UNIDADE V I I I
geometria
CA P Í T U LO
Banco de questões
26 Corpos redondos
1(Cesgranrio – RJ) Na figura, os cinco círculos têm
o mesmo raio e o quadrado tem seus vértices
nos centros de quatro deles. Se o quinto círculo
é tangente aos outros quatro, qual a razão entre
a área sombreada e a área não sombreada no interior dos círculos?
1
1
2
2
5
a) b ) c ) d ) e )
4
3
5
3
4
2(FGV – SP) Uma caixa aberta, em forma de cubo
com 20 cm de aresta, está cheia de esferas de
1 cm de diâmetro. Estime quantas esferas contém essa caixa.
Se a altura do tronco é 10 cm, a medida da sua
geratriz, em cm, é igual a:
a) 101
c) 103
b) 102
d)2 26
e) 105
5(FGV – SP) Uma garrafa de base e boca circulares
está parcialmente cheia de água.
Com a boca tampada, a garrafa foi virada para
baixo e, em seguida, a água foi derramada, sem
desperdício, no interior de um recipiente esférico de volume igual ao da garrafa, como mostra a
seqüência de figuras:
3(FGV – SP) Inclinando-se em 45° um copo cilín­
drico reto de altura 15 cm e raio da base 3,6 cm,
derrama-se parte do líquido que completava totalmente o copo, conforme indica a figura.
a)Sendo PQ a geratriz de um cilindro circular
reto, calcule o volume de água contida na
garrafa na situação inicial, em cm3.
Admitindo-se que o copo tenha sido inclinado
com movimento suave em relação à situação inicial, a menor quantidade de líquido derramada
corresponde a um percentual do líquido contido
inicialmente no copo de:
a)48%
b)36%
c)28%
d)24%
e)18%
4(FGV – SP) Um tronco de cone circular reto foi
dividido em quatro partes idênticas por planos
perpendiculares entre si e perpendiculares ao
plano da sua base, como indica a figura a seguir.
b)Sendo C o centro da circunferência da boca
da garrafa, AB o diâmetro do círculo determinado pelo nível de água na esfera e ABC
um triângulo eqüilátero, calcule a altura h da
calota de ar na esfera, em cm.
6(UEPB – PB) A área de um círculo máximo de
uma esfera vale 81π dm2. O volume dessa esfera
é igual a:
a)972π dm3
b)2916π dm3
c)729π dm3
d)263π dm3
e)324π dm3
MATEMÁTICA – CIÊNCIA E LINGUAGEM - Jackson Ribeiro
7(UESC – BA) Se o lado do quadrado da figura
mede x cm, então a área, em cm2, da região sombreada é igual a:
c)49 cm
d)metade do comprimento BC
e)três quartos do comprimento BC
11(UFBA – BA) Considere um prisma reto triangular regular de altura igual a 10 cm e um cilindro
circular reto de raio da base igual a r, medido em
cm, inscrito nesse prisma.
x2
a)
3 3 − 2π
12
(
b)
x2
3 3+π
12
)
c)
x2
3 3−π
12
)
(
(
)
d)
x2
3 3+π
4
)
e)
x2
3 3−π
4
)
(
(
•determine o volume da região exterior ao cilindro e interior do prisma.
