Determinantes
A cada matriz quadrada de números reais, pode associar-se um número real, que se designa
por determinante da matriz.
Definição de determinantes de primeira e segunda ordens
Seja A uma matriz quadrada. Representa-se o determinante de A por det(A) ou |A|.
ˆ Se A = [ a ]1×1 , tem-se det(A) = | a | = a
·
ˆ Se A =
a11 a12
a21 a22
¸
¯
¯ a
a
, tem-se det(A) = ¯¯ 11 12
a21 a22
2×2
¯
¯
¯ = a11 × a22 − a21 × a12
¯
Exemplos:
1.
A = [−3]1×1 ⇒ det A =
| −3|
|{z}
= −3
não é
módulo !
2.
·
B=
3.
4.
3 5
2 4
¸
2×2
¯
¯ 3 5
⇒ det B = ¯¯
2 4
¯
¯
¯ = 3 × 4 − 2 × 5 = 12 − 10 = 2
¯
¯
¯
¯ −1 −1 ¯
¯
¯ = −1 × 3 − 0 × (−1) = −3 − 0 = −3
¯ 0
3 ¯
¯
¯ −2 3
¯
¯ −1 −2
¯
¯
¯ = −2 × (−2) − (−1) × 3 = 4 − (−3) = 7
¯
31
Determinantes de ordem n. Teorema de Laplace
Seja A = [aij ] i, j = 1, 2, ..., n uma matriz de ordem n.
Definição 1 (Menor Complementar) Designa-se por Menor Complementar de aij ao
determinante da matriz de ordem n − 1 que se obtém de A por eliminação da linha i e da
coluna j.
Definição 2 (Complemento Algébrico) Designa-se por Complemento Algébrico de aij
ao produto de (−1)i+j pelo seu menor complementar.
Exemplo:

1 2 0
A= 3 4 1 
5 6 7
¯
¯
¯ 1 0 ¯
¯=1
ˆ menor complementar de a3 2 = 6 é ¯¯
3 1 ¯
¯
¯
¯ 1 0 ¯
3+2
¯
¯ = −1 × 1 = −1
ׯ
ˆ complemento algébrico de a3 2 = 6 é (−1)
3 1 ¯
ˆ menor complementar de a2 2

¯
¯ 1 0
= 4 é ¯¯
5 7
¯
¯
¯=7
¯
2+2
ˆ complemento algébrico de a2 2 = 4 é (−1)
De notar que:
complemento algébrico de aij =
¯
¯ 1 0
× ¯¯
5 7
¯
¯
¯=1×7=7
¯


 menor complementar de aij


- menor complementar de aij
se i + j é par
se i + j é ı́mpar
Para se saber qual é o sinal que deve preceder o menor complementar de aij para obter o
seu complemento algébrico, pode atender-se ao quadro de sinais


+ − + − + ...
 − + − + − ... 


 + − + − + ... 


 − + − + − ... 


.. .. .. .. .. . .
.
. . . . .
onde cada sinal ocupa a posição do elemento aij cujo complemento algébrico se pretende
obter. Repare-se que, no quadro, os sinais alternam ao longo de cada linha e de cada
coluna e que o sinal da entrada (1, 1) é +.
32
Teorema 1 (Teorema de Laplace) O determinante de uma matriz é igual à soma algébrica
dos produtos dos elementos de uma fila pelos respectivos complementos algébricos.
Exemplo:
complemento
algébrico
do − 1
complemento
algébrico
do 3
¯
¯
z
}|¯
{¯
z
}| ¯
¯ −1 3 1 ¯
¯
¯
¯ 5 7 ¯
¯
1+1
1+2
¯ = (−1)×(−1) × ¯
¯ + 3×(−1) × ¯ 2 7
¯ 2
5
7
¯
¯
| {z } ¯ −2 1 ¯
| {z } ¯ 1 1
¯ 1 −2 1 ¯
| {z }
| {z
+
−
19
−5
↑
Teorema de Laplace (1ª linha)
complemento
algébrico
do 1
{¯
z
}|¯
{¯
¯
¯ 2 5 ¯
1+3
¯ + 1×(−1) × ¯
¯
¯
| {z } ¯ 1 −2 ¯
| {z }
}
+
−9
= −19 + 3 × 5 − 9 = −19 + 15 − 9 = −13
Notas:
ˆ A ideia do teorema de Laplace para calcular um determinante de ordem n é fazê-lo
recursivamente, isto é, calculá-lo através do cálculo de determinantes de matrizes de
ordem n − 1, e estes através do cálculo de determinantes de matrizes de ordem n − 2,
etc, até se chegar aos determinantes de matrizes de ordem 2.
ˆ Pode aplicar-se o teorema de Laplace a uma fila (linha ou coluna) qualquer do determinante; no entanto, é vantajoso aplicar o teorema à fila do determinante que
tem mais zeros, pois qualquer que seja o valor do complemento algébrico do zero, o
seu produto por zero é zero, pelo que não é necessário calculá-lo ⇒ menos cálculos !
33
O cálculo de determinantes de ordem superior a 3 pode ser muito fastidioso, sobretudo se
houver poucos zeros na matriz. No entanto, este cálculo pode ser bastante simplificado se
se recorrer às
Propriedades dos determinantes
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
1. O determinante de AT é igual ao determinante de A: |AT | = |A|
Uma vez que |A| = |AT | e as linhas (colunas) de A são as colunas (linhas) de AT , qualquer
propriedade de |A| que se refira às linhas de A também é válida quando aplicada às colunas,
pelo que nas propriedades de |A| se fala, genericamente, em filas de A.
2. Se A tem uma fila nula, então o determinante de A é igual a zero.

