1ª Aula Advecção - Difusão
Objectivos deste capítulo e
Método dos volumes finitos.
Objectivos
• Este capítulo tem como objectivos apresentar métodos
de resolução da equação de Advecção – Difusão e fazer
uma aplicação num sistema unidimensional.
• Este capítulo dá continuidade ao problema de difusão
resolvido em Mecânica dos Fluidos Ambiental. Usa o
mesmo código desenvolvido em VBA, adicionando o
transporte pela velocidade e juntando alguma
complexidade às condições de fronteira num problema
com superfície livre.
• O trabalho desenvolvido dá suporte teórico para
Modelação Ambiental.
Programa deste capítulo
• Revisão do método do volume finito para quantificação do princípio
de conservação “a taxa de acumulação é igual ao que entra, menos
o que sai, mais o que se produz menos o que se consome”.
• Particularidade da advecção por necessitar dos valores sobre as
faces do volume finito. Método upwind e método do valor médio
(diferenças centrais). Outros métodos de resolução.
• A questão do tempo: métodos explícitos, implícitos e CrankNicholson (semi-implícitos).
• A questão da difusão numérica e da estabilidade. Relação entre as
propriedades dos métodos numéricos e os princípios físicos. Nº de
Courant e nº de Difusão.
• Dedução das equações algébricas a partir das equações diferenciais
e das séries de Taylor. Erro de truncatura e precisão do método.
Processos
• Taxa de acumulação:


TaxadeAcumulação   cdvol 
t  vol

• Fluxos:
– Advectivo:


cu .n dA (porquê o sinal “-”)?


A
– Difusivo:
A

 
 c .n dA
Localização das variáveis no volume de
controlo: Fluxos advectivo e difusivo
através das faces
cxt txVolxt tx  cxt xVolxt x
cxt tVolxt t  cxt Volxt

*
*
  cu.n dA  ucdA x  x / 2  cQ x x / 2
A
 
 
 *

c*x  c*x x




c
.
n
dA


dA
A
 x x / 2
x


*
cxt txVolxt tx  cxt xVolxt x
ucdA*xx / 2  cQ*xx / 2
 *

c
c
x  x / 2
dA
x


*
x  x
*
x
*
Aplicando o princípio de conservação
A taxa de acumulação é igual ao que entra menos o que
sai, mais o que se produz menos o que se destrói, e
admitindo que não há produção nem destruição, obtémse:
c
t  t
x

Volxt  t  c xt Volxt

t

c c

 Qcx  x / 2    Ax  x / 2  x x  x   
 x  


 c x  x  c x  
 Qcx  x / 2    Ax  x / 2 
 
 x  

Hipótese Upwind para a concentração
na face
c 
 c  se : u 
0
c *x x / 2  c *x se : u *x x / 2  0
*
*
*
c x  x / 2  c x se : u x  x / 2  0
*
*
*
c x  x / 2  c x  x se : u x  x / 2  0
*
x  x / 2
*
x  x
*
x  x / 2
• No caso de velocidade positiva (escoamento
para a direita):
c
t  t
x
 cx 
 c  c xx 
c
Vol xt  t  c xt Vol xt / t  Qxx / 2 C xx  Qxx / 2 C x     Axx / 2  x
    Ax x / 2  xx

x
x





Teste em problema unidimensional com
volume constante e caudal uniforme
Ci
Ci+1
Ci-1
c
t  t
x
 cx 
 c  c xx 
c
Vol xt  t  c xt Vol xt / t  Qxx / 2 C xx  Qxx / 2 C x     Axx / 2  x
    Ax x / 2  xx

x
x





Se o volume for constante e o caudal e a difusividade forem uniformes fica, em
upwind explícito:
c
t  t
i



 cit
cit1  cit
cit1  2cit  cit1
u

t
x
x 2
Explícito, Upwind, Cr = 1, Dif=0
t  t
i
c
Time step i-3
0
1
2
3
4
 ut t  t  ut 2t  t  t  t

 2 ci 1  1 

c   2 ci 1
2  i
x x 
 x x 

 x 
i-2
0
0
0
0
0
i-1
0
0.00
0.00
0.00
0.00
Grid point number
i
i+1
0
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
i+2
0
1.00
0.00
0.00
0.00
i+3
0
0.00
1.00
0.00
0.00
Cr=(Espaço percorrido num intervalo de tempo)/(passo espacial)
Cr=1, implica uma célula por passo => a solução é exacta
Total
amount
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
Explícito, Upwind, Cr= 0.5, Dif=0
t  t
i
c
Time step i-3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 ut t  t  ut 2t  t  t  t