8(UESC – BA) Um cone circular reto possui raio da
base e altura iguais a 3 cm e 4 cm, respectivamente. É correto afirmar que a área lateral, em
cm2, de um cilindro circular reto de raio da base
igual à terça parte do raio da base do cone e que
comporta o mesmo volume do cone é igual a:
a)24π b ) 14π c ) 12π d ) 24 e ) 12
9(Uespi – PI) A área da superfície de um lago é estimada em 62060 m2. Um estudo realizado aponta
que todo o volume de água que caiu nesse lago,
nos 15 primeiros dias de julho, foi de 640000
litros. Imaginando que toda essa água de chuva
fosse colocada no interior de um cilindro, cuja
área da base fosse metade da área da superfície
do lago, a medida inteira mais próxima da altura
que o nível da água alcançaria, em milímetros, é:
a)18 b ) 19 c ) 20 d ) 21 e ) 23
10(Uespi – PI) Em um baú de base retangular, cujas
medidas estão expressas em metros, representado pela figura abaixo, considere o polígono ABEF
como um quadrado, BC = 1, 20 m e EGF um semicírculo de diâmetro EF. Sabendo-se que o volume
,
m3, é correto afirmar que
desse baú é de 1056
sua altura AF, em centímetros, é igual a: (Para
efeito de cálculos, considere π = 3.)
12(UFC – CE) Os centros de três esferas não são
colineares. Assinale a opção que corresponde ao
maior número possível de planos tangentes a todas elas.
a)2 b ) 4 c ) 6 d ) 8 e ) 10
13(UFG – GO) A figura abaixo representa uma seringa no formato de um cilindro circular reto, cujo
êmbolo tem 20 mm de diâmetro. Esta seringa
está completamente cheia de um medicamento
e é usada para injetar doses de 6 mL desse medicamento. Com base nessas informações, determine quantos milímetros o êmbolo se desloca no
interior da seringa ao ser injetada uma dose.
14(UFMA – MA) A figura abaixo representa uma
ampulheta construída com dois troncos de cone
circular reto de bases paralelas e mesmas dimensões.
a)um número primo
b)dois terços do comprimento BC
Em função de r:
•deduza a expressão do lado do triângulo, base
do prisma;
Sabe-se que R = 3 u.c. e r = 1 u.c. No momento
inicial, o tronco inferior está vazio e o tronco superior possui uma quantidade de água no seu
interior de forma que r1 mede 2 u.c. Assim, no
momento final, quando o tronco superior estiver
vazio e toda a água estiver no tronco inferior, o
valor de r2 será:
a)2 u.c.
c) 3 20 u.c.
e)2 2 u.c.
b) 3 15 u.c.
d)1 u.c.
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15(UFMA – MA) A figura abaixo representa uma
esfera S metálica de raio R, da qual foi retirada
uma outra esfera S1 de raio r < R, concêntrica a S.
A relação entre r e R para que com esse material
sejam construídas 7 esferas de raio r é:
18(UFPR – PR) Maria produz pirulitos para vender
na feira ao preço unitário de R$ 0,80 . Ela usa formas com formato interno de cone circular reto
e costuma fazer os pirulitos colocando o doce
nessas formas até a borda. Tendo recebido uma
encomenda de minipirulitos para uma festa infantil, decidiu fazê-los colocando o doce até a
metade da altura da forma. Para manter o preço
diretamente proporcional à quantidade de doce
utilizado para produzir o pirulito, ela deve vender cada minipirulito por:
a)R$ 0,10
c)R$ 0, 20
e)R$ 0,16
b)R$ 0, 40
R
4
R3 2
b)r =
4
a)r =
R3 2
2
R
d)r =
7
c)r =
e)r =
19(UFPR – PR) O serviço de encomendas da Empresa de Correios impõe limites quanto ao tamanho dos objetos a serem postados. Considere
que somente sejam permitidos para postagem
objetos dentro dos limites descritos abaixo.
R
2
16(UFMT – MT) Na figura ao lado estão representadas duas seringas, I e
II, modelo padrão utilizado na administração de medicamentos injetáveis, que se diferenciam apenas
pela capacidade volumétrica. As
partes sombreadas, nas seringas,
representam o volume de medicamento a ser injetado e possuem a
forma de um cilindro circular reto. A seringa I
possui diâmetro interno d e a II, diâmetro interno D ; o volume do medicamento na seringa II é
quatro vezes o da seringa I e a altura do medicamento nas duas seringas é H.