 iguais
ou
3. Se A tem duas filas paralelas
, então o determinante de A é igual

proporcionais
a zero.
Exemplo:
¯
¯
¯ 3 9 ¯
¯
¯ = 0 (porque L2 = 2 L1 , ou ainda C2 = 3 C1 ou L1 = 1 L2 ou C1 = 1 C2 )
¯ 6 18 ¯
2
3
4. Se uma fila de A é multiplicada por um escalar λ, então o determinante da matriz
resultante é igual ao produto de λ pelo determinante de A.

L1
L2
..
.




det 
 λ Lj
 .
 ..
Ln
det
£
C1 C2 · · ·
λ Ck · · ·
Cn


L1
L2
..
.













=
λ
×
det




 Lj 

 . 

 .. 
Ln
¤
= λ × det
34
£
C1 C2 · · ·
Ck · · ·
Cn
¤
Exemplos:
1.
¯
¯ 1 6
¯
¯ 2 8
2.
¯ ¯
¯ ¯ 1
6
¯=¯
¯ ¯ 2×1 2×4
¯
¯ a λb
¯
¯ c λd
¯
¯
¯
¯
¯=2ׯ 1 6
¯
¯ 1 4
¯
¯ a b
¯
¯ c d
¯
¯
¯=λ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ (= 2 × (−2) = −4)
¯
com a, b, c, d, λ ∈ R
n é a ordem da matriz
↓
Da propriedade 4, deduz-se que |λ A| = λn |A| .

λ L1
λ L2
..
.




det 
 λ Lj
 .
 ..
λ Ln
det
£
λ C1 · · ·
λ Ck · · ·










n×n
λ Cn
L1
L2
..
.









=λ

{z. . . × λ} × det 
| ×λ×
 Lj 
n
 . 
λ
 .. 
Ln
¤
n×n
= |λ × .{z
. . × λ} × det
£
C1 · · ·
Ck · · ·
Cn
¤
λn
Exemplo:
 2
5 |A| se A2×2



 53 |A| se A
3×3
|5 A| =
4

5 |A| se A4×4



···
5. Se se trocarem, entre si, duas filas paralelas de A, o determinante da matriz resultante
é igual ao simétrico do determinante de A.
Ou seja: uma troca ⇒ troca de sinal do determinante !
35
6. O determinante de A não se altera se se adicionar a uma fila de A o produto de outra
fila, paralela, por um escalar.
Ou seja: as operações elementares do tipo Li ← Li − α Lj e Ck ← Ck − β Cp
não alteram o valor do determinante !
Nota importante: Tendo em conta a propriedade 6, para calcular o determinante
de A pode condensar-se uma das filas de A com operações elementares do tipo
Li ← Li − α Lj ou Ck ← Ck − β Cp e depois aplicar o teorema de Laplace a essa
fila. Na prática, este é o método mais utilizado no cálculo dos determinantes.
7. Se uma fila de A se pode desdobrar na soma de duas filas, o valor do determinante
de A é igual à soma dos determinantes de duas matrizes em que nessa fila aparece
uma das parcelas e as restantes filas mantêm-se.

L1
L2
..
.




A=
 L’ + L”
j
 j

..

.
Ln










 ⇒ |A| = det 








L1
L2
..
.
L’j
..
.
Ln










 + det 








L1
L2
..
.
L”j
..
.
Ln
i
⇒
C1 C2 · · · Ck’ + Ck” · · · Cn
h
i
h
|B| = det C1 C2 · · · Ck’ · · · Cn + det C1 C2 · · ·