 2 ci 1  1 

c   2 ci 1
2  i
x x 
 x x 

 x 
i-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
i-1
0
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Grid point number
i
i+1
0
1
0.00
0.50
0.00
0.25
0.00
0.13
0.00
0.06
0.00
0.03
0.00
0.02
0.00
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
i+2
0
0.50
0.50
0.38
0.25
0.16
0.09
0.05
0.03
0.02
0.01
i+3
0
0.00
0.25
0.38
0.38
0.31
0.23
0.16
0.11
0.07
0.04
Temos difusão numérica. A mancha espalha-se. Porquê?
Porque violámos a definição de concentração. Como se resolve?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Total
amount
1.00
1.00
1.00
0.88
0.69
0.50
0.34
0.23
0.14
0.09
0.05
O que aconteceu?
t0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
t0+Δt
0
0
0.5
0.5
0
0
0
0
0
t0+2Δt
0
0
0.25
0.5
0.25
0
0
0
0
t0+3Δt
0
0
0.125
0.375
0.375
0.125
O modelo é estável: os erros que aparecem diminuem no tempo.
O modelo tem difusão numérica: a concentração vai baixando
apesar de a difusão física ser nula.
Explícito, Upwind, Cr=2
t  t
i
c
 ut t  t  ut 2t  t  t  t

 2 ci 1  1 

c   2 ci 1
2  i
x x 
 x x 

 x 
t0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
t0+Δt
0
0
-1
2
0
0
0
0
0
t0+2Δt
0
0
+1
-4
4
0
0
0
0
t0+3Δt
0
0
-1
10
-16
8
Temos um modelo instável: os erros aparecem e crescem. Porquê? Num
modelo explícito Cr≤1. Os coeficientes têm que ser positivos.
As instabilidades são consequências da
violação de princípios físicos
• Quando as propriedades aumentam num
instante, nos instantes seguintes também só
podem aumentar.
• Quando Cr>1 o coeficiente de Ci fica negativo.
• Neste caso, durante um intervalo de tempo o
volume que sai de uma célula é maior do que
o que lá estava no início (Usando volumes finitos
é fácil ver que isso é a causa do problema).
• (ver Patankar, Fluid Flow)
Condição de estabilidade
t  t
i
c
 ut t  t  ut 2t  t  t  t

 2 ci 1  1 

c   2 ci 1
2  i
x x 
 x x 

 x 
Condição de estabilidade:
t 
 ut
2 2 0
1 
x
x 

Forma geral da Equação:
cit t  diCit1  1  ei Cit  fiC txx
ei  di  fi 
2ª Aula Advecção - Difusão
Diferenças Centrais. Método
implícito. Método QUICK
Outra opção: Valores médios nas faces
=>Diferenças Centrais
c 
 c x  c x  x 


2


c 
 c x  c x  x 


2


*
x  x / 2
*
x  x / 2
*
*
c*xx / 2  c*xx / 2   cx  cxx  cx  cxx *   cxx  cxx *
x


2x
2x




2x


Diferenças Centrais Explícitas
c
t  t
x
cit  t
c c 
c c 
 cxt Ax  AuCx x  Cx  x     Ax x / 2  x x x     Ax  x / 2  x  x x 
 x 
 x 
t 
 ut t  t 
 ut t  t

