1ª aula
Apresentação e séries de Taylor (Revisão).
Calculo de derivada temporais usando Séries de Taylor
Com Apoio de :
Marcos Mateus e Guillaume Riflet
Objectivos da Disciplina
•
•
•
•
O que é um modelo,
Os modelos matemáticos,
Elementos que constituem um modelo,
Os processos de transporte e as equações de
evolução,
• Os métodos Numéricos,
• Programação/Linguagens gráficas,
• Gestão Ambiental, Modelos, Monitorização e
Estudos de processos.
Programa
•
•
•
•
•
•
•
Conceitos básicos de métodos numéricos,
Programação em Visual Basic,
Programação em PowerSim / Matlab,
Modelos Presa-Predador
Modelos Ecológicos,
Modelos Hidrodinâmicos,
Modelos de Transporte de Sedimentos.
Conhecimentos requeridos
• Mecânica dos Fluidos e Processos de
Transporte,
• Programação,
• Ecologia e funcionamento dos ecossistemas,
• Ciclo dos Elementos e Ecologia,
• Fluxos de massa e de Energia através de um
ecossistema.
Dificuldades Encontradas em Anos
Anteriores
• Programação é a grande dificuldade.
• Mecânica dos Fluidos é uma dificuldade
adicional, mas menor.
• Soluções: Acelerar o processo de
aprendizagem de programação.
Equações que vamos resolver
• Conservação da massa:
ck u j ck
  c 



 ( Fk  Pk )
t
x j
x j  x j 
• Num modelo Hidrodinâmico também a
equação de Transporte de Quantidade de
Movimento:
 ui
 

u
i

 
uj
 x

t

x
j 
j

 ui 

  ( Pressão  Gravidade)
 x 
j 

Onde aparecem os conceitos
requeridos
• Equação de Evolução (ou de Transporte),
• Na equação de Transporte de Quantidade de
Movimento,
• Em(F-P)
• Se isto fosse conhecido bem como a
programação, a disciplina poderia ser
chamada de “Mecânica dos Fluidos
Computacional….”
Como se resolvem as equações
• Métodos Numéricos:
• Diferenças finitas/Volumes Finitos
• Elementos Finitos/Elementos de Fronteira.
• Como se constrói o método das diferenças
finitas?
• Série de Taylor:
t
t
t
 c  t   c  t   c 
 2  
 3   ....
cit  t  cit  t   
n!
 t i 2!  t i 3!  t i
t
2
2
3
3
n
t
 c
 n 
 t i
n
O que representa a série de Taylor?
cit  t
t
t
t
2
3
3
n
n






c

t

c

t

c

t

c


t
 2  
 3   ....
 n 
 ci  t   
n!  t i
 t i 2!  t i 3!  t i
t
2
c
Outras
derivadas
Δc
1ª Derivada: Δc/ Δt
Δt
t1
t1+Δt
t
Como usar para calcular as derivadas?
t  t
i
c
t
t
t
 c  t   c  t   c 
 2  
 3   ....
 c  t   
2!  t i 3!  t i
n!
 t i
t
2
2
3
3
n
t
i
 c 
t
 ci  t    (t 2 )
 t i
t
 c
 n 
 t i
n
t
cit  t
t  t
Método Explícito
 c  ci  ci
 (t )
  
t
 t i
t
t  t
t  t
i
c c
t
i
 c 
 t  
 t i
t
t

2!
2
t  t
 c
 2 
 t i
2
t

3!
3
t  t
 c
 3 
 t i
3
t
 ....
n!
t  t
cit  cit  t
 c 
 t  
 t i
t  t
 c 
 
 t i

t  t
i
c
 (t 2 )
c
 (t )
t
t
i
Método Implícito
n
t  t
 c
 n 
 t i
n
Outro Método
t  t / 2
t  t
i
c
t  t / 2
i
c
 c 
 t / 2 
 t i
t  t / 2
t  t / 2
i
c c
t
i
 c 
 t / 2 
 t i
2