A partir dessas informações, pode-se afirmar que
a relação entre D e d é:
a)D = 3d
d)D = 2 + 2d
b)D = 4 d
e)D = 2 2d − 3
Dimensões da embalagem
A soma (comprimento +
largura + altura) não deve
ser superior a 150 cm.
Caixa
Embalagem
em forma
de rolo
c)20π m2
d)(100π − 24 ) m2
e)176π m2
A soma (comprimento +
dobro do diâmetro) não
deve ser superior a
104 cm.
O comprimento do rolo
não deve ser maior que
90 cm.
Com base nessas informações, considere as afirmativas abaixo a respeito da postagem de uma
barra cilíndrica rígida de 95 centímetros de comprimento e um centímetro de diâmetro.
1.Não é possível postar essa barra embrulhada
em forma de rolo.
2.É possível postar essa barra dentro de uma
caixa de papelão em forma de paralelepípedo
retangular reto, com 80 cm de comprimento,
60 cm de largura e 7 cm de altura.
3.É possível postar essa barra dentro de uma
caixa de papelão em forma de prisma reto
com 90 cm de altura e base quadrada com
20 cm de lado.
Assinale a alternativa correta:
a)Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
b)Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
c)Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
d)Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
e)Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
17(UFPR – PR) Um cavalo está preso por uma corda
do lado de fora de um galpão retangular fechado
de 6 metros de comprimento por 4 metros de
largura. A corda tem 10 metros de comprimento
e está fixada num dos vértices do galpão, conforme ilustra a figura abaixo. Determine a área total
da região em que o animal pode se deslocar:
b)88π m2
A face de endereçamento
não deve ter medidas
inferiores a 11x16 cm.
Altura mínima: 2 cm.
c)D = 2d
a)(75π + 24 ) m2
d)R$ 0, 25
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20(UFPR – PR) Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir da rotação de uma figura plana em torno de um dos eixos coordenados. Por
exemplo, rotacionando-se um retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro, como
na figura abaixo.
y
23(UFSC – SC) Julgue em verdadeiras ou falsas as
seguintes proposições:
( )Considere L1 e L 2, duas latas de forma cilíndrica, de massa de tomate, de mesma marca. A
lata L1 possui o dobro da altura da lata L 2, mas
seu diâmetro é a metade do diâmetro de L 2.
,
e L 2 R$ 2,80, então a lata
Se L1 custa R$ 180
mais econômica é L 2.
( )Observe a figura abaixo. Se os diâmetros dos
semicírculos estão sobre os lados do triângulo
retângulo ABC, então Área I = Área II + Área III.
C
x
I
II
Considere agora a região R do primeiro quadrante
do plano xy, delimitada pelas retas r1: y = x , r2 : x = 0
A
e r3: x = 1 e pela circunferência γ : x 2 + ( y − 4 ) = 1.
2
a)Utilize os eixos cartesianos para fazer um esboço da região R e do sólido de revolução
obtido pela rotação dessa região em torno do
eixo y.
B
( )A figura abaixo está representando uma pirâmide inscrita num cubo. Se o volume da pirâmide é de 72 m3, então a aresta do cubo é
igual a 9 m.
b)Encontre o volume do sólido de revolução ob­
tido no item acima.
21(UFRJ – RJ) Um grupo de cientistas parte em expedição do Pólo Norte e percorre 200 km em direção ao sul, onde estabelece um primeiro acampamento para realizar experiências. Após algum
tempo, o grupo percorre 200 km em direção ao
leste, onde instala o segundo acampamento para
experimentos. Após três dias, o grupo parte em
viagem e percorre 200 km em direção ao norte,
onde estabelece o terceiro acampamento.
Supondo que a superfície da Terra seja perfeitamente esférica, determine a distância entre o
terceiro acampamento e o Pólo Norte. Justifique
sua resposta (faça um desenho, se preferir).
III
( )O octaedro regular é um poliedro que tem 8
arestas.
