ANÁLISE HARMÔNICA
IMPA - 2015
INSTRUTOR: EMANUEL CARNEIRO
Lista 4
Alunos que fizeram o curso de Teoria Analítica dos Números no Verão 2015 estão
isentos dos Problemas 30 e 38. Alunos que fizeram o curso de Análise Funcional no
Verão 2014 estão isentos do Problema 30.
Problema 30. Prove o Teorema de Stone-Weierstrass:
(i) (Versão real) Seja X um espaço topológico compacto (Hausdorff). Seja
A uma subálgebra fechada de C(X, R) (espaço das funções f : X → R
contínuas), que separa pontos. Então temos A = C(X, R) ou A = {f ∈
C(X, R); f (x0 ) = 0} para algum x0 ∈ X.
(ii) (Versão complexa) Seja X um espaço topológico compacto (Hausdorff).
Seja A uma subálgebra fechada de C(X, R) (espaço das funções f : X →
R contínuas), que separa pontos e é fechada com relação à conjugação
complexa (i.e. se f ∈ A então f ∈ A). Então temos A = C(X, R) ou
A = {f ∈ C(X, R); f (x0 ) = 0} para algum x0 ∈ X.
Problema 31. Mostre que a transformada de Fourier não é sobrejetiva de L1 (T n )
em C0 (Zn ) (espaço das sequências que vão para zero no infinito).
Problema 32. Considere o espaço de Banach C(T ) = {f : [− 21 , 12 ] → C; f contínua}
com a norma uniforme (do sup). Para f ∈ C(T ) defina
Z 21
fb(k) =
e−2πikx f (x) dx
− 12
onde k ∈ Z, e considere
Sn f (x) =
n
X
fb(k) e2πikx .
k=−n
Tome x = 0 e defina
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Tn (f ) = Sn f (0).
Prove que cada Tn é um funcional linear limitado em C(T ).
Mostre que kTn k → ∞ quando n → ∞.
Mostre que existe f ∈ C(T ) tal que Sn f (0) diverge quando n → ∞.
Mostre que existe f ∈ C(T ) tal que Sn f (x) diverge para todo x em um
conjunto denso de [− 21 , 12 ].
Date: 1 de abril de 2015.
2000 Mathematics Subject Classification. XX-XXX.
Key words and phrases. XXX-XXX.
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EMANUEL CARNEIRO
c⊂
Problema 33. Seja M : R → R uma função contínua em L1 (R) tal que supp M
[−1, 1] e tal que M (n) ≥ 0 para todo n ∈ Z. Mostre que:
Z ∞
M (x) dx ≥ 0.
−∞
Problema 34. Considere a função f : R → R dada por
f (x) =
1
.
1 + x2
Suponha que L : R → R e M : R → R são duas funções que satisfazem as seguintes
propriedades:
(i) L e M ∈ L1 (R).
beM
c têm suporte contido no intervalo [−1, 1].
(ii) L
(iii) L(x) ≤ f (x) ≤ M (x) para todo x ∈ R.
Mostre que:
R∞
(a) −∞ {M (x) − f (x)} dx ≥ π(coth π − 1).
R∞
(b) −∞ {f (x) − L(x)} dx ≥ π(1 − tanh π).
Nota: Lembre-se que:
sinh x =
ex − e−x
2
e
cosh x =
ex + e−x
.
2
Problema 35. Seja R um retângulo n-dimensional com os lados paralelos aos eixos
coordenados. Considere uma decomposição
R=
N
[
Ri ,
i=1
onde cada Ri é um retângulo com os lados paralelos aos eixos, e quaisquer Ri e
Rj têm interiores disjuntos. Suponha que cada Ri tenha pelo menos um lado de
medida (linear) inteira. Prove que R tem um lado de medida inteira.
Problema 36. (Lema de Kronecker) Seja α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Rn tal que os αi0 s
sejam linearmente independentes sobre Z, i.e. se
k1 α1 + k2 α2 + ... + kn αn = 0
para ki ∈ Z, então k1 = k2 = ... = kn = 0. Prove que o conjunto {mα}m∈N é denso
em T n .
Dica: Prove que se ϕ ∈ C(T n ) então temos
ϕ(α) + ϕ(2α) + ... + ϕ(N α)
=
N →∞
N
Z
lim
ϕ(x) dx.
Tn
Problema 37. (Teorema de Minkowski) Seja U ⊂ Rn convexo, simétrico (i.e. se
x ∈ U então −x ∈ U ), aberto e limitado. Suponha que m(U ) > 2n . Prove que U
contém pelo menos um ponto em Zn além da origem.
Dica: Defina S1/2 = {x ∈ Rn ; 2x ∈ S}. Seja ϕ a função característica de S1/2 e
ϕ(x)
e
:= ϕ(−x). Considere f = ϕ ∗ ϕ
e e aplique a soma de Poisson.
LISTA 4
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Problema 38. (Continuação analítica e equação funcional de ζ(s)) Para <(s) > 1
definimos a função zeta de Riemann por
∞
X
1
ζ(s) =
.
ns
n=1
Defina, inicialmente para <(s) > 1,
ξ(s) = 12 s(1 − s) π −s/2 Γ
s
ζ(s).
2
Mostre que ξ(s) possui uma extensão analítica em C e que vale
ξ(s) = ξ(1 − s).
Dica: Para <(s) > 1, mostre que
s Z ∞
2
dt
π −s/2 n−s Γ
=
e−πn t ts/2 .
2
t
0
R1 R∞
Some então sobre n ∈ N, quebre a integral em duas partes 0 e 1 e use a fórmula
da soma de Poisson em uma delas.
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