Funções
(Turma M.E.D – Integrado Jaó)
Função Polinomial de 1º Grau – (Reta)
f x   ax  b
f x 
y
a0
a0
Crescente
y  ax  b
x
Decrescente
x
Função Polinomial de 1º Grau – (Reta)
f x   ax  b
f x 
y
b
b
Raiz da
função
b
y  ax  b
b
x
a
Raiz da
função
a
x
Função Polinomial de 1º Grau – Linear (b = 0)
f x   x
f x 
y  x
B.Q.I.
x
Identidade
y
x
B.Q.P.
Função Polinomial de 1º Grau – (Reta)
y  ax  b
f x   ax  b
f x   y  b
y
a0
b0
f x 
a0
b0
b
x
x
Constante
b
Constante
Função Polinomial de 2º Grau –
(Parábola)
f x  ax  bx  c
2
f x 
a0
y  ax  bx  c
2
y
a0
x
Concavidade voltada
para cima
x
Concavidade voltada
para baixo
Função Polinomial de 2º Grau –
(Parábola)
f x  ax  bx  c
2
y  ax  bx  c
2
f x 
y
c
Raiz da
função
Raiz da
função
x
c
Raiz da
função
Raiz da
função
x
Função Polinomial de 2º Grau – Raízes
y  ax  bx  c
2
y0
2
0  ax  bx  c
2
ax  bx  c  0
  b  4ac
2
b 
x
2a
0
0
não existem raízes reais (a
parábola não toca o eixo das
abscissas).
possui duas raízes reais
iguais (a parábola toca em
único ponto no eixo das
abscissas).
0
possui duas raízes reais
distintas ( a parábola toca
em dois pontos no eixo das
abscissas.
Função Polinomial de 2º Grau
a0
a0
a0
0
0
0
x1
x2
x
Raízes reais
distintas
x1
a0
0
x2
x
x1  x2
x
 x1 e x2  R
Raízes reais
iguais
Não existem
raízes reais
x1  x2
 x1 e x2  R
a0
0
x
a0
0
x
x
Função Polinomial de 2º Grau – Vértice
y
V  xV , yV 
eixo de
simetria
x
 b  
V 
,

 2a 4a 
Vértice
b
xV 
2a

yV 
4a
Função Polinomial de 2º Grau – Vértice
y
y
Vértice
Ponto de
a0
máximo
x
x
a0
Ponto de
mínimo
Vértice
Função Polinomial de 2º Grau – pontos
notáveis
y
b
xV 
2a
x
Raiz da
função

yV 
4a
c
Raiz da
função
Vértice
Função Polinomial de 2º Grau – Imagem
y
y
Vértice
Se a >0, então:
x
Vértice
Im  y  R / y  yv 
Se a < 0, então:
x
Im  y  R / y  yv 
Função Polinomial de 2º Grau – Forma
fatorada
f x  ax  bx  c
2
f x  a  x  x1  x  x2 
x1 e x2 são raízes
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
INJETORA
Para uma função ser classificada como injetora, devemos
lembrar que, para DOMÍNIOS diferentes devem gerar
IMAGENS diferentes, ou seja:
x1  x2  f x1   f x2 
Ex.:
f  x   3x  6
f  1  3 1  6
f  1  3  6
f  1  9
f 0  30  6
f 0  0  6
f 0  6
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
SOBREJETORA
Para uma função ser classificada como sobrejetora,
devemos lembrar que, o CONTRADOMÍNIO deve ser igual
a IMAGEM da função dada, ou seja:
CD  Im
Ex.:
f : R  R
f x   x 2
y
x
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
BIJETORA
Para uma função ser classificada como bijetora, devemos
lembrar que ela deve ser INJETORA e SOBREJETORA ao
mesmo tempo, ou seja:
CD  Im
Ex.:
f : R  R
f x   x 2
y
x
f : R+  R
f(x) = x2 - 4
f(x) =|x2 - 4|
y
4
2
-2
-4
x
f : R+  R
f(x) =|x2 - 4|
y
4
x
f : D  CD
f(x) = x2 - 4
-2
2
x
f : R+  R
x
f(x) =|x2 - 4|
y
4
y
f : D  CD
f(x) = x2 - 4
2
x
f : R+  R
x
f(x) =|x2 - 4|
y
4
y
f : D  CD
f(x) = x2 - 4
Não é Injetora
0
2
Im(f) = [0, +∞)
CD = R
Im(f) ≠ CD
x
f : R+  R
x
f(x) =|x2 - 4|
y
4
y
f : D  CD
f(x) = x2 - 4
Não é Injetora
Não é Sobrejetora
2
x
f : R+  R
x
f(x) =|x2 - 4|
y
4
y
f : D  CD
f(x) = x2 - 4
Não é Injetora
Não é Sobrejetora
2
x
f : R+  R
x
f(x) =|x2 - 4|
y
4
y
f : D  CD
f(x) = x2 - 4
Não é Injetora
Não é Sobrejetora
É uma função Simples
2
x
Função inversa e função composta
Função inversa
A  1,2,3,4
f x   2 x  1
f : AB
B  1,3,5,7
A
1
2
3
4
1
3
5
7
B
Função inversa e função composta
Função inversa
A  1,2,3,4
x 1
g:B A
g x  
2
B  1,3,5,7
A
1
2
3
4
1
3
5
7
B
g x   f
1
x 
Função inversa e função composta
Função inversa
A inversa de uma função f só existirá se f for
bijetora.
Lei de Formação da inversa
1º – Troca x por y e y por x.
2º – Isola a variável y.
Função inversa e função composta
Função inversa
x 1
f x   2 x  1
y
2
y  2x 1
x  2 y 1
x 1
1
y 
x 1  2 y
2
x 1
x 1
1
y


