)
1 7
+ =
3 3
e)
8 4
⋅ =
5 3
b)
2 3
− =
5 7
f)
 1  6
−  ⋅ −  =
 3  8
2 1
c) -2 + =
3 4
d)
2 3 1
− + =
3 4 5
12
g) 10 =
3
8
−2
h) 3 =
2
7
i) Sendo bcd ≠ 0 ,
a
a
−
=
bc cd
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÈRICOS
INTRODUÇÃO:
1)a) V b) V
c) V
d) V
e) V
f) V
PROPRIEDADES
2) a) 45.32 b) 5.2 + 5.3
c) 0 + 7 = 7 d) 1
EFETUE
3) a) 12
b) – 24
c) – 18
REGRA DE SINAL
4) a) F
b) V
c) V
EFETUE
5) a)
b)
8
3
14 − 15
1
=−
35
35
c) −
8 1 −32 + 3
29
+ =
=−
3 4
12
12
d)
40 − 45 + 12 52 − 45
7
=
=
60
60
60
g)
e)
32
15
h) −
f)
1
4
i)
12 3 12 8 16
÷ =
. =
10 8 10 3 5
2 2
2 7
7
÷ =− . =−
3 7
3 2
3
ad − ab a (d − b )
=
bcd
bcd