eterminantes
Colégio Planeta
Goiânia, Agosto de 2013.
UmPouco de História
A teoria dos determinantes teve origem em meados do
século XVII, quando eram estudados processos para
resolução de sistemas lineares de equações. Um
sistema pode ser escrito na forma matricial e o
determinante dessa matriz indica primariamente se o
sistema admite ou não soluções.
Prof. Neydiwan - Matemática
Definição e Notação
A toda matriz quadrada, associa-se um número
chamado de determinante, e esse número é obtido
através de operações entre os elementos da própria
matriz.
Denota-se como determinante de uma matriz o número
representado pelas siglas:
det A ou A
Prof. Neydiwan - Matemática
Determinante de Ordem 2
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Determinante de Ordem 2
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual
diferença entre os produtos dos elementos da diagonal
principal e da diagonal secundária.
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Determinante de Ordem 2
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual
diferença entre os produtos dos elementos da diagonal
principal e da diagonal secundária.
2
3
1
4
Prof. Neydiwan - Matemática
Determinante de Ordem 2
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual
diferença entre os produtos dos elementos da diagonal
principal e da diagonal secundária.
2
3
1
4
+
Prof. Neydiwan - Matemática
Determinante de Ordem 2
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual
diferença entre os produtos dos elementos da diagonal
principal e da diagonal secundária.
2
3
1
4
8
+
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Determinante de Ordem 2
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual
diferença entre os produtos dos elementos da diagonal
principal e da diagonal secundária.
_
2
3
1
4
8
+
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Determinante de Ordem 2
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual
diferença entre os produtos dos elementos da diagonal
principal e da diagonal secundária.
_
2
3
1
4
 83
+
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Determinante de Ordem 2
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual
diferença entre os produtos dos elementos da diagonal
principal e da diagonal secundária.
_
2
3
1
4
 83  5
+
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Determinante de Ordem 3
O determinante da matriz quadrada de 3ª ordem é
obtido de várias maneiras diferentes. Vamos estudar a
principal que é chamada de Regra de Sarru’s.
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Determinante de Ordem 3
O determinante da matriz quadrada de 3ª ordem é
obtido de várias maneiras diferentes. Vamos estudar a
principal que é chamada de Regra de Sarru’s.
1
3
2
5
0
2
1 1
7
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Determinante de Ordem 3
Repetem-se a primeira e segunda colunas após o
determinante, e realiza-se o mesmo processo do
determinante de ordem 2.
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Determinante de Ordem 3
Repetem-se a primeira e segunda colunas após o
determinante, e realiza-se o mesmo processo do
determinante de ordem 2.
1
5
3
0
1 1
2 1
2 5
3
0
7 1 1
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Determinante de Ordem 3
1
5
3
0
1 1
2 1
2 5
3
0
7 1 1
Prof. Neydiwan - Matemática
Determinante de Ordem 3
1
5
3
0
1 1
2 1
2 5
3
0 0
7 1 1
+
Prof. Neydiwan - Matemática
Determinante de Ordem 3
1
5
3
0
1 1
2 1
2 5
3
0  06
7 1 1
+ +
Prof. Neydiwan - Matemática
Determinante de Ordem 3
1
5
3
0
1 1
2 1
2 5
3
0  0  6  10
7 1 1
+ + +
Prof. Neydiwan - Matemática
Determinante de Ordem 3
_
1
5
3
0
1 1
2 1
2 5
3
0  0  6  10  0
7 1 1
+ + +
Prof. Neydiwan - Matemática
Determinante de Ordem 3
_ _
1
5
3
0
1 1
2 1
2 5
3
0  0  6  10  0  2
7 1 1
+ + +
Prof. Neydiwan - Matemática
Determinante de Ordem 3
_ _ _
1
5
3
0
1 1
2 1
2 5
3
0  0  6  10  0  2 105
7 1 1
+ + +
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Determinante de Ordem 3
_ _ _
1
5
3
0
1 1
2 1
2 5
3
0  0  6  10  0  2 105  87
7 1 1
+ + +
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Cofator de Uma Matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n  2. Chamase cofator de um elemento aij de A ao número real
i
+
j
Aij = (-1) . Dij, em que Dij é o determinante obtido da
matriz A quando se eliminam a linha e a coluna em
.
que se encontram o elemento aij
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Cofator de Uma Matriz
Vamos calcular o cofator A23 da matriz abaixo:
1
3
2
5
0
2
1 1
7
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Cofator de Uma Matriz
Vamos calcular o cofator A23 da matriz abaixo:
1
3
2
5
0
2
1 1
A23   1
23
7
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1 3
.
1 1
Cofator de Uma Matriz
Vamos calcular o cofator A23 da matriz abaixo:
1
3
2
5
0
2
1 1
A23   1
23
1 3
.