f
x

2
2
Função inversa e função composta
Função inversa
(representação gráfica)
y
y  x2
2
2
1
y  x2
B.Q.I.
2
2
x
Função inversa e função composta
Função inversa
(representação gráfica)
y
f
f 1
x
B.Q.I.
Função inversa e função composta
Função composta
3 B B 3
5
A 1
4
7
4
2
5
9
5
3
6
11
6
4
f : AB
f x   x  2
g:B C
g x   2 x  1
C
Função inversa e função composta
Função composta
h: AC
hx   g  f x 
hx  2  f x  1
g x   2 x  1
f x   x  2
hx  2  x  2 1
hx   2 x  4  1
hx  2x  3
hx   g  f x   2 x  3
Função inversa e função composta
Função composta
3 B B 3
5
A 1
4
7
4
2
5
9
5
3
6
11
6
4
f : AB
f x   x  2
hx  2x  3
g  f x   2 x  3
g:B C
g x   2 x  1
C
Função inversa e função composta
Função composta
hx   g  f x 
B
hx  g  f x
g
A
f
C
h g f
x
f
h g f
Função inversa e função composta
Função composta
A composta de uma função com sua inversa é a
função identidade. (fof-1 = f-1of = x)
y  x2
1
y  x2
ff
1
  x  2  2
1
f  f x
f
1
 f   x  2  2
f
1
 f x
Função Exponencial
Definição
f :RR
Domínio
f x   a
R
D f   R
x
0  a 1
Imagem
*

R
Im f   0,
Im f   0,
Função Exponencial
Representação Gráfica
4
y  2x
y  21  2
y  22  4
y  23  8
y  24  16
...
..
x
y  2x
x
1
2
3
f x   2
x
y
4
2
1
 3  2 1 0
1
2
x
Função Exponencial
Representação Gráfica
1
g x    
2
y
x
4
1
2
0
1
2
x
Função Exponencial
Representação Gráfica
y
a 1
Crescente
f x   2
x
y g x    1 
2
4
4
x
0  a 1
Decrescent e
2
1
1
 3  2 1 0
1
2
x  2 1 0
1
2
x
Equação exponencial
2  32
x
x
1
   81
9
3
x2
3
x 1
3
x 1
 171
9  10 3  9  0
x
x
Equação exponencial
a a xk
x
2  32
x
5
2 2
x5
x
k
x
1
   81
9
2 x
4
3
3
 
