UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Introdução ao Cálculo Numérico
2a. Edição
Álvaro Luiz de Bortoli
Carolina Cardoso
Maria Paula Gonçalves Fachin
Rudnei Dias da Cunha
Porto Alegre, abril de 2003.
Álvaro Luiz de Bortoli é professor adjunto da UFRGS,
desempenhando suas atividades junto ao Departamento de
Matemática Pura e Aplicada, do Instituto de Matemática, desde
1996. É formado em Engenharia Mecânica pela UFRGS (1987);
Mestre em Engenharia Mecânica pela UFSC (1990); e Doutor em
Aerodinâmica e Aeroelasticidade pela UFSC e Deutsches Luftund Raumfahrt Institut, Alemanha (1995).
Carolina Cardoso é Bacharel em Matemática (ênfase
Matemática Aplicada e Computacional) pela UFRGS (1998) e
Mestre em Matemática Aplicada pela UFRGS (2001).
Maria Paula Gonçalves Fachin é professora adjunta da
UFRGS, desempenhando suas atividades junto ao Departamento
de Matemática Pura e Aplicada, do Instituto de Matemática,
desde 1990. É Licenciada em Matemática pela UFRGS (1986);
Mestre em Matemática pela UFRGS (1990); e Doctor of
Philosophy in Computer Science pela University of Kent at
Canterbury, Reino Unido (1994).
Rudnei Dias da Cunha é professor adjunto da UFRGS,
desempenhando suas atividades junto ao Departamento de
Matemática Pura e Aplicada, do Instituto de Matemática, desde
1994. É Bacharel em Ciências de Computação pela UFRGS (1988)
e Doctor of Philosophy in Computer Science pela University of
Kent at Canterbury, Reino Unido (1992). Exerceu as funções
de programador de computadores e analista de sistemas no
Centro de Processamento de Dados da UFRGS (1983-1994). Foi
coordenador do Programa de Pós-Graduação em Matemática
Aplicada da UFRGS (1999-2000) e atualmente ocupa o cargo de
Vice-Diretor do Instituto de Matemática da UFRGS.
Sumário
1 Aritmética no Computador
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Representação em binário e decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Bits, bytes e palavras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Conversão entre representações . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Representação de números em um computador . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Representação de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Representação de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.1 Representação racional de números reais . . . . . .
1.3.2.2 Representação de números reais em ponto-fixo . . .
1.3.2.3 Representação de números reais em ponto-flutuante
1.3.2.4 Tratamento do zero . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Caracterização de uma representação . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Arredondamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Operações aritméticas de ponto-flutuante . . . . . . . . . . .
1.3.5.1 Erros em operações aritméticas de ponto-flutuante .
1.4 Perda de dı́gitos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Subtração de valores quase idênticos . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Teorema sobre a perda de precisão . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Condicionamento de um problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Computações estáveis e instáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Desastres causados por erros aritméticos no computador . . . . . . .
1.7.1 Falha do sistema de mı́sseis “Patriot” . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Explosão do foguete Ariane 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Cálculo de Raı́zes de Funções Não-Lineares
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Método da Bissecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Método da posição falsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Melhorando o método da posição falsa . . . . . . . .
2.3.2 Análise do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Análise do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Derivação numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 O método de Newton-Raphson e as raı́zes complexas
2.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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de f (x)
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3 Cálculo de Raı́zes de Polinômios
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Resultados teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Enumeração e localização de raı́zes de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Regra de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Regra de Du Gua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Regra da lacuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Cota de Laguerre-Thibault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Cota de Fujiwara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Cota de Kojima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7 Cota de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Método de Newton-Viéte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Método de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Cálculo do quociente e do resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Deflação de um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Calcular a expansão de Taylor de um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.1 O método de Horner e sua relação com a derivada de p(z) . . . . .
3.5.3.2 O método de Newton-Raphson usado em conjunto com o algoritmo
parcial de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Raı́zes complexas de equações polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Método de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Resolução de Sistemas de Equações Lineares
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Resolução de Sistemas Triangulares de Equações Lineares . . . . . . . .
4.3 Resolução de Sistemas de Equações Lineares por Eliminação Gaussiana
4.3.1 Dificuldades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Eliminação Gaussiana e a Fatoração LU . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 O Custo Computacional da Fatoração LU . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Resolução de sistemas com múltiplos termos independentes . . .