24(UFV – MG) Com uma chapa de aço na forma de

um setor circular AOB, de ângulo central α = AOB
radianos e raio r, constrói-se um recipiente
na forma de um cone circular reto, unindo os
segmentos OA e OB, conforme ilustra a figura
abaixo.
22(UFRN – RN) Um tronco de madeira, em forma
de cilindro, de altura H e raio R, é transformado
em uma barra de madeira, em forma de paralelepípedo de base quadrada, com aproveitamento
máximo da madeira.
Sabendo-se que o volume original do tronco era
V = π ⋅ R2 ⋅ H, é correto afirmar que o volume da
barra é:
a)3R2 ⋅ H
b)R2 ⋅ H
c)2R2 ⋅ H
d)4R2 ⋅ H
O volume do cone assim obtido é α 2r 3
V=
4π 2 − α 2 . Diminuindo em 20% o va24π 2
lor de r e mantendo constante o ângulo central
α , a capacidade do recipiente, em porcentagem,
diminui em:
a)51, 2%
b)58,8%
c)49,8%
d)48,8%
e)50, 2%
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25(Unesp – SP) Um troféu para um campeonato 28(Fuvest – SP)
de futebol tem a forma de uma esfera de raio
R = 10 cm cortada por um plano situado a uma
dis­tância de 5 3 cm do centro da esfera, deter­mi­
nando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala).
O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M está na aresta AE e AM = 3 ⋅ ME .
Calcule:
a)o volume do tetraedro BCGM
b)a área do triângulo BCM
c)a distância do ponto B à reta suporte de CM
29(Udesc – SC) A geratriz de um cone circular reto
de altura 4 cm é 5 cm; então a área da base desse
cone é:
a)9π cm2
c)25π cm2
e)4π cm2
b)16π cm2
O volume do cilindro, em cm3, é:
a)100π
c)250π
b)200π
d)500π
e)750π
26(Unifor – CE) A figura abaixo apresenta a logomarca de certa empresa, em que aparecem traçadas duas cordas paralelas entre si e de mesmo
comprimento, distantes 4 cm uma da outra.
d)5π cm2
30(UEL – PR) Considere um cone circular reto e um
cilindro circular reto, ambos com diâmetro da
base igual a 12 cm e também uma esfera com
diâmetro de 12 cm, todos com volumes iguais. A
altura do cone e a altura do cilindro devem ser
respectivamente iguais a:
a)12 cm e 4 cm
b)30 cm e 10 cm
c)24 cm e 8 cm
d)9 cm e 3 cm
e)18 cm e 6 cm
31(UEMG – MG) Conforme a figura abaixo, um co­po
de papelão tem o formato de um cone de 20 cm
de altura e 6 cm de diâmetro da base.
Se o raio do círculo mede 4 cm, a área da região sombreada, em centímetros quadrados, é:
(Use: π = 3.)
(
b)4 (
c)8 (
a)4
)
3 + 2)
3 + 1)
3 +1
( 3 + 2)
e)8 ( 2 3 + 1)
d)8
27(Unifor – CE) Seja o triângulo cujos vértices são as intersecções das retas de equações
x = 0, x − 4 y = 0 e x + y − 5 = 0. A rotação desse
triângulo em torno do eixo das ordenadas gera
um sólido cujo volume é:
16π
64π
80π
88π
92π
a)
b)
c)
d)
e)
3
3
3
3
3
Querendo encher esse copo com suco numa quan­
3
tidade igual a de sua capacidade total, a altura
4
h atingida pelo suco deverá ser de:
a)10 3 2 cm
b)15 cm
c)12 3 3 cm
d)10 3 6 cm
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32(UEMG – MG) Deseja-se fabricar x bolinhas esféricas maciças de ouro, de 1 cm de raio cada
uma, derretendo-se uma barra de ouro, também
maciça, em forma de paralelepípedo retangular
de 30 cm de comprimento, 10 cm de largura e
2π cm de altura. O valor de x é igual a:
a)320 b ) 410 c ) 450 d ) 480
33(UEMS – MS) Um cilindro de revolução de raio r
e altura h = 5r é cortado por um plano paralelo ao
3r
seu eixo e a uma distância d =
desse eixo. A
5
secção retangular formada tem área de 16 cm2.
