MATEMÁTICADOENSINOFUNDAMENTALEMÉDIO
Números
Prof.ª: Rita de Cássia Pavani Lamas
Aluno: Jefferson Pereira Velasco
Objetivo
• EstetrabalhoconsisteemanalisarumlivrodoEnsinoMédionestecaso,olivrode
JoséRuyGiovanni&JoséRobertoBonjorno,elaborarumaaulasobrenúmerose
verificar se: As definições e conceitos estão bem apresentados no texto, os
exemplos esclarecem o conteúdo apresentado, se são utilizados materiais
didáticos para esclarecer ou introduzir os conteúdos, se os exercícios envolvem
aplicações no cotidiano, leitura de tabelas, leitura de gráficos e resoluções de
problemas.
ConjuntoNumérico:
• Sãoconu
j ntoscujoselementossãonúmerosquetêmag
l umacaracterísticacomum.Sãoeles:
conjuntodosnúmerosnaturais,dosinterios,dosracionais,dosirracionasi e,porfim,odosnúmeros
reais.
• Oconjuntodosnúmerosnaturasi surgiudanecessidadedesecontaremobjetos,ououtros
conjuntosforamsurgindocomoampliaçõesdaquelesanteriormenteconhecidos.
OconjuntodosNúmerosNaturais(N):
• Este conjunto é representado por: N = {0,1,2,3,4,...}
• O conjunto N pode ser representado geometricamente
por meio de reta numerada, escolhemos o ponto de
origem ao número zero, uma medida unitária e uma
orientação geralmente para a direita.
-------l----------l------------->
0
1
• Marcamos sobre a reta outros números naturais,
respeitando a medida da unidade:
-----------l----------l----------l----------l---------l--->
0
0
1
2
3
4
Subconjuntosimportantes:
• Conjuntos dos números naturais não nulos:
N* = {1,2,3,4,...} ; N* = N – {0}
• Conjunto dos números naturais pares:
Np = {0,2,4,6,...}
• Conjunto dos números naturais ímpares:
Ni = {1,3,5,7,...}
• Conjunto dos números primos:
P = {2,3,5,7,11,13,...}
Observação:
• Vm,nЄN,m+nЄNem.nЄN
• Portanto,podemosdizerqueNéfechadoemrelaçãoàadiçãoeamultiplicação.
• Omesmonãoocorrecomasubtração:embora,porexemplo,5–2=3ЄN,
nãoexistenúmeronaturalxtalquex=2–5;emoutraspalavras,oconjuntoN
nãoéfechadoparaasubtração.Poressemotivo,fez-seumaampliaçãodo
conjuntoNesurgiuoconjuntodosnúmerosinteiros.
Conjuntos dos
Números Inteiros (Z):
• Este conjunto é representado por: :
Z = {...,-2,-1,0,1,2,3,...}
• Todo elemento de N pertence também a Z, podemos
dizer que N é subconjunto de Z : N C Z.
• A representação geométrica do conjunto Z é feita a
partir da representação de N acrescentado os pontos
correspondentes aos números negativos:
----l----l----l----l----l----l----l---->
-3 -2 -1 0 1 2 3
Subconjuntosimportantes:
• Conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...} ; Z* = Z – {0}
• Conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0,1,2,3,...} ; Z+ = N
• Conjunto dos números inteiros positivos:
Z*+ = {1,2,3,4,...}
• Conjunto dos números inteiros não positivos:
Z- = {...,-3,-2,-1,0}
• Conjunto dos números inteiros negativos:
Z*- = {...,-5,-4,-3,-2,-1}
Númerosopostos:
• Dois números são opostos quando apresentam
soma zero, ou seja são equidistantes da origem,
por exemplo:
>
-------------l--------l--------l-------------2
0
2
2 + (-2) = 0
Em particular zero é oposto de zero.
Módulodeumnúmerointeiro:
• Éadistânciadonúmeroàorigem.Dizemosporexempo
l ,queomóduo
l de-2é2ede2tambémé2erepresentamosporI-2l=2el2l
=2.