 2 C i1  1  2 2 C it   
 2 C i1
x 
 x x 

 x x 

1D explicit central differences Courant=1
t  t
i
c
 ut t  t  2t  t  ut t  t

 2 ci 1  1 
c  
 2 ci 1
2  i
x 
 2x x 

 2x x 
Time step i-3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
i-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Grid point number
i-1
i
i+1
0
0
1
0.00
-0.50
1.00
0.25
-1.00
0.50
0.75
-1.13
-0.50
1.31
-0.50
-1.63
1.56
0.97
-2.13
1.08
2.81
-1.16
-0.33
3.93
1.66
-2.29
2.94
5.59
-3.76
-1.00
8.52
-3.26
-7.14
7.52
0.31
-12.54
0.38
i+2
0
0.50
1.00
1.13
0.50
-0.97
-2.81
-3.93
-2.94
1.00
7.14
12.54
Total
amount
i+3
0
0.00
0.25
0.75
1.31
1.56
1.08
-0.33
-2.29
-3.76
-3.26
0.31
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Modelo Instável. Porquê? Há um dos coeficientes que é sempre negativo.
Propriedade transportiva violada. Como se resolve?
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Porque é instável?
• Por advecção (ou por difusão) quando as
propriedades aumentam num ponto, nos
pontos vizinhos só podem aumentar também.
• Isso implica que os coeficientes que
multiplicam as concentrações nos pontos
vizinhos têm que ser positivos.
• Só adicionando difusão é que isso pode
acontecer….
Condição de estabilidade para
diferenças centrais explícitas
Porque é que adicionando difusão o método fica estável?
Porque é que excesso de difusão torna o modelo instável?
Interpretação das diferenças centrais
• Porque é que as diferenças centrais são instáveis
sem difusão?
– Resp: Violam a propriedade transportiva. Um ponto
fica a saber o que está abaixo através da advecção, o
que é fisicamente impossível.
• Porque é que a difusão pode estabilizar as
diferenças centrais?
– Resp: Porque a difusão transporta a informação para
montante. No caso de a difusão ser importante a
advecção transporta efectivamente para jusante
coisas que foram transportadas para montante pela
difusão.
Continuação
• Poderão as diferenças centrais explícitas ser usadas quando a advecção é
dominante?
– Resp: Não. Nesse caso difusão transporta para montante muito menos do que
a advecção transporta para jusante (Reynolds da malha)
• Se a difusão for dominante é preferível usar diferenças centrais ou
upwind?
– Se a difusão for dominante as diferenças centrais são vantajosas porque têm
precisão de 2ª ordem e por isso introduzem menos difusão numéricas
• E se o algoritmo fosse implícito? Seria o algoritmo mais estável?
– Resp: Sim. Nesse caso a solução seria função dos valores das variáveis no
passo de tempo seguinte. Se a advecção tende a criar concentrações
negativas, a difusão aumenta automaticamente para porque o gradiente de
concentração aumenta.
• E se o método fosse upwind?
– Resp: nesse caso as concentração não pode ficar negativa. Em upwind a
concentração fica negativa se retirarmos de uma célula mais do que lá existe
para sair. Mas como em implícito o que sai é função da nova concentração, se
ela ficasse negativa isso significaria que sairia uma quantidade negativa e por
isso a concentração cresceria…..
Outros métodos para a advecção
• Upwind: Passa numa face o que está a montante.
• Diferenças centrais: Passa numa face a média do que está
dos dois lados.
• E se ajustássemos um polinómio de 2ª ordem a 3
pontos? Obteríamos o método QUICK: (Quadratic
Upstream Interpolation for Convective Kinematics):

Q  0  C
Qi  0  Ci  1  6 8 Ci 1  3 8 Ci  18 Ci 2
i
2
i  12
 6 8 Ci  3 8 Ci 1  18 Ci 1


• Tem precisão de terceira ordem. Tem mais problemas de
estabilidade (em situações particulares, nomeadamente
junto às fronteiras.
• Afinal qual é o melhor método?
Método implícito
c
t  t
x
c