h
B=
Ck” · · ·
Exemplos:
1.
¯
¯ 1
2
¯
¯ 1+2 2+4
2.
¯
¯ a b + b0
¯
¯ c d + d0
¯ ¯
¯ ¯ 1 2
¯=¯
¯ ¯ 1 2
¯ ¯
¯ ¯ a b
¯=¯
¯ ¯ c d
¯ ¯
¯ ¯ 1 2
¯+¯
¯ ¯ 2 4
¯ ¯
¯ ¯ a b0
¯+¯
¯ ¯ c d0
36
¯
¯
¯ (= 0 +
¯
|{z}
¯
¯
¯
¯
0
|{z}
duas
duas
linhas
filas
iguais
proporcionais
= 0)
com a, b, b 0 , c, d, d 0 ∈ R
i
Cn
Nota: A propriedade 7 pode estender-se a filas cujos elementos estão decompostos
num número qualquer (finito) de parcelas.
Nota importante: Em geral, tem-se |A + B| =
6 |A| + |B|, com B matriz de ordem n.
8. Se B é uma matriz de ordem n, então |A B| = |A| × |B|.
Nota: A propriedade 8 generaliza-se a produtos de três ou mais matrizes. Por
exemplo:
|A B C| = |A| × |B| × |C|
|A B C D| = |A| × |B| × |C| × |D|
9. Se A é uma matriz triangular (inferior ou superior), então o determinante de A é
igual ao produto dos seus elementos principais.
|
{z
}
elementos da
diagonal principal
Exemplos:
1.


−1 0
0
A =  1 −3 0  ⇒ |A| = −1 × (−3) × (−5) = −15
0 −2 −5
|
{z
}
matriz
triangular
inferior
2.

B=
0 0 0 0
 0 −1 0 0

 0 0 2 0
0 0 0 4
|
{z




⇒ |B| = 0 × (−1) × 2 × 4 = 0
}
matriz diagonal
(simultaneamente triangular
superior e inferior)
3.
|In | = 1 , ∀ n (n ∈ N) finito
37
10. O determinante de A é igual a zero se e só se a caracterı́stica de A é inferior a n.
↑
n é a ordem
da matriz
Simbolicamente:
An × n
|A| = 0 ⇔ c(A) < n
Note-se que esta propriedade é equivalente (por negação) a
An × n
|A| 6= 0 ⇔ c(A) = n
Cálculo do determinante por condensação de matrizes
Uma matriz quadrada An×n pode ser transformada numa matriz triangular Tn×n através
da condensação:
An × n
−−−−−−−−−−−→
condensação
Tn × n
(matriz triangular)
Pelas propriedades dos determinantes, já conhecidas, pode calcular-se det(A) a partir de
det(T ), desde que se estabeleça a seguinte correspondência entre as operações elementares
e as alterações no valor do determinante:
ˆ Mudar o sinal do determinante quando se trocam, entre si, duas filas paralelas
ˆ Multiplicar o determinante por
1
quando se multiplica uma fila por λ (λ 6= 0)
λ
ˆ As operações elementares do tipo Li ← Li − α Lj e Ck ← Ck − β Cp não alteram
o valor do determinante
38
Aplicações da teoria dos determinantes
Inversão de matrizes
Anteriormente, através do estudo da inversa, tinha-se visto que
An × n é regular ⇔ c(A) = n
Por outro lado, pela propriedade 10 dos determinantes, tem-se que
An × n
c(A) = n ⇔ |A| 6= 0
Então, pode concluir-se o seguinte teorema:
Teorema 2 Uma matriz quadrada é regular se e só se o seu determinante é diferente de
zero.
Simbolicamente:
An × n
A é regular ⇔ |A| 6= 0
An × n
A é singular ⇔ |A| = 0
Por negação, obtém-se:
Tendo em conta o teorema anterior e a propriedade 8 dos determinantes, pode deduzir-se
que se A é regular, então
A A−1 = In ⇒ |A A−1 | = |In | = 1 ⇔ |A|×|A−1 | = 1 ⇔ |A−1 | =
1
(|A| 6= 0, pois A é regular)
|A|
ou seja, tem-se a propriedade
11. Se A é regular, então |A−1 | =
1
1
(e também |A| = −1 )
|A|
|A |
Nota: Sendo A e B matrizes quadradas da mesma ordem,
A = B ⇒ |A| = |B| mas o contrário em geral não se verifica: |A| = |B| 6⇒ A = B
39
Para calcular a inversa de uma matriz A, utilizando determinantes, é necessário conhecer-se o seu determinante (que deve ser diferente de zero) e a matriz que se vai definir de
seguida:
Definição 3 (Matriz Adjunta) Chama-se Adjunta da matriz A à transposta da matriz
que se obtém de A por substituição de cada um dos seus elementos pelo respectivo complemento algébrico. Representa-se por adj A.
Exemplo:


1
3 −2
1
5 
A= 0
−2 −6 7

¯
¯
¯ 1 5 ¯
¯
¯
¯ −6 7 ¯



 ¯
 ¯ 3 −2
¯
adj A = 
 − ¯ −6 7


 ¯
¯
 ¯ 3 −2 ¯
¯
¯
¯ 1 5 ¯
¯
¯
¯ 0 5 ¯
¯
− ¯¯
−2 7 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0
1
¯
¯ −2 −6
¯
¯
¯
¯ 1 −2 ¯
¯
¯
¯ −¯ 1
¯ −2 7 ¯
¯ −2
¯
¯
¯ 1 −2 ¯
¯
− ¯¯
0 5 ¯
¯
¯ 1
¯
¯ 0
¯ T
¯
¯
¯ 


¯ 
¯
3 ¯ 

−6 ¯ 



¯

3 ¯¯
1 ¯

T 

37 −10 2
37 −9 17
=  −9 3 0  =  −10 3 −5 
17 −5 1
2
0
1
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, prova-se que


|A| 0
0
A × Adj A =  0 |A| 0  = |A| × In
0
0 |A|
e


|A| 0
0
Adj A × A =  0 |A| 0  = |A| × In
0
0 |A|
40
(1)
(2)
Assim, no caso de A ser regular, |A| 6= 0 e, a partir da relação (1), tem-se
1
1
1
A × Adj A = |A| × In ⇔ (A × Adj A) ×
= (|A| × In ) ×
⇔ A×(
× adj A) = In
|A|
|A|
|A|
↑
1
×
|A|
De igual modo, a partir da relação (2), prova-se que
(
1
× adj A) × A = In
|A|
Logo, por definição de inversa, vem que
A−1 =
1
×adj A
|A|
|{z}
|A−1 |
Nota: Também se verifica A =
1
×adj A−1 .
−1
|A |
| {z }
|A|
Exemplo: Relativamente à matriz A do exemplo da adjunta, tem-se que
¯
¯
¯ 1
¯
3
−2
¯
¯
1
5 ¯¯ = 3 (6= 0)
|A| = ¯¯ 0
¯ −2 −6 7 ¯
e portanto

37
17
−3

3 


  3


37 −9 17

1 
1
5 
10


= × adj A = × −10 3 −5 =  −
1 − 
3
3
3
3 


2
0
1


 2
1 
0
3
3

A−1
41
Resolução de sistemas de equações lineares (Sistemas de Cramer)
Definição 4 (Sistema de Cramer) Um sistema de n equações e n incógnitas, representado na forma matricial por A X = b (com A matriz quadrada de ordem n) diz-se um
Sistema de Cramer se |A| =
6 0.
Um sistema de Cramer é um sistema sempre possı́vel determinado, isto é, admite uma
única solução (porque |A| 6= 0 – A é regular – e portanto c(A) = n; então, pelo teorema
de Rouché, sabe-se que o sistema é possı́vel determinado).
↑
nº de incógnitas
Existe uma regra prática para resolver este tipo de sistemas:
Regra de Cramer Se A é uma matriz de ordem n e invertı́vel, então a solução do
sistema (de Cramer) A X = b com n equações nas n incógnitas x1 , x2 , . . . , xn é dada por
|A1 |
|A2 |
|An |
x1 =
, x2 =
, . . . , xn =
, onde, para cada k = 1, 2, . . . , n, Ak é a matriz que
|A|
|A|
|A|
se obtém de A por substituição da coluna k por b.
Exemplo:
forma matricial
½
3 x1 + 4 x2 = 9
⇔
2 x1 − x2 = −1
x1
x2
¸
¸ ·
¸ ·
x1
9
3
4
×
=
x2
−1
2 −1
| {z } | {z } | {z }
·
A
¯
¯ 3
4
|A| = ¯¯
2 −1
X
b
¯
¯
¯ = −3 − 8 = −11 6= 0 , pelo que se trata de um sistema de Cramer
¯
Usando a regra de Cramer para resolver o sistema (que é, portanto, possı́vel determinado),
vem que
¯
¯
¯ 9
¯
4
¯
¯
¯ −1 −1 ¯
−9 + 4
−5
5
x1 =
=
=
=
|A|
−11
−11
11
e
¯
¯
¯
¯ 3
9
¯
¯
¯ 2 −1 ¯
−3 − 18
−21
21
=
=
=
x2 =
|A|
−11
−11
11
42
Cálculo do determinante por condensação de matrizes
Uma matriz quadrada An×n pode ser transformada numa matriz
triangular Tn×n através da condensação:
−−−−−−→ T
An × n −−
condensação
n×n
(matriz triangular)
Pelas propriedades dos determinantes, já conhecidas, pode calcular-se det(A) a partir de det(T ), desde que se estabeleça a seguinte
correspondência entre as operações elementares e as alterações no
valor do determinante:
ˆ Mudar o sinal do determinante quando se trocam, entre si, duas
filas paralelas
ˆ Multiplicar o determinante por
fila por λ (λ 6= 0)
1
quando se multiplica uma
λ
ˆ As operações elementares do tipo Li ← Li − α Lj e
Ck ← Ck − β Cp não alteram o valor do determinante