t / 2   2 c 



2!
t  t / 2
 t 2 

i
2

t / 2   2 c 



t  t / 2
 t 2 

i
2!
3

t / 2   3c 



3!
 t 3 

i
3

t / 2   3c 



t  t / 2
 t 3 

i
3!
t  t / 2
n

t / 2   n c 


 ....
n!
 t n 

i
n

t / 2   n c 


 ....
n!
t  t / 2
t  t / 2
 t n 

i
Subtraindo uma da outra:
t  t / 2
cit  t
 c 
 cit   t  
 t i
t  t / 2
 c 
 
 t i

  t / 2

cit  t  cit
2

  t / 2
t
3


Este método calcula a derivada no centro do intervalo de tempo e tem
precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica
O que representa a série de Taylor?
cit  t
c
t
t
t
2
3
3
n
n






c

t

c

t

c

t

c


t
 2  
 3   ....
 n 
 ci  t   
n!  t i
 t i 2!  t i 3!  t i
t
Método Explícito
2
Método Implícito
Outras
derivadas
Δc
1ª Derivada: Δc/ Δt
Δt
Método Diferenças Centrais
t1
t1+Δt
t
• 2ª aula:
• Uso das séries de Taylor para o cálculo das
derivadas espaciais. 1ª derivada e 2ª derivada.
Diferenças centrais e diferenças descentradas.
• Forma geral da equação. Métodos explícitos,
implicitos e semi-implicitos (de CrankNicholson)
Derivadas no espaço?
t
i  x
c
t
t
x
 c  x   c  x   c 
 2  
 3   ....
 c  x  
2!  x i
3!  x i
n!
 x i
t
2
2
3
3
n
t
i
 c 
cit x  cit  x   (x 2 )
 t i
t
 c
 n 
 x i
n
t
Método downwind
t
t
 c  ci  x  ci
 (x)
  
x
 x i
t
t
i  x
c
t
t
x
 c  x   c  x   c 
 2  
 3   ....
 c  x  
2!  x i
3!  x i
n!
 x i
t
2
2
3
3
t
i
 c 
 cit  x   (x 2 )
 t i
t
cit x
 c  c  c
  
x
 x i
t
t
i
t
i  x
Método upwind
 (x)
n
t
 c
 n 
 x i
n
Subtraindo uma equação da outra
 c 
3
 2x   (x )
 t i
t
t
i  x
c
c
t
i  x
 c  c  c
  
2x
 x i
t
t
i  x
t
i  x
Diferenças centrais
 (x )
2
Derivadas no espaço?
*
*
c
x
 c  x   c  x   c 
 2  
 3   ....
 c  x  
2!  x i
3!  x i
n!
 x i
c
x
 c  x   c  x   c 
 2  
 3   ....
 c  x  
2!  x i
3!  x i
n!
 x i
*
*
i  x
2
3
3
n
*
i
*
*
i  x
2
2
*
2
3
*
i
Adicionando:
*
ci* x  ci* x
*
2


c
*
2
 2ci  x  2   (x 4 )
 t  i
  c  ci* x  2ci*  ci* x
2
 2  


(

x
)
2
x
 x i
2
3
*
*
 c
 n 
 x i
n
n
*
 c
 n 
 x i
n
Equações Algébricas
• Obtêm-se substituindo as derivadas pelas
aproximações:
t t
cx  cxt
cxt  x  cxt x
cxt  x  2cxt  cxt x
2
 t   u
  x  
  x 2
2
t
2x
x
 
 
• Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no
espaço e 1ªno tempo.
t t
cx  cxt
cxt tx/ 2  cxt tx/ 2
cxt tx/ 2  2cxt  t / 2  cxt tx/ 2
2
2
2
 t   u
  x  



x
t
2x
x 2
 
 
• Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais
espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço.
O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?
Explícito Upwind
cxt  t  cxt
cxt  cxt x
cxt  x  2cxt  cxt x
2
2
 t   u
  x  



x
t
x
x 2
 
 
• Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção.
Segunda ordem para difusão.
Como se obtém o valor em
(t+Δt/2)?
t  t / 2
t  t
i
c
t  t / 2
i
c
 c 
 t / 2 
 t i
2!
t  t / 2
t  t / 2
i
c c
t
i
 c 
 t / 2 
 t i
2