 c Ax  AuC x  x  C x 
t
x

t  t
C  Cx 
 cxt
 u x x
t
x
t  t
x
t  t
c c

   Ax  x / 2  x x  x 
 x 
 2cx  cx  x 
c
   x  x

x 2


t 
 ut t  t  t  ut

 2 c xx  1 
 2 2 cxt  t
x
x 
 x x 

t  t
c 
c
   Ax  x / 2  x  x x 
 x 
t  t
 t 
  2 cxt tx  c tx
 x 
 diCit1 t  1 ei Cit t  fiCit1 t  Cit
 diCit1 t  1  ei Cit t  fiCit1 t  TIi
t  t
Porque serão os métodos implícitos
incondicionalmente estáveis?
• UPWIND
– No método explícito o que sai de uma célula é o que lá
está em “t”. No método implícito o que sai é o que lá vai
estar em “t+dt”.
– No método explícito, quando se retira de uma célula mais
do que lá está para sair, a concentração fica negativa.
– No método implícito não pode ficar porque o que sai é
função do que lá vai estar e por isso, se a concentração
pudesse ficar negativa, sairia uma quantidade negativa e
por isso a concentração iria aumentar e não diminuir. Isto
mostra que é impossível ficar com concentrações negativas
em upwind.
– E em diferenças centrais?
Porque são as diferenças centrais
implícitas mais estáveis que as explícitas?
• No caso das diferenças centrais, o que entra numa célula é
o que está a montante e o que sai é calculado em função
do que está a jusante ( em explícito viola a propriedade
transportiva da advecção).
• Em explícito, sem difusão a solução é instável (viola a
propriedade transportiva). Em implícito, o que sai de uma
célula é o que vai estar a jusante e o que entra é o que vai
estar a montante. Se a concentração a montante de uma
célula for nula, nessa zona ela vai ter que ficar negativa. No
entanto, o valor negativo a montante vai entrar na célula de
jusante e vai fazê-lo baixar, o que implica que vai ser
removido menos material de montante e por isso que a
concentração vai ser menos negativa.
Diferença entre métodos explícitos e
implícitos
c
Método implícito
Têm erros da mesma ordem de
grandeza. Se um é por excesso o
outro é por defeito. O método ideal
é a média dos dois.
Método Explícito
t1
t1+Δt
t
Método Semi-implícito (Crank –
Nicholson)
Método explícito:
cit t  diCit1  1  ei Cit  fiC txx
Método implícito:
 diCit1 t  1 ei Cit t  fiCit1 t  Cit
Método Semi-implícito (Crank – Nicholson):
1
1
1
1
 1 
 1 
 di C it1 t  1  ei Cit  t  f i C it1 t  di C it1  1  ei Cit  f i C it1
2
2
2
2
 2 
 2 
Requer o dobro das contas, mas deve ser mais preciso.
3ª Aula Advecção - Difusão
Séries de Taylor para obtenção das
equações algébricas.
Formas da equação
ck u j ck



t
x j
x j
 c 

  ( Fk  Pk )
 x 
j 

Escrevendo na forma da divergência dos fluxos:
ck


t
x j

 u j ck  c

x j


  ( Fk  Pk )


Onde o 1º termos do 2º membro é o simétrico da divergência dos fluxos, i.e.
o que entra menos o que sai.
Ou na forma convencional:
dck ck
ck


uj

dt
t
x j x j
 c 

  ( Fk  Pk )
 x 
j 

Séries de Taylor
t
cit  t
t
t
t
2
2
3
3
t n   n c 
 c  t   c  t   c 
t
 2  
 3   ....
 n 
 ci  t   
n!  t i
 t i 2!  t i 3!  t i
• Estão na base do método das diferenças
finitas, que são da mesma família dos Volumes
Finitos.
• Os Elementos Finitos/Elementos de fronteira
são a segunda principal família de métodos
numéricos.
O que representa a série de Taylor?
cit  t
t
t
t
2
3
3
n
n






c

t

c

t

c

t

c


t
 2  
 3   ....
 n 
 ci  t   
n!  t i
 t i 2!  t i 3!  t i
t
2
c
Outras
derivadas
Δc
Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt
Δt
t1
t1+Δt
t
Como usar para calcular as derivadas?
t
t
t
 c  t   c  t   c 
 2  
 3   ....
 c  t   
2!  t i 3!  t i
n!
 t i
t
t  t
i
t
i
c
2
2
3
3
n
 c 
cit  t  cit  t    (t 2 )
 t i
t
t  t
 c  ci  ci
 (t )
  
t
 t i
t
t
 c
 n 
 t i
n
t
Método Explícito: A derivada é calculada à esquerda “em t” e tem precisão de 1ª ordem,
ou seja, as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por (t )
A derivada ser calculada à esquerda significa “à esquerda do intervalo de tempo”, i.e.
em “t” e por isso o método é explícito. Todas as derivadas (i.e. todos os termos da
equação) são calculados em “t”.
O erro ser proporcional a (t ) significa que “o erro do cálculo aumenta quando o
passo de tempo aumenta.
Mas poderia ter feito calculado a
derivada à direita do intervalo de tempo
t  t
t  t
i
c c
t
i
 c 
 t  
 t i
t

