Cálculo das Probabilidades II - Lista 1 - Variáveis aleatórias
bivariadas I - 2015/2
Prof. Hugo Carvalho
07/10/2015
Questão 1: Suponha que a fdp conjunta de um par de variáveis aleatórias (X, Y ) é constante no retângulo
onde 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1, e suponha que a fdp é 0 fora desse retângulo.
1. Encontre o valor constante da fdp no retângulo.
2. Calcule P (X ≤ Y ).
Questão 2: Suponha que em um display elétrico tenham três lâmpadas na primeira fileira e quatro na
segunda. Seja X o número de lâmpadas da primeira fileira que vão queimar até um determinado tempo t
pré-determinado, e seja Y o número de lâmpadas na segunda fileira que vão queimar até esse mesmo instante
de tempo t. Suponha que a função de probabilidade conjunta de X e Y seja especificada pela tabela abaixo:
Y
X
0
1
2
3
4
0
1
2
3
0.08
0.06
0.05
0.02
0.07
0.10
0.06
0.03
0.06
0.12
0.09
0.03
0.01
0.05
0.04
0.03
0.01
0.02
0.03
0.04
Determine cada uma das probabilidades abaixo:
a) P (X = 2)
d) P (X = Y )
b) P (Y ≥ 2)
c) P (X ≤ 2; Y ≤ 2)
e) P (X > Y )
Questão 2: Suponha que X e Y têm distribuição conjunta discreta, e que a função de probabilidade
conjunta é dada por:
(
c|x + y| para x = −2, −1, 0, 1, 2 e y = −2, −1, 0, 1, 2;
f (x, y) =
0
caso contrário.
Determine:
a) O valor da constante c
c) P (X = 1)
b) P (X = 0; Y = −2)
d) P (|X − Y | ≤ 1)
Questão 3: Suponha que a fdp conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é dada por
(
c(x2 + y) para 0 ≤ y ≤ 1 − x2 ;
f (x, y) =
0
caso contrário.
1
Determine:
a) O valor da constante c
c) P (Y ≤ X + 1)
b) P (0 ≤ X ≤ 1/2)
d) P (Y = X 2 )
Questão 4: Suponha que X e Y são variáveis aleatórias tais que (X, Y ) toma valores no retângulo do plano
xy contendo todos os pontos (x, y) para os quais 0 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 4. Suponha também que a função de
probabilidade acumulada conjunta de X e Y em cada ponto (x, y) desse retângulo é especificada por
F (x, y) =
1
xy(x2 + y).
156
Determine:
a) P (1 ≤ X ≤ 2; 1 ≤ Y ≤ 2)
d) A fdp conjunta de X e Y
b) P (2 ≤ X ≤ 4; 2 ≤ Y ≤ 4)
e) P (Y ≤ X)
c) A função de probabilidade acumulada de Y
Questão 5: A função de probabilidade conjunta para as variáveis aleatórias X e Y é dada por
x+y
1
, para x = 1, 2, ... e y = 1, 2, ...
f (x, y) =
2
Seja A = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 3; y ≥ 2}. Encontre P (A).
Questão 6: Uma moeda honesta é lançada duas vezes. Uma cara é mapeada no valor 1 e uma coroa é
mapeada para 0, de modo a obter um resultado numérico no experimento. A seguir, variáveis aleatórias X
e Y são definidas conforme abaixo:
• X = resultado do primeiro lançamento + resultado do segundo lançamento
• Y = resultado do primeiro lançamento − resultado do segundo lançamento.
Encontre a função de probabilidade conjunta de (X, Y ).
Questão 7: Determine o valor da constante c de modo que a função abaixo seja uma função de probabilidade
conjunta, onde 0 < p1 < 1 e 0 < p2 < 1.
f (x, y) = c(1 − p1 )x (1 − p2 )y , para x = 1, 2, ... e y = 1, 2, ...
Questão 8: Suponha que X e Y têm distribuição conjunta discreta, para a qual a função de probabilidade
é dada por:
(
1
(x + y) para x = 0, 1, 2 e y = 0, 1, 2, 3;
f (x, y) = 30
0
caso contrário.
a) Determine as funções de probabilidade marginais de X e Y .
b) X e Y são independentes?
Questão 9: Suponha que X e Y têm distribuição conjunta contı́nua, de modo que sua fdp conjunta é dada
por:
(
3 2
y para 0 ≤ x ≤ 2e 0 ≤ y ≤ 1;
f (x, y) = 2
0
caso contrário.
a) Determine as fdp’s marginais de X e Y .
2
b) X e Y são independentes?
c) Os eventos {X < 1} e {Y ≥ 1/2} são independentes?
Questão 10: Suponha que em um certo remédio a concentração de uma substância particular é uma variável
aleatória com distribuição contı́nua cuja fdp g é dada por:
(
3 2
x para 0 ≤ x ≤ 2;
g(x) = 8
0
caso contrário.
Suponha que as concentrações X e Y da substância em dois lotes separados do remédio são variáveis aleatórias
independentes cuja fdp é g. Determine:
a) A fdp conjunta de X e Y
c) P (X > Y )
b) P (X = Y )
d) P (X + Y ≤ 1)
Questão 11: Suponha que a fdp conjunta de X e Y é dada por:
(
2xe−y para 0 ≤ x ≤ 1 e 0 < y < +∞;
f (x, y) =
0
caso contrário.
X e Y são independentes?
Questão 12: Suponha agora que a fdp conjunta de X e Y é dada por:
(
24xy para x ≥ 0, y ≥ 0 e x + y ≤ 1;
f (x, y) =
0
caso contrário.
X e Y são independentes?
Questão 13: A fdp conjunta das variáveis aleatórias X e Y é dada por:
(
kx2 y 2 para x2 + y 2 ≤ 1;
f (x, y) =
0
caso contrário.
Conforme foi visto em aula, X e Y não são variáveis aleatórias independentes. Mostre que X e Y têm a
mesma distribuição marginal, cuja fdp é dada por:
(
2
kz 2 (1 − z 2 )3/2 para − 1 ≤ z ≤ 1;
g(z) = 3
0
caso contrário.
Questão 14: Considere a fdp conjunta de X e Y dada abaixo:
(
1
para x2 + y 2 ≤ 1;
f (x, y) = π
0 caso contrário.
Calcule P (|X| ≤ 1/2).
Dica: Você precisará da fórmula:
Z p
1 − x2 dx =
1 p
1
x 1 − x2 + arcsin(x).
2
2
Questão 15: O tempo de funcionamento de uma lâmpada é modelado por uma distribuição exponencial
com parâmetro 1/1000 hora, de modo que o tempo médio até uma falha é de 1000 horas. Se duas lâmpadas
são usadas para iluminar uma sala, qual é a probabilidade de que ambas as lâmpadas vão falhar antes de
2000 horas de uso? Assuma que o tempo de falha de uma lâmpada não afete o tempo de falha da outra.
3