CAPÍTULO 8 TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO Equação da Condução de Calor e Modelos Unidimensionais Jean Baptiste Joseph Fourier ( 1768 - 1830) Nasceu em Auxerre, em 1768. Órfão aos 8 anos, Fourier foi colocado no Colégio Militar, dirigida pelos beneditinos. Aos 12 anos, Fourier começou a mostrar parte do seu talento, redigindo sermões para sacerdotes de várias cidades. Dois anos mais tarde iniciou seus estudos de Matemática, conseguindo grande destaque. Considerado menino-prodígio, foi convidado a ingressar na ordem dos beneditinos mas, antes de ordenar-se, chegou a Revolução de 1789. Fourier que sempre desejara ser militar, aderiu com entusiasmo à causa da Revolução. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, das quais foi conferencista, Fourier começou a desenvolver os trabalhos que o imortalizaram como matemático. Data dessa época sua teoria para calcular raízes irracionais das equações algébricas, cujo estudo Newton iniciara. Tendo acompanhado Napoleão no Egito, Fourier desenvolveu ali estudos de arqueologia, tornando-se especialista em egiptologia. Fourier trabalhou nessa época como engenheiro, dirigindo uma fábrica de armamentos do exército francês no Egito. Voltando à França em 1812, Fourier desenvolveu, na sua obra "Memorial", uma teoria sobre a condução do calor, tornando-se precursor da Física-Matemática. Neste último estudo, o matemático francês foi levado a criar um novo tipo de desenvolvimento em série, diferente do método de Taylor por empregar funções periódicas em vez de potências, e que recebeu seu nome. Em 1830 morreu Fourier; vítima de um aneurisma cerebral. EXPERIMENTANDO A CONDUÇÃO DE CALOR PEGUE UM CLIPE DE PAPEL JUNTE A ELE BASTONETES DE PARAFINA DE UMA VELA DERRETA A PARAFINA E DEPOIS MOLDE-A NA FORMA DOS BASTONETES PRESOS AO CLIPE EXPERIMENTANDO A CONDUÇÃO DE CALOR Condutividades térmicas: (kcal/s)/ (oC m) Alumínio 4,9 10-2 Cobre 9,2 10-2 Aço 1,1 10-2 Ar 5,7 10-6 Gelo 4 10-4 Madeira 2 10-5 Vidro 2 10-4 Amianto 2 10-5 1 kcal = 4184 J Temperatura e Linhas de Fluxo de Calor As dimensões do domínio afetam o campo de temperatura? Bloco quadrado 1:1 temperatura nas faces 1,0,0,0 Bloco retangular 1:5 temperatura nas faces 1,0,0,0 Temperatura e Linhas de Fluxo de Calor Uma condição 2D pode ser aproximada por uma solução 1D? Campo Temp. Unidimensional Campo Temp. Bidimensional temperatura nas faces: 1,0 temperatura nas faces demais faces isoladas 1,0,1,1 Temperatura e Linhas de Fluxo de Calor Bloco quadrado 1:1 temperatura nas faces 1,0,0,1 Coroa circular temperatura nas faces 1,0,0,0 Temperatura e Linhas de Fluxo de Calor Viga L Faces isoladas Temperatura 1 & 0 nas extremidades ALETAS • Aumento da taxa de transferência de calor pelo aumento da área de troca de calor ALETAS: COMO FUNCIONAM? Convecção Temp. Ambiente ( T ) Temp. Ambiente ( T ) Base aleta T0 Base aleta T0 • O calor é transportado da base (ou para a base) por meio da condução térmica e adicionado (ou removido) ao ambiente externo pela convecção térmica. Convecção Condução Condução T T0 T T0 