2!
2
t  t
 c
 2 
 t i
2
t

3!
3
t  t
 c
 3 
 t i
3
t
 ....
n!
t  t
cit  cit  t
t  t
 c 
 
 t i
 c 
 t  
 t i
 (t 2 )
cit  t  cit

 (t )
t
Método Implícito: A derivada é calculada à direita “em t+dt” e tem precisão
de 1ª ordem, ou seja, todas as derivadas que foram ignoradas estão
multiplicadas por (t )
Isto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo
aumenta. Os métodos implícitos e explícitos têm a mesma precisão.
n
t  t
 c
 n 
 t i
n
Para calcular a derivada no centro do intervalo teria
que calcular os valores nos extremos a partir daquele
t  t / 2
t  t
i
c
t  t / 2
i
c
 c 
 t / 2 
 t i
t  t / 2
i
c c
 c 
 t / 2 
 t i
2

t / 2   2 c 



2!
t  t / 2
 t 2 

i
2!
t  t / 2
t
i
2

t / 2   2 c 



t  t / 2
 t 2 

i
3

t / 2   3c 



3!
 t 3 

i
3

t / 2   3c 



3!
t  t / 2
t  t / 2
 t 3 

i
n

t / 2   n c 


 ....
n!
 t n 

i
n

t / 2   n c 


 ....
n!
t  t / 2
t  t / 2
 t n 

i
Subtraindo uma da outra:
t  t / 2
cit  t
 c 
 cit   t  
 t i
t  t / 2
 c 
 
 t i

  t / 2

cit  t  cit
2

  t / 2
t
3


Neste método a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo e
tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução
parabólica. As derivadas ignoradas estão multiplicadas por t / 22
O que representa a série de Taylor?
cit  t
c
t
t
t
2
3
3
n
n






c

t

c

t

c

t

c


t
 2  
 3   ....
 n 
 ci  t   
n!  t i
 t i 2!  t i 3!  t i
t
Método Explícito
2
Método Implícito
Outras
derivadas
Δc
1ª Derivada: Δc/ Δt
Δt
Método Diferenças Centrais
t1
t1+Δt
t
Derivadas espaciais
t
i  x
c
t
t
x
 c  x   c  x   c 
 2  
 3   ....
 c  x  
2!  x i
3!  x i
n!
 x i
t
2
2
3
3
t
i
n
 c 
t
t
ci  x  ci  x   (x 2 )
 t i
Derivada à direita, Método downwind, se
t
velocidade positiva
cit x  cit
 c 
 (x)
  
x
 x i
t
Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da
informação no ponto e da informação à direita.
Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for
usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.
t
 c
 n 
 x i
n
Derivadas espaciais
t
i  x
c
t
t
x
 c  x   c  x   c 
 2  
 3   ....
 c  x  
2!  x i
3!  x i
n!
 x i
t
2
2
3
3
n
t
i
 c 
cit x  cit  x   (x 2 )
 t i
t
 c
 n 
 x i
n
t
t
t
 c  ci  ci  x
 (x)
  
x
 x i
t
Derivada à esquerda: “Método upwind” se
velocidade positiva e downwind se fosse negativa.
Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da
informação no ponto e da informação à esquerda. Este método respeita a
propriedade transportiva da velocidade se esta for positiva, mas não se for
negativa. Nesse caso a derivada deveria ser calculada “à direita”.
Subtraindo uma equação da outra
t
i  x
c
2
c
2
3
t
3
t
3
n
t
x
 c  x   c  x   c 




 c  x  

 ....
2 
3 


2!  x i
3!  x i
n!
 x i
2
2
3
t
i
 c 
3
 2x   (x )
 t i
t
t
i  x
c
c
t
i  x
 c  c  c
  