Exercícios:
1-Quaisdasproposiçõesabaixosãoverdadeiras:
a)0ЄNc)-10ЄZe)(2–3)ЄZ
b)0ЄZd)NCZN
f) CZ
2-A)Quantasunidadesdevemosdiminuirde7parachegarmosa-4?
B)Quantasunidadesdevemosdiminuirde-3parachegarmosa-9?
C)Quantasunidadesdevemosdiminuirde11parachegarmosa13?
3-Cacluleovalordaexpe
rssão3–l3+l-3l+l3l
Respostas:
1) a,b,c,d,e
2) A) 11 B) 6
3) - 6
C) -2
• Concluímosapartidestesdoistópicosestudadosqueoivlroqueestamosanalisandooautorabordaoconceitodeformamuito
resumida,apenasapresentaoconjuntodosnúmerosnaturaiscomosendoN={0,1,2,3,4,.}Nãofazmençãoatodosos
subconjuntosdeNedasoperaçõesquesãodefinidas.Emrea
l çãoaosnúmerosn
i teirosoautortambémtrazadefiniçãoresumida,
nãoabordaoconceitodenúmeroopostoemódulodeumnúmero.Osexercíco
i ssãoformaisnãoexplorandoocotidianodos
alunos.
ConjuntodosNúmerosRacionais(Q):
• O conjunto Z é fechado em relação às operações de
adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não
acontece em relação à divisão, por exemplo (-12) : 4 =
-3 Є Z, mas não existe um número x para o qual se
tenha
x = 4 : (-12). Por esse motivo, foi necessário a
ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos
números racionais.
• O conjunto dos números racionais é representado por:
• Q = { 0, ±1, ±1/2, ±1/3,..., ±2, ±2/3, ±2/5,...,p/q,...}, com p
e q inteiros e q ≠ 0.
• Quando q = 1, temos p/q = p/1 = p Є Z, concluímos
então que Z é subconjunto de Q.
Diagrama:
Q
Z
N
Pelodiagramatemos:NCZCQ.OconjuntoQéfechadoparaasoperaçõesdeadição,multiplicação,subtraçãoedivisão.
Representaçãodecimal:
• Tomemos um número racional p\q, tal que p não é múltiplo de
q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão
do numerador pelo denominador.
Ex: 2/5 = 0,4
1/3 = 0,333....
• O primeiros exemplo e chamado de decimal exato e o
segundo de dízima periódica.
• Para acharmos a fração de uma dízima periódica
procedemos da seguinte maneira:
Ex: 0,555...
x = 0,555.... , multiplicando os dois
lados da igualdade por 10, temos: 10.x = 5,555..., subtraindo
a primeira igualdade da segunda, temos: 10.x – x = 5,555... –
0,555... => 9.x = 5 => x = 5 / 9.
Portanto: 0,555... = 5 / 9.
• Representação geométrica:
-------l---l-----l-----l-----l-------->
-4/3 -1 -1/2 0 1/2
Exercícios:
1- Assinale V ou F:
a) 3/4 Є Q
c) 17/9 Є Q – Z
b) 1 – 5/6 Є Q d) 62 Є Q
2- Encontre a fração geratriz de:
0,666...
e) 62/31 Є Q - Z
Respostas:
1) a) V b) V c) V d) V e) F
2) 2/3
• Olivroanalisadotrazoconceitodenúmerosracionaistambémresumidonãoexplicandoaoalunoanecessidadedeinserieste
conjunto,nãoensinatransformardízimaperiódciaemfração.Nãofazumarelaçãoentreosnúmerosnaturais,inteiroseracionais.Traz
poucosexercíciossobreoassunto.
ConjuntodosNúmerosIrracionais(I):
• Háalgunsnúmerosquenãoexisterepresentação,sãoosnúmerosdecimasinãoexatosquepossuemrepresentaçãoinfinitanão
periódica.Porexemplo:0,212112111.,nãoédízm
i aperiódicapoisosag
l arismosapósavírgulanãoserepetem.
