INTRODUÇÃO A ALGORITMOS
NUMÉRICOS
Prof. Renata S.S. Guizzardi
2010/02
O QUE SÃO ALGORITMOS NUMÉRICOS?
São programas de computador capazes de
solucionar problemas matemáticos, fornecendo
resultado numérico aproximado.
 Apesar de aproximada, a solução pode ser obtida
em um grau crescente de exatidão.

POR QUE UTILIZAR? (1/2)
1) Um problema de Matemática pode ser resolvido
analiticamente, mas esse método pode se tornar
impraticável com o aumento do tamanho do
problema.
Ex.: solução de sistemas de equações lineares.
3
POR QUE UTILIZAR? (2/2)
2) O problema não tem solução analítica.
Exemplos:
a)
e
x2
dx
b) y  y 2  t 2
não representável por funções elementares;
não pode ser resolvido analiticamente;
4
FUNÇÃO DE ALGORITMOS NUMÉRICOS NA
ENGENHARIA
Solucionar problemas técnicos através
de métodos numéricos, usando um
modelo matemático
5
EXEMPLO DE APLICAÇÃO (1/2)

Calcular tensões dos nós do circuito elétrico (pag.
117):
3
2
4
1

No nó 1, pela lei de Kirchhoff:
0  V1 V 2  V1 V 3  V1 V 4  V1



0
1
1
2
2
 6V 1  2V 2  V 3  V 4  0
EXEMPLO DE APLICAÇÃO (2/2)

O problema é resolvido a partir de um sistema
linear de quatro equações e quatro variáveis V1,
V2, V3 e V4.
1
1  V 1   0 
 6 2
 3 4 1
 V 2  0 
0

   

3
2  13 6  V 3  254

  

1
0
2

3
V
4
0

  

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Problema
Real
Levantar
Dados
Construir
Modelo
Matemático
Escolher
Método
Numérico
Implementar Método
Computacionalment
e
Eventualmente
Rever
Analisar
Resultados
Solução
Numérica
NO EXEMPLO ANTERIOR






Problema real: determinar tensões nos nós dos
circuitos.
Levantamento de dados: valores das resistências e
tensões nos pontos A e B.
Construir modelo matemático: montar equações e
criar as matrizes a partir delas.
Escolher método numérico: Decomposição LU,
Decomposição de Cholesky, Fatoração LDLT, Método
de Jacobi etc.
Implementar Método Computacionalmente: criar e
processar programa.
Analisar resultados e verificar se o modelo
matemático ou o método numérico precisam ser
alterados.
TIPOS DE ERROS (1/6)

Erro na Modelagem


Devido à expressão matemática que não reflete
perfeitamente o fenômeno físico ou aos dados terem
sido obtidos com pouca exatidão.
Erro Grosseiro

Devido a erro na elaboração ou implementação do
algoritmo ou a erro de digitação.
TIPOS DE ERROS (2/6) - TRUNCAMENTO

Erro de Truncamento:

Devido à aproximação de uma fórmula.
expansão da função exponencial
em séries de potência
Exercício: Calcular o valor de e1 por meio de uma série
truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se
que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.
TIPOS DE ERROS (3/6) ARREDONDAMENTO

Erro de Arredondamento:


Devido à forma de representação de números no
computador.
Conversão de base (decimal→binário)


Problema com o número de bits que são usados para
representar os números (números fracionários).
Nem sempre um número decimal exato tem representação
exata em binário. Ex. 0,110 → 0,0001001100110012 =
0,09999084410 (erro de 0,000009155 ≈ 9.10-6).
TIPOS DE ERROS (4/6) - ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Números em ponto flutuante (reais) são
representados no formato normalizado:
5 = 0.5 x 101
 0,007 = 0.7 x 10-2
 35,42 = 0.3542 x 102


Representação no computador
TIPOS DE ERROS (5/6) ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Suponha uma mantissa de tamanho 2:
Represente 35,42
 Some 4,32 e 0,064
 Subtraia 372 e 371

TIPOS DE ERROS (4/6) ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Formato IEEE de ponto flutuante
DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS
SOLUÇÕES (1/3)
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis
(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)
Limitação na representação numérica
(24 bits)
Erro de 0,34 s no cálculo do
tempo de lançamento
16
DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS
SOLUÇÕES (2/3)
Exemplo 2: Explosão de foguetes
(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)
Limitação na representação numérica
(64 bits/ 16 bits)
Erro de trajetória 36,7 s
após o lançamento
Prejuízo: U$ 7,5 bilhões
17
DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS
SOLUÇÕES (3/3)
Exemplo 3: Afundamento de
Plataforma Marítima
(23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega –
Plataforma Sleipner)
Parcialmente causada por erro de
análise no elemento finito
Rompimento de uma das
Células que compunham a
parede
Prejuízo: U$ 700 milhões
ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO

Duas formas de medir o erro.

Erro Absoluto = valor real – valor aproximado.

Erro Relativo = valor real – valor aproximado
valor real
Exercício: calcular erro absoluto e relativo para os exercícios
anteriores.
OUTROS CONCEITOS IMPORTANTES

Complexidade computacional
Medida do esforço computacional despendido para
resolver o problema.
 Medido pelo número necessário de operações
aritméticas e lógicas.


Convergência
Propriedade de gerar solução exata.
 Ordem de Convergência: rapidez com que a sequência
gerada por dado método converge para a solução
exata.

DETALHES DA DISCIPLINA
EMENTA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Introdução
Sistemas Lineares
Interpolação Polinomial
Ajuste de Curvas
Equações Diferenciais Ordinárias
Integração Numérica
Raízes de Equações
LIVRO TEXTO
Frederico Ferreira Campos
Filho. Algoritmos
Numéricos,
2 ed., Rio de Janeiro: LTC.
2007. 428 p.
AVALIAÇÃO

Duas provas parciais
1ª prova: 4 primeiros itens da ementa
 2ª prova: 3 últimos itens da ementa


Um trabalho computacional


Duas listas de exercício


Entrega: terceira semana de novembro
Entrega: uma aula antes das provas.
Cálculo da Média:

(0,7 x Médias das provas) + (0,25 x Trabalho
Computacional) + (0,05 x Entrega das listas de
exercício completas)
HORÁRIO DE ATENDIMENTO

Horário de Atendimento

4ªs – 16:00 às 18:00
PÁGINA DO CURSO
http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/an/mecanica20102.html