1 1
A23   1 . 1.  1  1.3
7
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Cofator de Uma Matriz
Vamos calcular o cofator A23 da matriz abaixo:
A23   1
23
1 3
.
1 1
1
3
2
5
0
2
A23   1 . 1.  1  1.3
7
A23   1 .  4 
1 1
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Cofator de Uma Matriz
Vamos calcular o cofator A23 da matriz abaixo:
A23   1
23
1 3
.
1 1
1
3
2
5
0
2
A23   1 . 1.  1  1.3
7
A23   1 .  4 
1 1
A23  4
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Regra de Laplace
O determinante de uma matriz A, de ordem n  2, é a
soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos
cofatores.
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Regra de Laplace
Vamos trabalhar como exemplo uma matriz de ordem 4
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Regra de Laplace
Vamos trabalhar como exemplo uma matriz de ordem 4
1 2 1
2 1 4
1
3
3 0 0 2
4 3 2 5
 a31. A31  a32 . A32  a33 . A33  a34 . A34
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Regra de Laplace
Calculando cada cofator separadamente, temos:
1 2 1
2 1 4
1
3
3 0 0 2
4 3 2 5
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Regra de Laplace
Calculando cada cofator separadamente, temos:
1 2 1
2 1 4
1
3
2
31
A31   1 . 1
1
4
1
3  1.  48   48
3
2
5
3 0 0 2
4 3 2 5
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Regra de Laplace
Calculando cada cofator separadamente, temos:
1 2 1
2 1 4
1
3
3 0 0 2
4 3 2 5
2
31
A31   1 . 1
1
4
1
3  1.  48   48
3
2
5
1
3 4
A34   1 . 2
2
1
1
4   1 .16  16
4
3
2
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Regra de Laplace
Voltando à regra de Laplace, temos:
1 2 1
2 1 4
1
3
3 0 0 2
4 3 2 5
 a31. A31  a32 . A32  a33 . A33  a34 . A34
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Regra de Laplace
Voltando à regra de Laplace, temos:
1 2 1
2 1 4
1
3
3 0 0 2
4 3 2 5
 a31. A31  a32 . A32  a33 . A33  a34 . A34
 3.  48  0. A32  0. A33  2.(16)
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Regra de Laplace
Voltando à regra de Laplace, temos:
1 2 1
2 1 4
1
3
3 0 0 2
4 3 2 5
 a31. A31  a32 . A32  a33 . A33  a34 . A34
 3.  48  0. A32  0. A33  2.(16)
 144  32
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Regra de Laplace
Voltando à regra de Laplace, temos:
1 2 1
2 1 4
1
3
3 0 0 2
4 3 2 5
 a31. A31  a32 . A32  a33 . A33  a34 . A34
 3.  48  0. A32  0. A33  2.(16)
 144  32
 176
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Propriedades dos Determinantes
1. Fila nula
1 2
3 1
4
4
5
4
0 0
1 0
0
2
0
6
Se liguem, sempre
que nos referimos a
filas, estamos falando
de linhas e também
de colunas!
0
2. Filas paralelas iguais ou proporcionais
2
5
8
3
4
0
2
5 0
8
3
6
4
1
2
0
2
4 0
5
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Propriedades dos Determinantes
3. (Regra da transposta) det A  det A
t
4. (Teorema de Binet) det  A.B   det A.det B
1
5. (Regra da inversa) det A 
det A
1
6. (Regra da matriz triangular) Dada uma matriz
triangular, seu determinante é igual ao produto
dos elementos da diagonal principal.
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Propriedades dos Determinantes
5
9
0 0
1 0  5.1.8  40
2 7 8
7. (Troca de filas) Ao permutarmos duas filas
paralelas de uma matriz, invertemos o sinal de
seu determinante.
det M´ = - det M
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Propriedades dos Determinantes
8. (Multiplicação de uma fila por um número) Ao
multiplicarmos uma fila de uma matriz por um
número, Multiplicamos seu determinante pelo
mesmo número.
det (k . A) =
n
k
. det A
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Regra de Chió
A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo
dos determinantes de ordem maior ou igual a 2, onde
dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa
regra obteremos uma outra matriz A´ de ordem n – 1,
cujo determinante é igual ao de A.
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Regra de Chió
1. Desde que a matriz tenha o elemento a11 igual a 1
(um), eliminamos a linha e a coluna deste elemento.
2. Subtraímos de cada elemento restante o produto
dos dois elementos eliminados, que pertenciam à
sua linha e à sua coluna.
1
2
2
3
0
1
1
0  2.3
3 
1  2.3
5
3  2.(1)  6 5

 42  25  17
5  2.(1)  5 7
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Resolução de Exercícios
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