2 x
3 3
 2x  4
4
x  2
Equação exponencial
y
3  3  9  63
3 y   y  63
3
2x
3
2x
2 x
3 3 
 3  63 9 y  y  3 y  189
3
3
2x
3
7 y  189 y  27
2x
2x
33 
 3  63
3
3
2x
3

x

3

3
2x
2
3 y
2 x 1
2 x 1
x
 
Equação exponencial
4 2  2
x
x
2   2
2   2
2 x
x
x 2
x
2  0
2  1
2  0
2 2
2 y
x
y  y2  0
2
y1  1
x
x
x 1
y2  2
Inequação exponencial
2  32
x
x
1
   81
9
x2
0,8  0,64
9  10 3  9  0
x
x
Inequação exponencial
a a
x
2  32
x
5
2 2
x5
x
x  k , se a  1
k
x  k , se 0  a  1
x
1
   81
9
9 
1 x
9
2
x
9 9
x2
2
x  2
Inequação exponencial
8
x2
x2
0,8  0,64
0,8 
10
64
x2
0,8 
x2
0,8  0,8
100
0,8
x2
64

100
x  2 1
x  1
Logaritmos
Logaritmo
Logaritmando
logb a  x
Base do logaritmo
Condição de Existência
a0
1 b  0
Logaritmos
Logaritmo
Logaritmando
logb a  x
Base do logaritmo
logb a  x  b  a
x
Logaritmos
Logaritmo
Logaritmando
logb a  x
Base do logaritmo
log2 8
x
log2 8  x  2  8
log2 8  3
x3
Logaritmos
Sistema de Logaritmos
log10 a  log a
log10 100  log100  2
Logaritmos
Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)
loge a  b
ln a  b
e  2,718281828
...
loge e
e
loge 5
2
ln e  2
2
e
ln5
5
Logaritmos
Propriedades operátórias
P1  logc a  b  logc a  logc b
a
P2  logc    logc a  logc b
b
P3  logb a  n  logb a
n
Logaritmos
Mudança de Base
logc a
logb a 
logc b
logc a
logb a 
 logc a  logc b
logc b
Função Logarítmica
Definição
f :R R
*

Domínio
*

R
D f   R
*

f x  logb x
Imagem
R
Im f   R
Função Logarítmica
Representação Gráfica
y
f x   log2 x
1
1
2
0
1
1
2
x
Função Logarítmica
Representação Gráfica
g x   log1 x
2
y
1
2
0
1
1
x
Função Logarítmica
Representação Gráfica
y
y
1
1
g x   log1 x
2
1
2
0
1
2
x
0
f x   log2 x
1
1
2
b 1
Crescente
1
x
0  b 1
Decrescent e
Função Logarítmica
Inversa da Função Logarítmica
y
1
f x   b
b 1
Crescente
yx
f x  logb x
x
1
x
Função Logarítmica
Inversa da Função Logarítmica
f x   b x
y
yx
0  b 1
Decrescent e
1
1
x
f x  logb x
Equação Logarítmica
logb f x  logb g x  f x  g x
log2 x  3  5
25  x  3
32  3  x
x  35
S  35
x3  0
x3
Equação Logarítmica
logb f x  logb g x  f x  g x
log x1 5x  9  2
x 1
 5x  9
2
x  2 x  1  5x  9
2
9
5x  9  0  x 
5
x 1  0  x  1
x 1  1  x  2
x  7 x  10  0
x1  5
x1  2
2
S  5
Equação Logarítmica
logb f x  logb g x  f x  g x
log5 x  3  log5 x  4  log5 8
x3  0  x  3
x  4  0  x  4
 x3
log5 x  3 x  4  log5 8
x  x  12  8
x 2  x  20  0
2
x 2  x  20  0
x1  4 x2  5
S  4
Inequação Logarítmica
logb f x  logb g x
b 1
0  b 1
f x   g x 
log2 x  3  log2 5
x3  5
x8
f x   g x 
C.E
x3  0
S  x  R / x  8
x3
S  8,
Inequação Logarítmica
logb f x  logb g x
b 1
0  b 1
f x   g x 
log2 2 x  8  log2 x  2
3
3
2x  8  x  2
x6
f x   g x 
C.E
I
2x  8  0
x4
II
x20
x2
I  II  x  4
Inequação Logarítmica
log2 x  3  log2 x  4  3
log2 x  3 x  4  log2 23
log2 x  3 x  4  log2 2
3
x  x  12  8
2
x 2  x  20  0
x1  5
x2  4
+ + +
+ + +
5
– – – – – –
5  x  4
4
x
Inequação Logarítmica
log2 x  3  log2 x  4  3
C.E
x  x  20  0
2
+ + +
+ + +
5
– – – – – –
5  x  4
4
x
x3  0
x40
x3
x  4
x  3
S  x  R / 3  x  4