LISTA DE EXERCÍCIOS 5 – Álgebra Linear
c) Qual a matriz R(30◦ )R(60◦ )? Interprete o resultado.
d) Qual a matriz R(60◦ )R(30◦ )? Interprete o resultado.
1) Calcule o ângulo entre os vetores:
11) Para a matriz R(30◦ ), calcule a inversa e interprete o resultado.
a) (1,2) e (0,1)
12) Considere o desenho abaixo (algo como uma ”seta”), representado pelos pontos.
b) (2,3) e (1,1)
c) (-1,2) e (1,1)
2) Desenhe e calcule a projeção ortogonal do vetor ~v = (1, 4)
sobre o vetor ~u = (4, 1)
3) Considere os vetores ~v = (1, 1, 4) e ~( − 1, 2, 2)
a) Calcule o ângulo entre os vetores ~v e ~u.
b) Calcule a projeção do vetor ~v sobre ~u
4) Calcule ~u × ~v , para:
a) ~u = 5î + 4ĵ + 3k̂, ~v = î + k̂
a) Escreva a matriz R(−30◦ ) e aplique aos pontos, faça o
desenho resultante.
b) ~u = î − 3ĵ + 2k̂, ~v = 2î + 3ĵ
b) Faça o mesmo para a matriz R(60◦ ).
c) ~u = −2î + 1ĵ − 2k̂, ~v = 2î − 2ĵ + 3k̂
c) Idem para a matriz R(270◦ ).
d) ~u = 2î + 2ĵ + 2k̂, ~v = 1î + 1ĵ + 1k̂
13) Aplique a matriz R(180◦ ) aos pontos abaixo (vértices de
uma letra ”A” estilizada, o quadriculado é de 1 × 1). Faça
5) Determine a área do paralelogramo cujas arestas sejam os
o desenho da figura resultante.
vetores ~u = (2, 5, 0) e ~v = (−1, 1, 0). Desenhe.
6) Calcule o Torque realizado pela força F~ = (50N, 0, 0), aplicada em ~r = (0, 1, 5m, 0) sobre a barra em relação ao ponto
(0, 0, 0) representada no desenho. Explique o significado
de ~τ e da seta curva no desenho.
14) Quando uma matriz de rotação é aplicada sobre um vetor,
o vetor muda de tamanho? Mostre através de um exemplo.
15) Uma reta, pode ser representada pela função:
7) Considere a barra do exercı́cio anterior. Para uma força
F~ = (0, 25N, 25N ) aplicada sobre o mesmo ponto ~r, calcule: a) a intensidade (módulo) da força; b) O torque em
relação ao ponto (0, 0, 0).
8) Calcule e interprete o produto misto entre os vetores ~u =
2î + 3ĵ, ~v = ĵ e w
~ = 2î + ĵ + k̂. Utilize um desenho na
interpretação.
9) Verifique que (ax , ay , az )(·(bx , by , bz )~(cx , cy , cz )) corresponde ao determinante com os vetores ~a, ~b e ~c. Qual o
significado geométrico do produto misto valer zero?
y = 3x + 1
Que em notação matricial:
x
y
=
t
3t + 1
Para quaisquer valores de t (reais). Calcule e interprete o
resultado em um gráfico.
R(90◦ )
x
y
a) as medidas do fundo AB do terreno T1 e da frente CE 16) Considere matrizes de rotação em 3D.
do terreno T2.
a) Escreva a matriz de rotação que gera a rotação de î e
b) a medida do lado DE.
ĵ de 90c irc em relação a k̂ no sentido da mão direita
10) Considere a matriz de rotação em 2D:
(anti-horário).
R(θ) =
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
◦
◦
a) Escreva a matriz para θ = 30 , R(30 )
b) Escreva a matriz para θ = 60◦ , R(60◦ )
b) Escreva a matriz que gera a rotação de ĵ e k̂ de 90c irc
em torno de î no sentido da mão direita.
c) Explique através de um exemplo se essas duas
operações de rotação dos itens anteriores comutam.
Alguns que usam apenas geometria plana (lei dos cossenos
e lei dos senos), que, como vimos, foram deduzidas do
produto escalar e vetorial. Utilize essas leis diretamente,
não precisa determinar os vetores.
17) Determine a distância x em cada um dos desenhos.
18) Determine a distância x em cada um dos triângulos abaixo.
22) Um observador colocado a 25m de um prédio vê um
edifı́cio sob certo ângulo. Afastando-se em linha reta mais
50 m, nota que o ângulo de visualização é metade do anterior. Qual é a altura do edifı́cio?
19) Uma ponte deve ser construı́da sobre um rio, unindo os
pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para
calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na
mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos
CBA = 57◦ e ACB = 59◦ . BC mede 30m, calcule a
distância AB.
20) Dois terrenos, T2 e T2, têm frentes para a rua R e fundos
para a rua S, como mostra a figura. O lado BC do terreno
T1 mede 30 m e é paralelo ao lado DE do terreno T2.
A frenteAC do terreno T1 mede 50 m e o fundo BD do
terreno T2 mede 35 m. Ao lado do terreno T2 há um
’
’
outro terreno, T3, com frente para a rua Z, na forma de
um setor circular de centro E e raio ED.
21) A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir
uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se
o ângulo AP B = 45◦ e do ponto A, mediu-se o ângulo
P AB = 30◦ . Calcular o comprimento da ponte.