Distribuição temp. Aleta Distribuição temp. Aleta ALETAS: Circuito Térmico Equivalente hf T T0, Ab h2 T2 Ac 1 Rb h A f b L R2 Q= Qa+Qb T2 1 h2 A Rk L kA Qb T T0 Qa Ra ALETAS: Balanço de Energia hf T L T0, Ab P Ac Lk Dx Balanço: - (dQk/dx)Dx + Qc = 0 x Qc QK Convecção: Qc =(P*Dx)*hf*[T – T(x)] dQK Dx dx Qk Qc Dx Condução: Qk = - Ac*k*dT/dx ALETAS: Modelo Térmico d dT A k c Dx PDx h f T T 0 dx dx d2 dx 2 m2 hfP kA c & T - T m2 0 Condições de Contorno x L T L T0 L 0 T0 T temp igualbase aleta dT d x0 0 0 pontaaleta isolada dx 0 dx 0 ALETAS: Solução do Modelo Térmico Campo Temperaturas coshmx T T T0 T coshmL Fluxo de Calor na Base Q a A ck dT h f PkA c T0 T TanhmL dx L Tanh(mL) 1,5 Fluxo Calor aumenta: h, P, k, Ac e mL 1 0,5 0 0 1 2 3 4 (mL) Resistência Térmica da Aleta Ra 1 h f PkA c TanhmL Qa T0 T Ra Ex. 8-23: Qual é o Q transf. por metro tubo? Material do Tubo & Aletas: Bronze (tab. A14) Circuito Equivalente Rb h=5 W/m2oC 15oC de = 28 mm di=20mm h=1200 98oC Ri Rk Ti 98oC Ra Te 15oC Q = (Ti-Te)/Req & Req = Ri+Rk+(Rb.Ra)/(Rb+Ra) Ex. 8-23: Cálculo das Resistências Rb Ri Ti 98oC Rk Ra Te 15oC 1 1 0.03 Ri hidiL 1200 0.02 L L Lnde di Ln2.8 2 9.92 104 Rk 2kL 254 L L 1 1 3.13 Rb he Ab hede 12 0.002 L Ex. 8-23: Resistência da Aleta Material do Tubo & Aletas: Bronze (tab. A14) Perimetro Aleta P 2L(m) Area transv. Aleta A c 0.002L (m) A i π 0,02L 0,06L (m) Área Int. Tubo h=5 W/m2oC 15oC Área Base A b 0,028 12 0,002L A b 0,06L m Comprimento Aleta L a 0,01 m de = 28 mm hi 1200 W / m 2 0 C he 5 W / m 2 0 C di=20mm h=1200 98oC k 54 W / m 0 C m he P kA c 52 9,62 54 0,002 mL a 9,62 0,01 0,0962 Tanh(mL) 0,10 h e PkA c 5 2 L 54 0,002 L 1,04L W / o C Ex. 8-23: Resistência da Aleta Material do Tubo & Aletas: Bronze (tab. A14) h=5 W/m2oC 15oC de = 28 mm di=20mm h=1200 98oC Considerando uma aleta: Q = DT/Ra Se tivermos N aletas, QT = N.Q = NDT/Ra Logo RaT = Ra/N Para o problema, RaT 1 N hPkAc Tanh(mL) 1 12 1.04 0.1 0.80 L Ex. 8-23: Calculo do Calor Transferido Material do Tubo & Aletas: Bronze (tab. A14) h=5 W/m2oC 15oC Q = (Ti-Te)/Req & Req = Ri + Rk + (Rb.Ra)/(Rb+Ra) de = 28 mm Req= 0.03/L +0.001/L+0.64/L di=20mm h=1200 98oC Req = 0.67/L Q/L = (98-15)/0.67 = 123.9 W/m Condução Bi-Dimensional • Frequentemente o emprego de aproximações 1-D pode introduzir erros significativos nos cálculos. • Situações 2-D, apesar de poderem representar melhor situações reais, requerem cálculos analíticos ou numéricos mais sofisticados daquelas situações 1D Isotermas de um cilindro em um meio semi-infinito Temperatura 0 Temperatura 100 Isotermas de um cilindro em uma cavidade quadrada Temperatura 0 Temperatura 100 Fator de Forma de Condução para algumas geometrias • Se a configuração contém somente duas superfícies isotérmicas a T1 e T2 • O material do meio é homogêneo • A taxa de transferência de calor poder ser calculada por: S k T T Q 2 1 • Onde S é o fator de forma de condução dado na Tabela 8-3 para algumas geometrias. • Da expressão acima também pode-se definir a resistência térmica como: 1 R S k CONDUÇÃO • Condução transiente TÉRMICA
Download