• Outrosexemplos:√2=1,4142136.eπ=3,141592.
• Umnúmerocujarepresentaçãodecimaln
i finitanãoéperiódicaéchamadonúmeroriaco
i na.l
ConjuntodosNúmerosReais(R):
• Oconjuntoformadopelosnúmerosracionaisepelosnúmerosiracionaiséchamadoconjuntodosnúmerosreais.
R=QUI
Q
I
1\2
-0,76
-3
√3
√2
π
R
LembrandoqueNCZCQ,construímososeguintediagrama:
Q
I
Z
N
R
Subconjuntosimportantes:
1-Conjuntosdosnúmerosreaisnãonulos:
R*={xЄR/x≠0}
2-Conjuntosdosnúmerosreaisnãonegativos:
R+={xЄR/x≥0}
3-Conjuntosdosnúmerosreaispositvos:
R*+={xЄR/x>0}
4-Conjuntosdosnúmerosreaisnãopositvos:
R-={xЄR/x≤0}
5-Conjuntosdosnúmerosreaisnegativos:
R*-={xЄR/x<0}
Representaçãogeométrica:
----l----l-------l------l----l-------l-------l-------->
-π -3 -9/4 -2 -√3 -√2 - 4/3
Também usamos os conceitos de número oposto e
módulo de um número para os números reais.
Relacionando os conjuntos temos: N C Z C Q C R.
Exercícios:
1- Qual das proposições abaixo são falsas:
a) N C Z C Q
c) Q C Z
e) Q*+ ∩ Z = N
b) Z ∩ I = ǿ
d) {0} C Q
f) Q∩R=Q
2-Represente sobre uma reta orientada os números
-1, -10/3, 1/10, -3/10, 5/2, 2/5, √6 e
-0,333...
Respostas:
1- c,e
2- ----l-------l----l-----l----l---------l-----l------l------>
-10/3 -1 - 0,3...0 1/10 2/5 √6 5/2
• Nolivroanalisadooautortrazdeformaclaraeobe
j tivaoconceitodenúmerosreasi,mostraarelaçãoentreosconjuntosatravésde
diagramas,porémtrazpoucosexercícios.
Conclusão
• Concluímosnestetrabalhoqueolivroanaisladobemcomoamaiora
i dosivlrosadotadosnoEnsinoMédiopossuifalhaseconceitos
malelaborados,cabeaoprofessoradequarosconceto
i sdoautorcomosconceto
i sdeleparagarantirumaauladeboaqualidade.
ExercíciosPropostos:
1-Consd
iereosconjuntosA={xЄN/xéprimoex<20}eB={x.y/xЄA,yЄAex≠y}.OnúmerodeelementosdeBé:
a)14b)28c)36d)56e)72
2-Ovao
lrde2/0,666.é:
a)0,333.b)1,333.c)3,333.d)3e)12
3-Onúmero5120,555.é:
a)32b)16√2c)2d)√2e)5√2
4-Classifqueemverdadeirooufalsoejustifque:
a)Asomadedoisnúmerosiracionaisésempreumnúmeroiraciona.l
b)Oprodutodedoisnúmerosiracionaispodeseraciona.l
5-DetermineA∩BeAUB,sendoA={xЄN/3≤x≤7}eB={xЄN/x≤6}.
Respostas:
1-B
2-D
3-A
4-a)F;bastatomardosnúmerosiracionaisopostos
b)V;√3ЄIe√12Є,m
I as√3.√12=√3.12=√36=6ЄQ
5-A∩B={xЄN/3≤x≤6}eAUB={xЄN/x≤7}
ReferênciaBibliográficas:
• e
Izzi,G;D
. olce,O;D
. egenszajn,D.M.ePérigo,R.Matemática.Vou
l meúncio.AtualEdto
i ra
• Lima,E.L;C
. arvalho,P.C.P;W
. agner,E.eMorgado,A.C.AMatemáticadoEnsinoMédio.Vou
l me1.Quintaedição.2001.
• Giovanni,J.R.eBonjorno,J.R.Matemática.
FIM