2x
 x i
t
t
i  x
t
i  x
 (x )
Diferenças Centrais
2
t
 c
 n 
 x i
n
t
i
t
t
i  x
t
x
 c  x   c  x   c 
 2  
 3   ....
 c  x  
2!  x i
3!  x i
n!
 x i
t
n
t
 c
 n 
 x i
n
2ª Derivada
*
*
c
x
 c  x   c  x   c 
 2  
 3   ....
 c  x  
2!  x i
3!  x i
n!
 x i
c
x
 c  x   c  x   c 
 2  
 3   ....
 c  x  
2!  x i
3!  x i
n!
 x i
*
*
i  x
2
3
3
n
*
i
*
*
i  x
2
2
*
2
3
*
i
Adicionando:
*
ci* x  ci* x
*
2


c
*
2
 2ci  x  2   (x 4 )
 t  i
  c  ci* x  2ci*  ci* x
2
 2  


(

x
)
2
x
 x i
2
3
*
*
 c
 n 
 x i
n
n
*
 c
 n 
 x i
n
4ª Aula Advecção - Difusão
Equações algébricas. Erro de
truncatura, condições iniciais e
condições de fronteira.
Sumário da aula anterior
•
•
•
•
Na última aula vimos como obter equações algébricas a partir das equações
diferenciais, usando séries de Taylor.
Vimos que poderíamos obter facilmente discretizações com precisão de primeira
ou de segunda ordem no tempo e/ou no espaço e vimos o que queria dizer o erro
de truncatura.
Combinando este conhecimento com o que obtivemos quando analisamos o
problema com o método dos volumes finitos concluímos que nem sempre o
menor erro de truncatura significa menor erro dos resultados.
Para se obterem bons resultados é necessário garantir o respeito pelos princípios
físicos, nomeadamente:
– Conceito de Concentração, que tem que ser mais ou menos uniforme no interior da célula,
– A transportividade da advecção,
– Que uma célula não é despejada numa iteração (Cr ≤ 1).
•
Os métodos implícitos respeitam os processos físicos de forma semelhante aos
explícitos e são mais estáveis. OS métodos semi-implícitos são mais estáveis e têm
maior precisão que os explícitos.
Equações Algébricas
• Obtêm-se substituindo as derivadas pelas
aproximações:
t t
cx  cxt
cxt  x  cxt x
cxt  x  2cxt  cxt x
2
2
 t   u
  x  



x
t
2x
x 2
 
 
• Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no
espaço e 1ª no tempo.
t t
cx  cxt
cxt tx/ 2  cxt tx/ 2
cxt tx/ 2  2cxt  t / 2  cxt tx/ 2
2
2
2
 t   u
  x  



x
t
2x
x 2
 
 
• Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais
espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço.
O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?
Como se obtém o valor em (t+Δt/2) ?
Fazendo a média…..
t  t / 2
cit  t
 c 
 cit  t / 2  t / 2 
 t i
t  t / 2
 c 
cit  cit  t / 2  t / 2 
 t i
2

t / 2   2 c 



2!
 t 2 

i
2

t / 2   2 c 



2!
t  t / 2
3

t / 2   3c 



3!
 t 3 

i
3

t / 2   3c 



t  t / 2
 t 2 

i
3!
t  t / 2
t  t / 2
 t 3 

i
n

t / 2   n c 


 ....
n!
• Adicionando as equações!
t  t / 2
2cit  t / 2  cit  cit  t
t  t / 2
i
c
  2c 
 t / 2   2 
 t i
2
 t n 

i
n

t / 2   n c 


 ....
n!
 .....
cit  cit  t
2

 t / 2 
2
• Substituindo estes termos nas equações
obtém-se a equação a resolver.
t  t / 2
t  t / 2
 t n 

i
Explícito Upwind
cxt  t  cxt
cxt  cxt x
cxt  x  2cxt  cxt x
2
2
 t   u
  x  



x
t
x
x 2
 
 
• Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção.
Segunda ordem para difusão.
• Esta equação pode ser organizada na forma:
c
t  t
i
 ut t  t
 ut 2t  t  t  t

 2 ci 1  1 

c   2 ci 1
2  i
x x 
 x x 

 x 
cit t  di cit1  1  ei cit  fi cit1  (F  P)
Forma geral da Equação
kdi cit1t  1  kei cit t  kfi cit1t  1  k di cit1  1  1  k ei cit  1  k  fi cit1  (F  P)
K=1=> implícito. K=0 => Explicito, k=0.5=> Crank-Nicholson:
Explicito, upwind:
c
t  t
i
 ut t  t
 ut 2t  t  t  t