t / 2   2 c 



 t 2 

i
2

t / 2   2 c 



2!
t  t / 2
t  t / 2
 t 2 

i
3

t / 2   3c 



3!
 t 3 

i
3

t / 2   3c 



t  t / 2
 t 3 

i
3!
t  t / 2
n

t / 2   n c 


 ....
n!
 t n 

i
n

t / 2   n c 


 ....
n!
t  t / 2
2c
t  t / 2
i
c
t  t
i
c c
t
i
  2c 
 t / 2   2 
 t i
2
t  t / 2
 t n 

i
• Adicionando as equações!
t  t / 2
i
t  t / 2
 .....
cit  cit  t
2

 t / 2 
2
• Substituindo estes termos nas equações
obtém-se a equação a resolver
Forma geral da Equação
di cit1t  1  ei cit t  fi cit1t  di cit1  1  ei cit  fi cit1  (F  P)
Explicito, diferenças centrais:
t  t
i
c
 ut t  t  2t  t  ut t  t

 2 ci 1  1 
c  
 2 ci 1
2  i
x 
 2x x 

 2x x 
Números de Courant e de Difusão
Cr 
ut
x
 t
N º Dif  2
x
Upwind
di cit1t  1  ei cit t  fi cit1t  di cit1  1  ei cit  fi cit1  (F  P)
Explicito, upwind:
t  t
i
c
 ut t  t  ut 2t  t  t  t

 2 ci 1  1 

c   2 ci 1
2  i
x x 
 x x 

 x 
Números de Courant e de Difusão
Cr 
ut
x
 t
N º Dif  2
x
Qual é o melhor método?
• Se o erro de truncatura fosse o único
indicador seria Crank-Nicholson, com
diferenças centrais!
• Mas não é o único. Temos também que ver a
consistência com os processos que estamos a
estudar.
• Como se faz fisicamente a Advecção
(propriedade transportiva) e a Difusão?
• O método upwind respeita transportividade.
• 3ª aula:
• Resultados de modelos hidrodinâmicos,
qualidade da água e transporte de
sedimentos: Apresentação feita na
Universidade de Pau, em França.
• Difusão numérica e estabilidade de um
método numérico. Ilustração das hipóteses
físicas violadas no cálculo.
Problema unidimensional
Ci
Ci-1
Ci+1
Explícito, Upwind, Cr = 1, Dif=0
t  t
i
c
Time step i-3
0
1
2
3
4
 ut t  t  ut 2t  t  t  t

 2 ci 1  1 

c   2 ci 1
2  i
x x 
 x x 

 x 
i-2
0
0
0
0
0
i-1
0
0.00
0.00
0.00
0.00
Grid point number
i
i+1
0
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
i+2
0
1.00
0.00
0.00
0.00
Total
amount
i+3
0
0.00
1.00
0.00
0.00
0
0
0
0
0
Cr=(Espaço percorrido num intervalo de tempo)/(passo espacial)
Cr=1, implica uma célula por passo => a aolução é exacta
1
1
1
0
0
Explícito, Upwind, Cr= 0.5, Dif=0
t  t
i
c
Time step i-3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 ut t  t  ut 2t  t  t  t

 2 ci 1  1 

c   2 ci 1
2  i
x x 
 x x 

 x 
i-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
i-1
0
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Grid point number
i
i+1
0
1
0.00
0.50
0.00
0.25
0.00
0.13
0.00
0.06
0.00
0.03
0.00
0.02
0.00
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
i+2
0
0.50
0.50
0.38
0.25
0.16
0.09
0.05
0.03
0.02
0.01
i+3
0
0.00
0.25
0.38
0.38
0.31
0.23
0.16
0.11
0.07
0.04
Temos difusão numérica. A mancha espalha-se. Porquê?
Porque violámos a definição de concentração. Como se resolve?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Total
amount
1.00
1.00
1.00
0.88
0.69
0.50
0.34
0.23
0.14
0.09
0.05
O que aconteceu?
t0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
t0+Δt
0
0
0.5
0.5
0
0
0
0
0
t0+2Δt
0
0
0.25
0.5
0.25
0
0
0
0
t0+3Δt
0
0
0.125
0.375
0.375
0.125
O modelo é estável: os erros que aparecem diminuem no
tempo.
O modelo tem difusão numérica: a concentração vai baixando
apesar de a difusão física ser nula.
Explícito, Upwind, Cr=2
t  t
i
c
 ut t  t  ut 2t  t  t  t