4.3.4.1 Cálculo da inversa de uma matriz . . . . . . . . . . . .
4.4 Resolução Iterativa de Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . .
4.4.1 Normas de vetores e de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Normas de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Número de condição de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Erros computacionais e condicionamento . . . . . . . . . . . . . .
4.4.5 Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.6 Refinamento iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.7 Método iterativo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.8 Método iterativo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.9 Extrapolação de um método iterativo . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Método do Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Forma Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Descrição do método do Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Método das Direções-Conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Método dos Gradientes-Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Resolução de Sistemas de Equações
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Método de Newton . . . . . . . . .
5.3 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . .
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Não-Lineares
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6 Autovalores e Autovetores
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Teoremas de limites sobre autovalores . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Cálculo de autovalores e autovetores via determinantes . . . . .
6.4 Autovalores de uma matriz tridiagonal simétrica . . . . . . . .
6.5 Métodos para aproximação de autovalores e autovetores . . . .
6.5.1 Método da potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 O método da potência com translação da origem . . . .
6.5.3 Método da iteração inversa . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.4 O método da iteração inversa e o quociente de Rayleigh
6.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Interpolação
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Interpolação polinomial . . . . . . . . . . .
7.3 Forma de Newton . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Forma de Lagrange . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Forma de Newton com diferenças divididas
7.6 Forma de Newton com diferenças simples .
7.7 Interpolação inversa . . . . . . . . . . . . .
7.8 Interpolação por “splines” . . . . . . . . . .
7.9 Estudo do erro na interpolação . . . . . . .
7.9.1 Estimativa para o erro . . . . . . . .
7.10 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Ajuste de dados experimentais
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Mı́nimos quadrados - domı́nio discreto . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Ajuste linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Ajuste polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Ajustamento por funções não lineares nos parâmetros – linearização
8.5.1 Ajustamento por uma função exponencial . . . . . . . . . . .
8.5.2 Ajustamento por uma função potência . . . . . . . . . . . . .
8.5.3 Ajustamento por uma função hiperbólica . . . . . . . . . . .
x
. . . . . . .
8.5.4 Ajustamento por uma função do tipo y = a0 +a
1x
1
8.5.5 Ajustamento por uma função do tipo y = a0 +a1 x+a2 x2 . . . .
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8.6
8.7
8.8
8.5.6 Ajustamento por uma função do tipo
Escolha do melhor ajuste . . . . . . . . . .
Mı́nimos quadrados - domı́nio contı́nuo . . .
8.7.1 Polinômios ortogonais . . . . . . . .
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
y = a eb x+c x
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9 Integração Numérica
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Integração numérica via interpolação polinomial
9.2.1 Regra do Trapézio . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Método dos Coeficientes a Determinar . .
9.2.3 Regra de Simpson . . . . . . . . . . . . .
9.2.4 Regra de Simpson com exatidão crescente
9.2.5 Mudança do intervalo de integração . . .
9.2.6 Quadratura Gaussiana . . . . . . . . . . .
9.3 Integração de funções mal comportadas . . . . .
9.4 Intervalos de integração infinitos . . . . . . . . .
9.5 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
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10 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Problema de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Existência da Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Erros na solução numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Método da Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3.1 Vantagens e desvantagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.4 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.5 Método de Heum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.5.1 Erro de truncamento para o método de Heum . . . . . . . .
10.2.6 Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.6.1 Método modificado de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.6.2 Método de Runge-Kutta de 4a Ordem . . . . . . . . . . . . .
10.2.6.3 Erros do método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.6.4 Avaliação da Função versus Ordem do Método Runge-Kutta
10.2.6.5 Método Adaptativo de Runge-Kutta-Fehlberg . . . . . . . .
10.2.7 Métodos de passo múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.7.1 Convergência, Estabilidade e Consistência . . . . . . . . . . .
10.2.7.2 Erros de truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.7.3 Erros de truncamento globais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.8 Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . .
10.2.8.1 Método da Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.8.2 Método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.9 Solução via decomposição em autovalores e autovetores . . . . . . . .
10.2.9.1 O expoente de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.10 Equações rı́gidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Problemas de Valor de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Método do disparo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Método da colocação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.4 Derivação numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.5 Solução por diferenças-finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.5.1 O caso linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Solução Numérica de Equações Diferenciais Parciais
11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Equações parabólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Método explı́cito . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Método de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . .
11.2.2.1 Aproximação ponderada . . . . . . . .
11.2.3 Condições de fronteira . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Equações diferenciais parciais elı́pticas . . . . . . . . .
11.4 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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