Nova School of Business and Economics
Apontamentos Álgebra Linear
3 – Determinantes
1
Definição
Produto de
Termo de uma matriz
elementos de , um e um só por linha e por coluna.
Ex.:
[
2
Definição
]
Número de trocas de ordem de um termo de uma matriz
Número de índices de coluna de elementos que constituem factores de um termo, ordenado
por índice de linha, que são inferiores ao índice de coluna de um outro elemento que
constitui um factor posterior do mesmo termo.
Ex.:
[
3
Definição
] Número de trocas de ordem (
Determinante de uma Matriz
: por ordem,
(| |
: fora de ordem):
( ))
Soma de cada um dos termos de , afectados de sinal positivo, se tiverem um número de
trocas de ordem par e negativo, se tiverem um número de trocas de ordem ímpar.
1
Apontamentos Álgebra Linear
3 – Determinantes
|
Ex.:
(
|
)
(
4
([
])
(
)
(
)
(
)
(
)
)
Cálculo do determinante de uma matriz
Fórmula
Soma do produto dos elementos de cada diagonal de
à direita de
pela regra de Sarrus
que surge quando são colocadas ou
as suas duas primeiras colunas, ou por baixo de
linhas, sendo as diagonais paralelas à diagonal principal de
as suas duas primeiras
afectadas de sinal positivo e as
paralelas à sua diagonal secundária de sinal negativo.
[
| |(
]
|
)
| |(
)
Ex.:
[
| |(
5
|
)
|
]
|
)
| |(
|
|
|
Definição
|
Menor complementar do elemento
Determinante da sub-matriz de
[
2
de uma matriz
(
que se obtém eliminando a linha e a coluna de .
]
)
Apontamentos Álgebra Linear
3 – Determinantes
|
|
|
|
[
Ex.:
|
6
]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Menor complementar de
|
|
Co-factor do elemento
Definição
|
|
|
|
de uma matriz
(
afectado de sinal positivo se
|
)
é par e negativo se
é
ímpar.
(
)
[
Ex.:
(
]
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
7
Fórmula
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
)
Cálculo do determinante de uma matriz
(
(
(
)
)
)
pela regra de Laplace
Soma do produto dos elementos de uma qualquer linha ou coluna de
(e só uma) pelos
respectivos co-factores.
[
| |(
| |(
]
)
)
3
Apontamentos Álgebra Linear
3 – Determinantes
|(
Ex.: |
8
)
(
Propriedades do cálculo de determinantes (
Propriedades
Produto de um número real por uma fila:
a
| |
→
Troca de filas:
Soma
uma
fila
de
uma
| |
Transposição: |
|
|
| |
→
)
| |
| |
→
Inversão: |
)
combinação
linear
das
restantes:
| |
| |
| |
Produto de um número real por uma matriz: |
Produto de matrizes: |
|
|
| |
| || |
Exs.:
|
|
]→ [
Produto de um número real por uma fila: [
|
] |
|
]→
Troca de filas: [
[
] |
|
|
|
Soma a uma fila de uma combinação linear das restantes: [
[
] |
|
([
Transposição:
Inversão:
([
|
|
] )
] )
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
]→
Apontamentos Álgebra Linear
3 – Determinantes
( [
Produto de um número real por uma matriz:
([
Produto de matrizes:
9
Facto
][
])
])
|
||
|
|
|
Determinante, igualdade e soma de filas
O determinante de uma matriz , igual a duas matrizes,
soma das filas análogas de
e , excepto numa fila, que é a
e , é a soma dos determinantes de
e .
Linhas:
[
]
[
]
[
| |
| |
]
| |
Colunas:
[
]
[
[
| |
| |
]
]
| |
Exs.:
Linhas: |
|
|
|
|
|
5
Apontamentos Álgebra Linear
3 – Determinantes
Colunas: |
10
|
|
|
|
|
Determinante de uma matriz triangular
Facto
O determinante de uma matriz triangular, superior ou inferior, é o produto dos elementos
da sua diagonal principal.
[
]
[
| |
]
| |
Ex.: |
|
11
Cálculo do determinante de uma matriz
Fórmula
Realização de operações sobre
por triangulação
até que se torne numa matriz triangular, levando em
consideração o efeito das operações efectuadas sobre o determinante de , para que este
possa ser obtido a partir do determinante da matriz triangular obtida.
Ex.:
|
|
12
|
|
|
|
|
|
Independência linear do conjunto das filas de uma matriz quadrada
Facto
As linhas de uma matriz quadrada formam um conjunto linearmente dependente se e só se
as suas colunas também formarem.
,
[
]
{
}
{
}
Ex. 1:
6
-
[
*
+
*
]
+
Apontamentos Álgebra Linear
3 – Determinantes
(
)
*(
(
)(
)
(
)(
(
)
)(
)(
)+
(
)
]
(
)
(
*(
)(
)(
)+
*(
)(
)(
)+
13
*(
)+
[
Ex. 2:
)
)
(
)
(
)
Independência linear do conjunto das filas de uma matriz e
determinante da matriz
Facto
O determinante de uma matriz é
se e só se as suas linhas (ou colunas) formarem um
conjunto linearmente dependente.
,
[
| |
-
]
{
}
*
+
| |
{
}
*
+
[
Ex. 1:
]
*(
)(
)(
)+
*(
)(
)(
)+
| |
[
Ex. 2:
]
*(
)(
)(
)+
*(
)(
)(
)+
| |
7
Apontamentos Álgebra Linear
3 – Determinantes
14
Independência linear e determinantes
Facto
Um conjunto de
matriz
vectores de
é linearmente independente se e só se o determinante da
que os tem como linhas, igual ao determinante da matriz
que os tem
como colunas, for diferente de .
*
+
*
+
| |
| |
Ex. 1: *(
|
)(
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
)(
|
|
15
Facto
)(
)+ é linearmente independente porque |
|
)(
)+ é linearmente dependente porque |
|
.
Uma matriz
Determinante de uma matriz e existência da sua inversa
tem inversa se e só se o seu determinante não for .
| |
| |
Ex. 1:
[
Ex. 2:
[
Definição
] | |
] | |
Matriz adjunta de uma matriz
(
( ))
Matriz cujos elementos são os co-factores dos elementos homólogos de .
8
|
.
Ex. 2: *(
16
|
Apontamentos Álgebra Linear
3 – Determinantes
[
]
( )
[
]
[
Ex.:
(
]
)
|
(
)
(
)
|
|
(
)
|
|
( )
17
|
|
(
[
|
|
(
)
(
|
|
)
|
|
|
(
|
Inversão de uma matriz
,
| |
[
[
)
)
)
|
|
]
Fórmula
Ex.:
(
|
por cálculo de
( )
( )| |
]
]
[
]
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