35(UFPE – PE) Um salão de festas quadrangular de
área A = 225 m2, representado pelo quadrado
ABCD, deve ter seu piso pintado nas cores branAB,
co e preto, de acordo com a figura abaixo. 



BC , CD e AD são arcos de circunferências respectivamente tangentes às diagonais do quadrado
ABCD nos pontos A e B, B e C, C e D, D e A. A
parte central será pintada de preto e as calotas
serão pintadas de branco. Sabendo-se que o rendimento da tinta é de 1 galão (2,5 L) para cada
35 m2 de área, julgue as proposições a seguir em
verdadeiras ou falsas:
( )A mesma quantidade de tinta preta e de tinta
branca.
( )3 galões de tinta preta e 4 galões de tinta
bran­ca.
( )A área preta é maior que a área branca.
( )A tinta preta será o dobro da tinta branca.
( )A área preta é menor que 100 m2.
Qual a área da base desse cilindro?
a)π
b)2π
c) 2π + 1
d)3π
e)1
34(Ufscar – SP) Retirando-se um semicilindro de um
paralelepípedo reto-retângulo, obtivemos um só­
lido cujas fotografias, em vista frontal e vista superior, estão indicadas nas figuras.
36(UFPE – PE) Considere uma semi-esfera, um cone
e um cilindro de revolução retos. Sobre estes sólidos, julgue em verdadeiras ou falsas as afirmações:
( ) Para que o cilindro e o cone tenham o mesmo volume, é necessário que eles tenham o
mesmo raio na base e que o cone seja 3 vezes
mais alto.
( ) Se o cilindro e o cone têm raio e altura iguais
ao raio da semi-esfera, o volume do cilindro
é igual aos volumes da semi-esfera e do cone
somados.
Se a escala das medidas indicadas na fotografia é
1:100, o volume do sólido fotografado, em m3, é
igual a:
a)2(14 + 2π )
b)2(14 + π )
c)2(14 − π )
d)2( 21− π )
e)2( 21− 2π )
( ) Se o cilindro tem o dobro do volume da semiesfera, dobrando o raio da semi-esfera, obtém-se uma semi-esfera de mesmo volume
que o cilindro.
( ) Se o cilindro tem o dobro do volume do cone,
dobrando a altura do cone, obtém-se um
cone de mesmo volume que o cilindro.
( ) Se o cone e o cilindro têm a mesma altura, o
cone deve ter um raio 3 vezes maior que o
do cilindro para que tenham o mesmo volume.
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37(UFPE – PE) Qual a menor quantidade de fita
que deve ser utilizada para enfeitar o mastro de
forma cilíndrica (reto) de uma bandeira de 5 m
de altura, como na figura abaixo, se são gastos
50 cm para cada volta na superfície do cilindro?
O diâmetro do mastro é 15 cm. Qual é o inteiro
mais próximo em metros?
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Respostas do capítulo 26
1d
29a
30c
31d
32c
33b
34e
35F, V, F, F, V
36F, V, F, V, V
3715
2 10293
3d
4b
56π
5a )
cm3
3
b ) 1 cm
6a
7c
8a
9d
10b
11•  = 2r 3
(
)
• Vsolicitado = 10r 2 3 3 − π cm3
12d
13aproximadamente 19,1 mm
14c
15e
16c
17b
18a
19c
20a )
8π
3
21A distância é zero.
22c
23V, V, F, F
24d
25d
26d
27c
a3
28a )
6
b ) V =
b )
5 a2
8
c )
5a 41
41
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