 2 ci 1  1 

c   2 ci 1
2  i
x x 
 x x 

 x 
t0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
t0+Δt
0
0
-1
2
0
0
0
0
0
t0+2Δt
0
0
+1
-4
4
0
0
0
0
t0+3Δt
0
0
-1
10
-16
8
Temos um modelo instável: os erros aparecem e crescem. Porquê?
Num modelo explícito Cr≤1. Os coeficientes têm que ser positivos.
As instabilidades são consequências da
violação de princípios físicos
• Quando as propriedades aumentam num
instante, nos instantes seguintes também só
podem aumentar.
• Quando Cr>1 o coeficiente de Ci fica negativo.
• Neste caso, durante um intervalo de tempo o
volume que sai de uma célula é maior do que
o que lá estava no ínicio. Usando volumes finitos
é fácil ver que isso é a causa do problema.
• (ver Patankar, Fluid Flow)
1D explicit central differences Courant=1
t  t
i
c
 ut t  t  2t  t  ut t  t

 2 ci 1  1 
c  
 2 ci 1
2  i
x 
 2x x 

 2x x 
Time step i-3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
i-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Grid point number
i-1
i
i+1
0
0
1
0.00
-0.50
1.00
0.25
-1.00
0.50
0.75
-1.13
-0.50
1.31
-0.50
-1.63
1.56
0.97
-2.13
1.08
2.81
-1.16
-0.33
3.93
1.66
-2.29
2.94
5.59
-3.76
-1.00
8.52
-3.26
-7.14
7.52
0.31
-12.54
0.38
i+2
0
0.50
1.00
1.13
0.50
-0.97
-2.81
-3.93
-2.94
1.00
7.14
12.54
Total
amount
i+3
0
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1.31
1.56
1.08
-0.33
-2.29
-3.76
-3.26
0.31
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Modelo Instável. Porquê? Há um dos coeficientes que é sempre negativo.
Propriedade transportiva violada. Como se resolve?
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
• 5ª aula:
• Conclusão da aula anterior. Introdução ao
método dos volumes finitos como resposta à
necessidade de maior relação entre os
métodos numéricos e o princípio de
conservação em que se baseia a equação de
advecção-difusão.
Porque é instável?
• Por advecção (ou por difusão) quando as
propriedades aumentam num ponto, nos
pontos vizinhos só podem aumentar também.
• Isso implica que os coeficientes que
multiplicam as concentrações nos pontos
vizinhos têm que ser positivos.
• Só adicionando difusão é que isso pode
acontecer….
Condição de estabilidade para
diferenças centrais explícitas
Porque é que adicionando difusão o método fica estável?
Porque é que excesso de difusão torna o modelo instável?
Sumário
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Séries de Taylor e erro de truncatura,
Estabilidade e crescimento do erro,
Positividade dos coeficientes,
Courant e nº de difusão.
Difusão numérica, e Passo Espacial
Propriedade Transportiva e Upwind,
Diferenças Centrais e Reynolds da Malha,
Conservação da massa.
Métodos implícitos e explícitos.
Será isto suficiente para percebermos o que estamos
a fazer?
Método dos volumes-finitos
A equação de onde começámos é:
ck u j ck



t
x j
x j
 c 

  ( Fk  Pk )
 x 
j 

Esta equação resulta do princípio de conservação:
TaxaAcumulação  Entra  Sai Fontes Consumo
Processos
• Taxa de acumulação:
TaxadeAcumulação


  cdvol 

t  vol

• Fluxos:

• Advectivo:  A cu .n dA (porquê o sinal “-”)?
• Difusivo:  A 

 
 c .n dA
Adicionando
 



  cdvol     cu.n dA    c .ndA  F  P 

t  vol
A
A

 
Fácil de resolver se:
1. Volume suficientemente pequeno para que as propriedades
possam ser consideradas uniformes no seu interior e por
isso que a concentração média seja representativa do que
se passa no seu interior.
2. Se as áreas das faces forem suficientemente pequenas
para que as concentrações sejam uniformes em cada uma
das faces.
Para um volume rectangular de dimensões
elementares
t  t
t




  cdvol     cdvol 



 cVol t  t cVol t



 vol
 
  cdvol    vol


t  vol
t
t

n


*
*
*
*
*
*
  cu.n dA   cu.n i dAi  cux dAx  cux x dAx x  cuy dAy  cuy  y dAy  y  cuz dAz  cuz  z dAz  z
1
A
 

