O que você deve saber sobre FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA O crescimento exponencial em alguns casos pode ser vertiginoso; em outros momentos, pode tender lentamente a zero, sem nunca atingi-lo. A função exponencial é fundamental para explicar numericamente desde fenômenos biológicos até fenômenos físicos complexos, como a transmutação radioativa. I. Potenciação É a multiplicação sucessiva por um mesmo fator. O expoente n indica que a base a foi multiplicada por ela mesma n vezes; an é chamado de potência. Exemplos: • O crescimento de bactérias em um meio de cultura, número que dobra em períodos regulares. • Os juros compostos nas aplicações financeiras • Está presente também na fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA I. Potenciação Propriedades das potências 1. Produto de potências de bases iguais: bc bd = bc+d c 2. Quociente de potências de bases iguais: bd = bcd , com b 0 b 3. Potência de potência: (bc)d = bcd 4. Potência de produto: (m n)c = mc nc 5. Potência de quociente: m n c mc = nc , com n 0 6. Potência de expoente inteiro negativo: b–c 1 = c= b 1 b c , com b 0 c 7. Potência de expoente racional: b d = d bc , com d 0 8. Potência de expoente irracional: é obtida por aproximação do valor irracional do expoente. FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA II. Função exponencial É qualquer função f: da forma f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1. Gráficos da função exponencial f(x) = 2x (3,8) (2,4) O gráfico é crescente, não cruza o eixo x e intercepta o eixo y no ponto (0, 1). (1,2) f(x) = 2x (-1; 0,5) FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA (0,1) II. Função exponencial Gráficos da função exponencial 1 g x 2 x (-3, 8) 1 g x 2 O gráfico é decrescente, também cruza o eixo y em (0, 1) e não intercepta o eixo x. x (-2, 8) (-1, 2) FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA (0, 1) (1; 0,5) Simulador: funções Clique na imagem para ver o simulador. FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA II. Função exponencial Equações exponenciais A incógnita está no expoente. Para resolvê-las, escrever os dois lados da igualdade como potências de uma mesma base. Chega-se então a: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA III. Logaritmos Dados dois números positivos a e b, com b ≠ 1, o logaritmo de a na base b é o número c tal que O número a é chamado logaritmando. Propriedades dos logaritmos (decorrem das propriedades das potências): 1. Logaritmo do produto: logb m n = logb m + logbn 2. Logaritmo do quociente: logb m = logb – logb n (n 0) n 3. Logaritmo de potência: logb mn = nlogb m 4. Mudança de base: logn m = logb m logb n FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA IV. Função logarítmica É qualquer função f: dada pela lei f(x) = loga x, com a > 0 e a ≠ 1. Gráficos da função logarítmica f(x) = log2 x f(x) = log2 x O gráfico é crescente, cruza o eixo x em (1, 0) e não intercepta o eixo y. (1, 0) (2, 1) (0,5; - 1) FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA (8, 3) IV. Função logarítmica Gráficos da função logarítmica gx log x 1 2 gx log gx log x 1 2 (0,5, 1) O gráfico é decrescente, intercepta o eixo x em (1, 0) e não cruza o eixo y. (1, 0) (2, -1) (4, -2) FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA (8, -3) IV. Função logarítmica Gráficos da função logarítmica Gráficos de uma função exponencial e de uma função logarítmica, numa mesma base, construídos em um mesmo plano cartesiano, são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA IV. Função logarítmica Equações logarítmicas A incógnita está na base de um logaritmo ou em seu logaritmando. Condições de existência do logaritmo: • a base é um número real positivo e diferente de 1; • o logaritmando é um número real positivo. A resolução das equações logarítmicas envolve a transformação da expressão em uma equação exponencial. FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA IV. Função logarítmica Equações logarítmicas Outra situação: Da mesma forma, o primeiro passo deve ser a aplicação da definição de logaritmo. Uma vez calculado o valor da potência, pode-se obter a incógnita. FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 1 (UEG-GO) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S0 . 2-0,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial se desintegre? RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 2 (Unesp) Considere a função dada por f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1. a) Quando m = 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0. b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m + 1 não tem solução real x. RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 3 (UFJF-MG) RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 4 (Ufal) Uma pessoa necessitava saber o valor do logaritmo decimal de 450, mas não tinha calculadora. Em uma busca na internet, encontrou a tabela a seguir e, através dela, pôde calcular corretamente o que precisava. Determine o valor encontrado. RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 5 (UFPE) Suponha que a taxa de juros de débitos no cartão de crédito seja de 9% ao mês, sendo calculada cumulativamente. Em quantos meses uma dívida no cartão de crédito triplicará de valor? .) (Dados: use as aproximações RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 8 Sabendo que os pontos (a, – ); (b, 0); (c, 2) e (d, ) estão no gráfico de f, calcule b + c + ad. RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 1 17 (UFPR) Em um experimento feito em laboratório, um pesquisador colocou numa mesma lâmina dois tipos de bactérias, sabendo que as bactérias do tipo I são predadoras das bactérias do tipo II. Após acompanhar o experimento por alguns minutos, o pesquisador concluiu que o número de bactérias tipo I era dado pela função f(t) = 2 • 3t + 1, e que o número de bactérias do tipo II era dado pela função g(t) = 3 • 24 – 2t, ambas em função do número t de horas. a) Qual era o número de bactérias, de cada um dos tipos, no instante inicial do experimento? b) Esboce o gráfico das funções f e g apresentadas acima. c) Após quantos minutos a lâmina terá o mesmo número de bactérias do tipo I e II? (Use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47.) RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR