CAPÍTULO VI - DISTÂNCIA
6.1 Distância entre dois pontos
B
A distância entre um ponto A e um ponto B
→
é indicada por d(A,B) e definida por | AB | .
A
Considerando A ( a 1 , a 2 , a 3 ) e B(b1 , b 2 , b 3 ) temos que:
→
d( A , B) = | AB | = | (b1 − a 1 , b 2 − a 2 , b 3 − a 3 ) | .
Daí,
d( A, B) = (b1 − a1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2 + (b 3 − a 3 ) 2
6.2 Distância entre um ponto e um plano
A distância entre um
d ( Po , π) e definida
entre as distâncias de
π.
ponto Po e um plano π é indicada
como a menor
Po a pontos de
P
por
o
Assim, se P é um ponto qualquer de π ,
então a distância entre Po e π é o
P
→
módulo da projeção do vetor PPo , na
r
direção de n π .
r
nπ
π
P1
Considerando π : ax + by + cz + d = 0 Po ( x o , y o , x o ) e P(x, y, z)
então:
→ r
| a(x o − x) + b( y o − y) + c( z o − z) |
d( Po , π) = | PPo ⋅ n °π | =
a 2 + b2 + c2
Logo,
d( Po , π) | =
| axo + by o + czo + d |
2
2
a +b +c
.
2
29
Exemplos:
Determine a distância entre o ponto Po e o plano π nos seguintes casos:
a) Po (1,1,2) e π : 2x − y + 2z + 4 = 0
b) Po ( 2,2,4) e π : X = (1,0,1) + h(1,1,1) + t(1,2,3) ; h, t ∈IR.
Solução:
a) d( Po , π) =
| 2.1 − 1.1 + 2.2 + 4 |
=3
9
r
b) Consideremos P(1,0,1) e n π = (1,1,1) × (1,2,3) = (1,−2,1).
Assim,
→ r
| 1.1 + ( −2).2 + 1.3 |
d( Po , π) =| PPo ⋅ n °π | =
= 0.
6
6.3 Distância entre um ponto e uma reta
A distância entre um ponto Q e uma
reta r é indicada por d(Q, r) e
definida como a menor entre as
distâncias de Q a pontos de r.
Assim, se P ∈ r e m é a reta
definida pelos pontos P e Q, temos
que :
Q
d (Q, r)
P
r
m
→
→ | PQ × rv |
r .
d(Q, r ) = | PQ | . sen (r, m) = | PQ |
→ r
| PQ | | v r |
→ r
| PQ × v r |
Logo,
d( Q, r ) =
.
→
r
| vr |
30
Utilizando
a
interpretação
geométrica do produto vetorial,
podemos observar que d(Q,r) é a
altura do paralelogramo, cujos
lados são representantes dos
→
r
vetores v r e PQ , em relação à
r
base PR, sendo R = P + v r .
Q
h = d (Q, r)
P
r
vr
r
R
Exemplos:
Determine d(Q,r) nos seguintes casos:
a) Q(1,1,0)
e
b) Q(1,2,3)
e
x = 2 + t

r :  y = 2t ; t ∈ IR
z = 1 − t

x − y + 2z + 1 = 0
r :
2x + y − z + 3 = 0
Solução:
r
a) Sejam P(2,0,1) e v r = (1,2, −1) .
Então,
| ( −1,1,−1) × (1,2, −1) |
21
d(Q, r ) =
=
.
3
6
r
b) Sejam P ( 0,−7,−4 ) e v r = (− 1,5,3) .
Então,
| (1,9,7) × ( −1,5,3) | 6 14
d(Q, r ) =
=
.
7
35
31
6.4 Distância entre uma reta e um plano
A distância entre a reta r e o plano π é indicada por d(r, π ) e definida
como a menor distância entre os pontos de r a π .
Assim:
a) Se r e π são concorrentes ou se r está contida em π então
d( r , π) = 0.
r
r
π
π
b) Se r é paralela a π então d(r, π ) = d(R, π ) ; R ∈ r.
R
r
π
6.5 Distância entre dois planos
A distância entre os planos α e β é indicada por d(α, β) e definida
como a menor distância entre os pontos de α a β . Assim,
a) Se α e β são concorrentes então d(α, β) = 0.
β
α
b) Se α e β são paralelos então d(α, β) = d( P, β); P ∈ α .
β
α
32
Exemplos:
1. Calcule d( r, π) nos seguintes casos:
2x − y + z = 0
a) r : 
e π : 3x − y + 2z − 2 = 0
x
+
y
−
z
+
1
=
0

b) r : X = (1,2,1) + h( −1,1,0); h ∈ IR
e
π : 3x + 3y + z − 2 = 0
Solução:
r
v r // (2,− 1,1) × (1,1,−1) = ( 0,3,3) . Consideremos
r
r
r r
v r = ( 0,1,1) e n π = (3,− 1,2 ) . Como v r ⋅ n π = 1 , temos que r e π são
a)
Sabemos
que
concorrentes. Portanto, d(r, π )=0.
r
r
b) Como v r ⋅ n π = 0 e R(1,2,1) ∉ π , concluímos que r é paralela a
π.
| 3.1 + 3.2 + 1.1 − 2 | 8 19
Assim, d( r, π) = d(R, π) =
=
, sendo R(1,2,1)
19
19
um ponto de r.
2. Calcule d(α, β) nos seguintes casos:
a) α : X = h(1,−1,0) + t(0,1,1); h, t ∈ IR e β : 3x + 3y − z + 3 = 0
x = h

b) α : 2x + 2y − 2z + 1 = 0 e β :  y = −h + t ; h, t ∈ IR
z = t

Solução:
r
r
a) Sejam n α = (1, −1,0) × (0,1,1) = ( −1,−1,1) e n β = (3,3, −1) .
r
r
Como n α e n β são LI temos que α e β são concorrentes. Assim,
d(α, β) = 0 .
r
r
b) Sejam
n α = (2,2, −2) e n β = (1,−1,0) × (0,1,1) = (−1,−1,1) . Como
estes vetores são LD, concluímos que α e β são paralelos. Assim,
d(α, β) = d(P, α) =
de β .
| 2.0 + 2.0 − 2.0 − 1 |
3
=
, sendo P(0,0,0) um ponto
6
12
33
6.6 Distância entre duas retas
A distância entre as retas r e s é indicada por d(r,s) e definida como a
menor distância entre os pontos de r e s.
r
r
Consideremos as retas r : X = R + t v r ; t ∈ IR e s : X = S + h v s ; h ∈ IR .
Assim,
R
r
1) Se r é paralela a s então
d(r,s) = d(R,s) = d(S,r) .
s
S
2) Se r e s são concorrentes então d(r,s)= 0.
r
s
r
R
3) Se r e s são reversas então
d( r, s ) = d( r, π) = d( R, π) , sendo π um
plano que contém s e é paralelo a r.
Assim,
s
π
→
S
Ou seja,
d( r, s ) = d( R, π) =| projrv r × rv s RS |
→ r
r
| [RS , v r , v s ] |
d(r, s) =
r
r
| vr × v s |
Da interpretação geométrica de
produto misto e produto vetorial,
concluímos que d(r,s) é a altura do
paralelepípedo cujas arestas são
representantes
dos
vetores
→ r
r
SR, v r e vs em relação à base
r
SPQ,
sendo
P = S + vr e
r
Q = S + vs .
R
r
r P
vr
s
π
S
r
vs
Q
34
Exemplos:
1. Calcule d(r,s) nos seguintes casos:
a) r : X = (1,0,2) + h(1,1,1); h ∈ IR
b) r : X = (3,−1,1) + t ( 2,0,1); t ∈ IR
e
e
s: x −1= y + 2 = z − 3
x = 6 − h

s :  y = −2 + h ; h ∈ IR
z =1 + h

c) r : X = (1,1,1) + h(−1,2,1); h ∈ IR e s : X = (1,1,3) + t(2,1,3); t ∈ IR.
Solução:
r
r
a) As retas r e s são paralelas pois v r = (1,1,1) = v s .
Assim, d(r,s) = d(R,s) = d(S,r).
Consideremos R (1,0,2) e S(1, −2,3) pontos de r e s, respectivamente.
Então:
| (0,−2,1) × (1,1,1) |
42
d( r, s ) =
=
.
| (1,1,1) |
3
r
r
b) Temos v r = ( 2,0 ,1) e v s = ( −1,1,1) . Assim, as retas não são paralelas.
Sejam R (3,−1,1) e S(6, −2,1) pontos de r e s, respectivamente. Então:
3 −1 0
→ r r 
0 1 = 0.
RS, v r , vs  = 2

 −1 1 1
Logo, r e s são concorrentes e d(r,s) = 0.
r
r
c) Sejam v r = ( −1,2,1) e v s = ( 2,1,3). Assim, as retas não são paralelas.
Consideremos R (1,1,1) e S(1,1,3) pontos de r e s, respectivamente.
Então:
0 0 2
→ r r 
RS, v r , vs  = − 1 2 1 = −10 ≠ 0 .

 2 1 3
Daí, r e s são reversas .
35
Logo,
→ r r 
| RS, v r , vs  |
 =2 3.
d( r, s ) =  r
r
| vr × vs |
3
 x = ah

2) Sejam r: X = (1,2,0) + t(1,1,1); t ∈ R e s:  y = 1 + h ; h ∈ R .
z = 2 − h

Determine a, de modo que :
a) d(r,s)= 0
b) r e s sejam reversas.
Solução:
a) d(r,s) = 0
⇒
r e
são concorrentes ou coincidentes. Sejam
r
r
v r = (1,1,1), v s = (a ,1,−1), R(1,2,0) e S(0,1,2).
r
r
Como não existe a real tal que v r e v s sejam LD, podemos
s
→ r r 
afirmar que d(r,s) = 0 se, e somente se, RS, v r , v s  = 0.


Mas,
−1 − 1 2
→ r r 
1 = 3 − 3a.
RS, v r , vs  = 1 1

 a
1 −1
Logo, r e s são concorrentes se, e somente se, a = 1.
b) Da solução do item a), temos que r e s são reversas se, e somente se,
a ∈ R − {1}.
36