  

      c 

  c .ndA    c x   c
*
x  x

      c    c  




c
y
*
y  y


z
*
z  z
A
*
*
*
 
c y  c y y
c y  y  c y  
cx  cx  x
cx  x  cx  
cz  cz  z
cz  z  cz 

A  c .ndA    xx / 2 x  xx / 2 x     y y / 2 y  y y / 2 y     z z / 2 z  z z / 2 z 
 
Vol  xyz
Se o volume for constante no tempo a equação pode ser dividida
pelo volume.
Fazendo convergir o volume para
zero
Obtém-se a equação diferencial de Advecção-Difusão
ck u j ck



t
x j
x j
 c 

  ( Fk  Pk )
 x 
j 

Que representa o princípio de conservação para um ponto.
Aplicando o princípio de conservação a um volume de dimensões
finitas percebe-se onde (sobre o volume) é que cada propriedade
deve de ser calculada.
Localização das variáveis no
volume de controlo: Fluxos
calculados sobre as faces
cxt tVolxt t  cxt Volxt
ucdA*xx / 2  cQ*xx / 2

*
x  x / 2
c c

 x
*
x
*
x  x
ucdA*xx / 2  cQ*xx / 2
*

dA
 x  x / 2

*
x  x / 2
*
c

c

dA
 x
 x  x / 2
*
x  x
*
x
Upwind
c *x x / 2  c *x x se : u *x x / 2  0
c *x x / 2  c *x se : u *x x / 2  0
c *x  x / 2  c *x se : u *x  x / 2  0
c *x  x / 2  c *x  x se : u *x  x / 2  0
Diferenças Centrais
c 
*
x  x / 2
 c x  c x  x 


2


*
c *x  x / 2   cx  cx  x 

2

*
Revisitando o Courant
ut
Cr 
x
Quando Cr>1, o que passou no ínicio de Δt pela face da
esquerda já ultrapassou a da direita. Ou, dizendo de outro
modo, quando Cr>1 retiramos de uma célula numa
iteração mais do lá estava para sair.
E o número de difusão?
N º Dif 
 t
x 2
O que é a difusividade?
  u ' l
O que é a velocidade e o que é o u’?
Conceito de meio contínuo.
O que é a velocidade ?
• A velocidade num escoamento é o caudal por
unidade de área.
• Tem as mesmas unidades do deslocamento
por unidade de tempo.
• Cada molécula (num gás) tem a sua
velocidade e cada grupo de moléculas (num
líquido) tem a sua velocidade.
• Velocidade é “zero” significa deslocamento
médio das moléculas nulo.
O movimento não representado
pela velocidade
Cx
Cx+∆x
 d  cl  cl l ub
c
 d  l.ub
l
Mas,
c
cl  cl l   l
l
A difusividade é o produto da diferença entre a
velocidade de uma porção de fluido e a usada na
advecção pelo comprimento do deslocamento.
Porque é que o nº de difusão tem como limite 0.5
para estabilidade?
Ver texto sobre propriedades dos fluidos e do campo de velocidades
Quanto vale a difusividade num
modelo?
• Será a difusividade molecular?
• Será a difusividade Turbulenta?
• Será dependente do passo espacial?
x
A difusividade é proporcional ao
produto da velocidade pelo passo
espacial.
A excepção é a difusividade vertical
em modelos 3D onde o passo
horizontal é maior do que a
profundidade.
Difusividade Vertical
A velocidade vertical calculada pelo modelo seria nula
neste caso. Normalmente é muito menor que a velocidade
local.
O maior vórtice tem diâmetro igual à profundidade. Mais
perto do fundo ou da superfície li
O que são modelos implícitos?
• Porque são incondicionalmente estáveis?
c 
t  t
x  x / 2
c 
t  t
x  x / 2
 cx  cx  x 


