Lista de Exercícios – 08
Determinantes
Dica: Para uma explicação de como calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e 3 assista ao vídeo a
seguir: http://www.youtube.com/watch?v=SUbr6zypkLA
Resumo
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
 resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
 cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos
seus vértices (geometria analítica);[1]
Determinante de 1ª ordem
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M =Ia11I = a11
Exemplo: det[-1] = - 1
Determinante de 2ª ordem
Dada a matriz
=
, de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de
2ª ordem, é dado por:
Exemplo: Sendo
=
2 3
, temos:
4 5
[1]
Exercício resolvido:
2 1
Se =
e =
3 4
det (A – mB) = 0
Resolução
2 1
−
=
−
3 4
4 2
e calcular o número real m, tal que:
3 −1
4
3
2
−
=
2−4
3−3
1−2
4+
Como det (A – mB) = 0, devemos ter:
(2 – 4m) (4 + m) – (3 – 3m) (1 – 2m) = 0
10m2 - 5m + 5 = 0 2m2 + m - 1 = 0, daí
m = –1 ou 1/2.
Exercícios:
1) Calcule:
2 9
a)
3 7
b)
2) Sendo B=(bij)2x2 onde,
 1,
se i = j
bij =
 -2ij, se i < j
 3j,
se i > j
1 −1
2 2
c)
−2 4
0 −3
3) Resolva a equação,
4) Resolva a equação,
+2
=
3
5
+2
−3
=8
−2
5) Para que o determinante da matriz seja nulo, o valor de a deve ser:
1+
3
−1
1−
Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus
1º ) Repetem-se as duas primeiras colunas à direita do determinante.
2º ) Multiplicam-se:
 os elementos da diagonal principal e os elementos de cada paralela a essa diagonal, conservando o sinal
de cada produto obtido;
 os elementos da diagonal secundária e os elementos de cada paralela a essa diagonal, invertendo o sinal
de cada produto obtido.
[2]
3º) e somam-se os resultados obtidos no 2º passo, ou seja:
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23 a11 – a33a21a12
Exemplo:
Exercícios:
6) Calcule:
3 2 1
a) 1 2 5
1 −1 0
1 −1 2
b) 5 7 −4
1 0
1
1
7) O determinante da matriz mostrada na figura a seguir é nulo:
+1
2
2
+2
3
.
3
+3
a) para quaisquer valores de a e b.
b) apenas se a = 0
c) apenas se b = 0
d) somente se a = b
e) somente quando 1 + 2a + (b + 3) = 0
1
8) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz seja nulo: 4
6
2
9
1
4
−7
Propriedades
 Matriz com fila nula: o determinante dessa matriz é nulo.
 Matriz triangular: o determinante é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
 Multiplicação de uma fila por um número k real: O determinante da nova matriz é igual ao anterior,
multiplicado pelo número k.
3 2 1
6 4 2
Exemplo: 1 2 5 = 22 2x(1º linha)
1 2 5 = 44(22 ∗ 2)
1 −1 0
1 −1 0
 Troca de filas paralelas: o determinante da nova matriz é o anterior com sinal trocado.
3 2 1
3 1 2
Exemplo: 1 2 5 = 22
1 5 2 = −22
1 −1 0
1 0 −1
 Filas paralelas iguais: o determinante é nulo.
 Filas paralelas proporcionais: o determinante é nulo.
3 6 1
Exemplo: 1 2 5 = 0. Pois, 2ª coluna é o dobro da 1ª.
1 2 0
 Matriz transposta: o determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta At .
 Teorema de Jacobi: se a uma das filas de uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2 adicionarmos um
múltiplo de outra fila paralela, obteremos uma matriz B tal que det B = det A.
3 2 1
3
2 1
Exemplo: 1 2 5 = 22
−5 −2 3 = 22. Note que a 2ª linha da matriz foi substituida
1 −1 0
1 −1 0
por (-2)*1ª + 2ª.
 Teorema de Binet: se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n, então det(A . B) = det A . det B.
Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de
ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . MCij .
Exemplo:
b) Sendo
=
, vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:
= (−1)
∗
= (+1)(
−
), onde
=
= (−1)
∗
= (+1)(
−
), onde
=
= (−1)
∗
= (+1)(
−
), onde
=
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxm, com (m ≥ 2), pode ser obtido pela soma dos produtos
dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
Assim, fixando j  N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos:
det
em que ∑
=
é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m.
Exercícios:
9) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes:
podemos afirmar que x/y vale:
10) (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna
por 4, o novo determinante valerá:
11) (UFRN) O determinante da matriz
12) Sendo,
12 18 9
= 21 17 15 e
32 60 14
a) x = y
12 18 9
= 63 51 45 , então:
32 60 14
b) x = 3y
0
13) (CEFET) Dada a matriz 0 0
é igual a:
a) –2
b) –1
Respostas:
1) a) – 13
b) 4
2) 13
3) x = 10/3
4) x = {– 1, 2}
5) a = {-2, 2}
1 7 281
= 0 2 200 é igual a:
0 0
3
c) x = 27y
e) 27x = y
0
e a função real definida por f(x)=det(2A), podemos afirmar que f(-1)
c) 8
c) 6
d) 3x = y
d) 2
6) a) 22
7) a
8) 13
9) -1/6
10) 8
e) –8
b) 2
11) 6
12) d
13) c
Referências:
[1] http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes.php, acessado em 18/05/2011.
[2] http://www.supletivounicanto.com.br/docs/cd/Matem%E1tica/3%B0%20ano/02-determinantes.pdf,
acessado em 18/05/2011.
Profº Leandro Colombi Resendo