Depto de Economia
Jul/2015
Universidade Federal do Parana
UFPR
Economia Matemática
Lista de Exercı́cios
João Basilio Pereima
[email protected]
Departmento de Economia
Universidade Federal do Paraná - UFPR
Curitiba - Paraná - Brasil
October 20, 2015
Prof. João Basilio Pereima
1
Economia Matemática
Depto de Economia
1
Jul/2015
Economia Matemática
Lista de Exercı́cio Parte I - Algebra
Os exercı́cios a seguir devem ser realizados no MatLab. Alguns foram baseados em Kolman
(2006), capı́tulos 1 a 3. Os exercı́cios devem ser escritos no script do MatLab e salvos como
um programa em um arquivo de nome nomealuno Ex01.m. A extensão m significa um
arquivo de programa que na verdade é um arquivo texto que poderia ser escrito em qualquer
editor de arquivo TXT. No arquivo identificar cada exercı́cio com uma linha de comentário “#
Exercı́cio 1” e assim sucessivamente, de modo que seja possı́vel executar todos os exercı́cios
quando abrir o arquivo de programa.
Na maioria dos exercı́cios, deve-se usar algoritmos programados que incluem loops na
forma for 1:n ... end.
1.1
Algebra - Exercı́cios no MatLab
1. Resolva pelo método de redução de linhas ou eliminação de Gauss o seguinte sistema
de equações:
2x + 3y + z − 2w = 5
−x + y − z + 3w = 8
(1)
−3x + 4y + 2z + 5w = 12
−2x + 3y − z − 3w = 1
2. Crie uma Matriz A(i, j) = i + j onde i, j = {1, 2, ..., 10} e faça: a.) encontre a matriz
reduzida, na forma echelon; b.) calcule o determinante; c.) calcule a matriz A−1
3. Dada a matriz:

1
−1
A=
3
4
3 4
1 3
1 −2
0 −1

−4
−2

7
5
(2)
a.) crie um vetor coluna somando os elementos de cada linha v4x1 =
P4
aj
b.) crie um vetor linha somando os elementos de cada coluna u1x4 =
P4
ai
j=1
i=1
4. 4) Dada a matriz:

2
1

3

A=
0
0

6
7
3
1
1
0
4
−1
−2
4
3
−2
−1
−3
4
1
−4
−2
7
5
9
7
0
5
5
0
2
1
3
−5
7
−2
−2
1
1
0
3

4
1

−2

0

−4

8
3
(3)
a.) crie uma matriz B que seja igual a transposta de A. Não use o B=A’. Escreva um
código usando loops do tipo for 1:7 ... end
b.) crie uma matriz C na qual os elementos A(i, j) < 0 serão substituı́dos por |A(i, j)|.
Dica: Dentro do loop for use a estrutura de comando if ... else ... endif
c.) Calcule: o determinante, a inversa de C, a forma reduzida de Echelon e o Rank da
matriz. Verifique se o Rank = n e explique o que isso significa.
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5. Dada a matriz de transição de Markov (T ) e a matriz de população (P ) em quatro
regiões e que a popualção no tempo t = 0 é dada pelo vetor coluna P :


0.60 0.30 0.03 0.04
0.20 0.55 0.17 0.09

T =
0.12 0.10 0.68 0.13
0.08 0.05 0.12 0.74


10.000.000
10.000.000

P =
10.000.000
10.000.000
(4)
(5)
a.) Sabendo que P t+1 = T P t , calcule a população no tempo t = 1, 2, 3 e 20
b.) Calcule a população no estado estacionário. O que isto significa?
6. Usando a matriz insumo produto do IBGE, com 56 setores para 2009 (a mesma usada
em sala de aula), faça os seguintes exercı́cios de simulação da economia brasileira:
a.) Importe a matriz de atividades para o MatLab;
b.) Calcule a Matriz de Coeficientes e depois a Matriz de Leontief;
c.) Simule uma queda de 10% linear no consumo do governo. Calcule a variação da
produção total em termos $ e em termos percentuais de cada setor. Quais os três setores
mais prejudicados, em termos percentuais? Apresente os resultado num vetor coluna.
7. Escreva o sistema na forma de equações. Verifique no MatLab se as matrizes quadradas
abaixo possuem uma inversa e se é possı́vel encontrar os vetores que solucionam os
respectivos sistemas de equações, de forma que pode-se escrever que Ax = b e portanto
x = A−1 b para os casos que A é invertı́vel. Se A for invertı́vel então existe uma solução
para o sistema Ax = b. Encontre os valores do vetor x que solucionam cada sistema
de equações.

1
A = 0
5

1
0

A=
3
2
2
1
2
5

 
1
10
3 b = 20
1
30
2
1
3
3 −2
0
−1
4
1
1 −4
1
6
5 −2

 
5
1
2
3

 
 
3
 b = 3
4
2
1
8
1.2 Transformações Lineares e Solução de Sistemas de Equações
- Kolman Cap 1
Uma transformação matricial Am×n é uma transformação f : Rn → Rm que leva o
domı́nio na dimensão Rn para uma imagem na dimensão Rm . Uma figura tridimensional em R3 pode ser projetada (transformada) num plano no R2 .
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8. A matrix A2×2
realiza uma transformação matricial f : R2 → R2 da forma
1
4
f (u) = Au: Determine se o vetor w =
está na imagem de f .
−1
1 0
9. A matrix A2×2 =
realiza uma transformação matricial f : R2 → R2 da forma
0 −1
x
f (u) = Au. Se u =
é um vetor que pertence ao domı́nio, determine o vetor w que
y
está na imagem de f (u). Represente o resultado graficamente.
1 0 0
10. A matrix A2×3 =
realiza uma transformação matricial f : R3 → R2 da
0 1 0
forma f (u) = Au. Se u = [x y z]0 é um vetor que pertence ao domı́nio, determine o
vetor w que está na imagem de f (u). Represente o resultado graficamente.
1
=
−2
1.3 Vetores, Espaços Vetoriais, Distâncias, Base, etc - Kolman
Cap 4
11. Plote os vetores x, y, z no MatLab (use sys34.m) fazendo X=[x 0].
 
1
x = 2
3
 
−1
y =  2
3


1
z =  2
−3
12. Calcule o comprimento dos vetores x, y, z do item acima e dos vetores u, v abaixo:
 
1
0
 

u=
3
2
2
 
1
2
 

v=
3
4
8
13. Calcule o produto interno (dot product) dos vetores dos dois itens anteriores: x y, x z, y z, u v.
Alguns dos vetores são ortogonais?
14. Calcule o produto
MatLab
 
1

x1 = 0
x2 =
3
interno (dot product) dos vetores abaixo e plote-os num gráfico no
 
−2
0
1
 
0

x3 = 1
0
(novos exercı́cios serão acrescentados com o tempo....
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