2


t  t
 c x  cx  x 


2


t  t
O que representa a série de Taylor?
cit  t
t
t
t
2
3
3
n
n






c

t

c

t

c

t

c


t
 2  
 3   ....
 n 
 ci  t   
n!  t i
 t i 2!  t i 3!  t i
t
2
c
Outras
derivadas
Δc
1ª Derivada: Δc/ Δt
Δt
t1
t1+Δt
t
Conclusões
• Séries de Taylor - volume finito,
• Estabilidade e positividade dos coeficientes,
Nº de Courant e de Difusão,
• Métodos implícitos e valores nas faces das
células (volumes)
• Difusão numérica e erro de truncatura (o
método QUICK)
• Difusividade e velocidade.
Dinâmica de populações
c
n
 kc
t
(n=0) => decaimento/crescimento de
ordem zero
(n=1) => 1ª ordem
……..
No caso de (n=1) => 1ª ordem:
A solução analítica é:
c  c0e
c
K>0
kt
c0
No caso de (n=1) => 1ª ordem:
K >0 implica crescimento exponencial
K<0 decaimento assimptótico para zero.
K<0
t
Solução “Logística”
A solução designada por “Logística admite
que o crescimento exponencial não é
sustentável. Admitindo que há uma
população máxima K deverá ser variável.
c
c
 kcn
t
k  k0 cmax  c  / cmax
Cmax
C0
t
Solução Numérica (explícito)
c
 kcn
t
k  k0 cmax  c  / cmax
Se usarmos um método
explicito vem:
Discretizando a derivada
temporal obtém-se:
c t  t  c t
 kc*
t
c
t  t
t


 1  kt c
Se k<o então o parênteses pode ser negativo e nesse
caso a nova concentração ficaria negativa e o método
ficaria instável:
k 0
1  kt   0  t  1 / k
Nesta passagem o sinal da
desigualdade troca quando de
divide por k<0
Solução Numérica (implícito)
c
 kcn
t
k  k0 cmax  c  / cmax
Se usarmos um método
implícito a equação fica:
t  t
c
 kc*
t
t  t
t
c  c / 1  kt 
c
t
Neste caso o método pode
instabilizar no caso de k>0:
k 0
1  kt   0  t  1 / k
Critérios de estabilidade
• Quando temos mortalidade, se o método for explícito o
número de indivíduos que morre é função do valor que
tínhamos no início do passo de tempo. Isso implica que o
valor seja calculado por excesso. Se o passo no tempo for
demasiado grande poderemos eliminar mais indivíduos do
que os existentes e ficamos com um valor negativo (o mesmo
se pode dizer para a concentração).
• Quando temos natalidade o problema coloca-se com o
método implícito porque fisicamente o número de filhos é
proporcionalmente ao número de pais e por isso o cálculo
deve de ser explícito. O cálculo implícito seria equivalente a
dizer que “os filhos já nasceriam grávidos”.
Generalizando poderemos dizer que:
• As fontes devem de ser calculadas explicitamente e
os poços implicitamente. Se isso for possível evitamse instabilidades no modelo.
• Se o modelo for estável qual deve de ser o passo
espacial? O menor possível para que a solução
numérica não
c se afaste da solução analítica. x
K>0
implícito
explícito
c0
K<0
t
Modelo Presa-Predador
•Na equação:
c
 kcn
t
k  k0 cmax  c  / cmax
Só a logística é que limita o crescimento. Na
realidade aparece sempre um predador que
cresce com a presa.
 k g c p cz
c p
 k p c p  k g c p cz
t
cz
 eg k g c p cz  k mz cz
t
Equações de
Lotka-Volterra
Problemas do modelo de Lotka
Volterra
• Não conserva a massa. A Natureza precisa de pelo
menos 3 variáveis de estado:
c p
 k p c p  k g c p cz
t
cz
 eg k g c p cz  k mz cz
t
cD
 k p c p  1  eg k g c p cz  k mz cz
t
• Poderá kp ser constante? Será razoável que a presa
consuma detritos? Precisamos de mais variáveis...
Modelos Ecológicos
•
•
•
•
•
•
•
Consultar teses de:
Pedro Pina
Sofia Saraiva
Marcos Mateus
.....
www.maretec.mohid.com
Livro do Valiela?
Tipos de modelos
•
•
•
•
•
•
•
Relações de Redfield:
C:N:P = 116:16:1 átomos.
Relações fixas ou variáveis?
Quantos produtores primários?
Quantos produtores secundários?
E as bactérias?
E a mineralização da Matéria Orgânica?