Modelos Hidrodinâmicos
Conservação da massa
P u j P

P



 F  P 
t
x j
x j x j
TaxaAcum ul
ação divergênciaDoFluxoAdvectivo  divergênciaDoFluxoDifusivo  ( F  P)
Se P for a massa volúmica (que não tem fontes nem poços, nem se difunde
porque ao movimento resultante das moléculas se chama velocidade….)
 u j 

0
t
x j
Se incompressível:
u j
x j
0
Conservação Quantidade de
Movimento
P u j P
 P



 F  P 
t
x j
x j x j
TaxaAcum ul
ação divergênciaDoFluxoAdvectivo  divergênciaDoFluxoDifusivo  ( F  P)
Se P for a quantidade de movimento por unidade de volume ( u i ):
  u j
u i  u i u j
u i
u i


 u j
 ui 


t
x j
t
x j
x j
 t

   u i  u j u i

t
x j

ui
ui
 ui

 u j


 Fpressão  Fgravidade 
t
x j x j x j
ui
ui
ui
P 

 u j



 gi
t
x j
xi x j x j
Águas pouco profundas
• Pressão hidrostática (aceleração vertical baixa).
• Se escolhermos dois eixos horizontais e um vertical:
P
  g
z
η

P   gdz
z
P  g (  z )
P

 g
xi
xi
Zero hidrográfico
z
h
H  h   
Comprimentos na coluna de água: Elevação em
relação ao “Zero Hidrográfico e Profundidade
medida no mapa (h), que pode ser negativa nas
zonas que descobrem com a maré. A altura da
coluna de água é a soma das duas (é nula ou
positiva).
Equações das águas pouco profundas
ui
ui
ui



 u j
  g


(i  1,2)
t
x j
xi x j x j
u j
x j
0
 

ui dz  0(i  1,2)

t xi
 Hui

0
t
xi
ui u v w

 
xi x y z
z 
z 
u


h
dz 
udz  u z 
 u z  h


x
x z  h
x
x
z  h
z 
z 
v


h
dz 
vdz  v z 
 v z  h


y
x z  h
y
y
z  h
z 
w
dz  wz   wz  h

z
z  h
d 


wz    u z   v z 
dt
t
x
y
dh h
h
h h
wz  h   u z  h  v z  h ;  0
dt t
x
y t


 


udz 
vdz  0


t x  h
y  h
 HU HV


0
t
x
y
Volume finito
Caso bidimensional

H x  h  x
H xx  h  xx
Taxa de acumulação= Entra - Sai
vol

 xy
 Hu x  Hu x  x  Hvy  Hu y  y
t
t
 Hu Hv


t
x
y
Caso unidimensional
L
Ax  x
Ax
Taxa de acumulação= Entra - Sai
 vol
A

 x
 xL
  Aux   Aux  x
t
t
t
 Q
L

0
t x
Transp. Quantidade Movimento: Caso
Unidimensional
volU 
AU
U  
U 

 x
  AUU x   AuU x  x    A(      A(    vol( S 0  S i )
t
t
x  x 
x  x  x

Q UQ 
U


 A
 gA   s L   b L
t
x x
x
x
Q UQ


  gA   s Ls   b Lb
t
x
x
Ls
A
A difusão horizontal é desprezável
quando comparada com a vertical
Lb: Perímetro molhado
Malha
Qi-1
zi-1
Qi
zi
Qi+1
Discretizando
 x*  / 2   x*  / 2
Q t  t  Q t UQx   / 2  UQ x   / 2

  gA
 Ls s  Lb b
t
x
x
*
*
t  t
t




Q

Q



x
x / 2
x / 2
Lts x

0
t
x
Explícito:
*
*
 xt t/ 2   xt t/ 2
Q t  t  Q t UQx   / 2  UQ x   / 2

  gA
 Ls s  Lb b
t
x
x
t
t
t  t
t




Q

Q



x
x / 2
x / 2
Lts x

0
t
x
*
*
Precisamos de uma malha descentrada .
A discretização temporal pode ser explícita, implícita ou Crank-Nicholson
Tensão de corte sobre o fundo
α
u
 b  tg     
z
2
n
 b  c f U 2  g 4 / 3 U 2 ( ManningForm ula)
Rh
n  0.025
Caso bidimensional
HU i HU jU i
U i



  gH

H
  s   f
t
x j
xi x j
x j

 HU i

0
t
x j
ou :
U i 1 HU jU i
U i 1
 1 

 g

H
  s   f
t
H x j
xi H x j
x j H

Estabilidade
• Explícito (1D):
gH t
1
x
• Implícito: Incondicionalmente estável
• Explícito 2D:
gH t
(x / 2 )
1
Discretização Temporal
 x*  / 2   x*  / 2
Q t  t  Q t UQx   / 2  UQx   / 2

  gA
 Ls s  Lb b
t
x
x
*
*
t  t
  xt Q x   / 2  Q x   / 2
t x
Ls

0
t
x
Explícito:
*
*
 xt t/ 2   xt t/ 2
Q t  t  Q t UQx   / 2  UQx   / 2

  gA
 Ls s  Lb bt  t
t
x
x
t
t
t  t
  xt Q x   / 2  Q x   / 2
t x
Ls

0
t
x
Sem i im plícito:
t
t
 xt t//22   xt t//22
Q t  t  Q t UQx   / 2  UQx   / 2

  gA
 Ls s  Lb bt  t
t
x
x
t  / 2
t  t / 2
t  t
  xt Q x   / 2  Q x   / 2
t x
Ls

0
t
x
t  t / 2
t  t / 2
Condiçõs de fronteira
z0
Q1
z1
Q2
z2
•Os se impõem os níveis na primeira célula ou os caudais.
•Podem impôr-se condições de radiação.
Condições iniciais
• O sistema é dissipativo e por isso as condições
iniciais podem ser quaiquer, desde que
fisicamente possíveis e consistentes com o
valor da difusividade que vamos usar no
modelo. Essa difusividade é baseada nas
intensidades de turbulência típicas do oceano
e num comprimento de mistura da ordem do
passo espacial.
Implementação de um modelo
•
•
•
•
Modelo matemático (equações, algorítmo e programa).
Condições de fronteira,
Condições iniciais,
A batimetria é a condição de fronteira mais trabalhosa de
fornecer. A definição da malha também.
• Para o MOHID foi desenvolvido um sistema de SIG para
simplificar este processo. Foi ainda desenvolvido um sistema
de palavras chave para entrar os dados (na mesma lógica do
xml).
MOHID GIS