 2 ci 1  1 

c   2 ci 1
2  i
x x 
 x x 

 x 
Números de Courant e de Difusão
Cr 
ut
x
 t
N º Dif  2
x
Sobre a precisão do cálculo
• No cálculo implícito e no cálculo explícito as derivadas são
calculadas nos extremos do intervalo de tempo. Estes métodos
ignoram todas as derivadas a partir da primeira: têm precisão de
primeira ordem ou “até à primeira ordem”.
• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por (t )
• Quando a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo as
derivadas só são ignoradas a partir da segunda. São métodos com
precisão de 2ª ordem, ou “até à 2ª ordem”. Se a função for uma
recta ou uma parábola o cálculo da derivada é exacto.
2
• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por t / 2
• Mas (t ) >1 então quanto maior é a ordem de precisão do
cálculo, maior é o coeficiente dos termos ignorados. Porque é
que a precisão do cálculo aumenta?
Porque aumenta a precisão com o
expoente de (t ) ?
Porque os termos ignorados são da forma:
t / 2
n!
n 1
t  t / 2
  nc 
 n 
 t  i
O cálculo da derivada faz aparecer em denominador o intervalo de
tempo elevado n e o coeficiente está elevado a (n-1) e por isso o
produto é proporcional a (c) /(t )ou seja à primeira derivada
multiplicada pelo inverso do factorial de n e por isso quanto maior é o
valor do expoente do intervalo de tempo, menor é o valor dos temos
desprezados.
Esta conclusão é consistente como facto de as derivadas perderem
importância à medida que a ordem aumenta.
Condições Iniciais e de Fronteira
• Iniciais podem ser importantes ou não
• Fronteira idem. Como se impõem?
Ci
Ci-1
Ci+1
 diCit1 t  1 ei Cit t  fiCit1 t  Cit
Condições de fronteira
• Difusão:
– Requer o cálculo dos fluxos nas células de fronteira e
por isso requer a concentração no exterior em ambas
as fronteiras. Se não for conhecida a melhor solução é
normalmente gradiente nulo.
• Advecção
– Quando o escoamento entra no domínio transporta as
propriedades do exterior. As propriedades têm que
ser conhecidas no exterior. Se não forem conhecidas,
a simulação só pode fazer sentido se as fontes e os
poços ou os fluxos através do fundo e/ou da superfície
livre dominarem a solução.
Transporte de calor
• No caso do calor os fluxos através do fundo
são normalmente pouco importantes.
• Pelo contrário os fluxos através da superfície
livre são essenciais (radiação, calor sensível e
calor latente.
5ª Aula Advecção - Difusão
Condições de fronteira na interface
com a atmosfera.
Condições de fronteira: Fronteiras
abertas
• Num canal as fronteiras de entrada e de saída do
escoamento (fronteiras abertas) requerem duas
condições de fronteira por via da difusão e da
advecção no caso de o escoamento estar a entrar.
• A difusão envolve uma segunda derivada e por
isso precisa de duas condições de fronteira (uma
na entrada e outra na saída).
• A advecção envolve uma primeira derivada e por
isso requer uma condição de fronteira: valor da
propriedade à entrada (ou fluxo advectivo à
entrada, pois estão relacionados pelo caudal).
Condições de Fronteira: Fronteiras
sólidas
• Nas fronteiras sólidas só pode haver fluxos
difusivos, que dependem da propriedade que se
está a estudar.
• No caso de sedimentos poderíamos ter erosão e
deposição (este último processo envolve a
velocidade de queda dos sedimentos).
• No caso do calor o fluxo difusivo através da
fronteira sólida é igual ao fluxo que se propaga
através do solo. Admitindo que esse fluxo é baixo,
então poderemos admitir que os fluxos através
das paredes sólidas são desprezáveis.
Condições de fronteira: fluxos através
da superfície livre
• Os fluxos através da superfície livre dependem
também da propriedade que estamos a
considerar.
• No caso de gases e de vapores dependem das
pressões parciais na atmosfera e na água. Na
grande maioria das propriedades são nulos, mas
no caso do calor são determinantes.
• Poderemos ter fluxos de calor latente, sensível e
fluxos de calor por radiação directa do sol, difusa
da atmosfera e ainda radiação da água para a
atmosfera.
Fluxo de calor latente
• Depende da temperatura da água e da
humidade relativa do ar. No modelo MOHID é
calculado como:
Fluxo e calor sensível
Fluxo de calor por radiação
• Ver:
• Brock, T. D. (1981) - Calculating solar radiation
for ecological studies. Ecological Modelling.