Matemática e Computação
• Os computadores são máquinas destinadas a resolver
problemas com grande rapidez. Um trabalho repetitivo que
seria demorado para nós, se torna uma atividade simples
nas mãos da computação de hoje. Só para se ter uma idéia,
a comparação feita com a indústria automobilística revela
que:
• “...se ela tivesse evoluído assim como a evolução dos
computadores, qualquer automóvel custaria menos
de um dólar, faria um milhão de quilômetros com um
litro de gasolina e poderia desenvolver a velocidade
de cem milhões de quilômetros por hora.”(FARRER,
1989)
Matemática e Computação
O que é um algoritmo?
• Um algoritmo é uma sequência finita de instruções bem
definidas e não ambíguas, cada uma das quais pode ser
executada mecanicamente num período de tempo finito e
com uma quantidade de esforço finita.
Matemática e Computação
Declare X,Y,Z numéricos
Leia X,Y,Z { o computador irá colher os três dados do usuário }
* Iniciaremos a parte lógica que depende basicamente das idéias matemáticas
Se X < Y + Z e Y < X + Z e Z < X + Y
Então se X = Y e X = Z e Z = Y
Então escreva “TRIÂNGULO EQUILÁTERO”
Senão se X = Y ou X = Z ou Y = Z
Então escreva “TRIÂNGULO ISÓSCELES”
Senão escreva “TRIÂNGULO ESCALENO”
Fim se
Fim se
Senão escreva “NÃO EXISTE TRIÂNGULO!”
Fim se
Fim algoritmo.
Matemática e Computação
• Sabemos que as fotos e figuras possuem milhares de pequenos pontos
chamados de unidades elementares - Picture Element (PIXEL). Só para
exemplificar, nossos monitores possuem referências como 800 x 600 que
significa 800 colunas por 600 linhas. Ao efetuar essa multiplicação
encontraremos 800.600 = 480 000 pixels. Ou ainda 1024 x 768 que significa
1024. 768 = 786432 pontos que podem ser utilizados por uma foto ou
imagem.
• E assim, basicamente, a tela do computador funciona como um plano
cartesiano. Caso queira girar, expandir ou transladar uma foto, deverá
executar a ação para todos os pontos do plano aos quais a imagem está
associada. Já imaginou se fôssemos girar todos os pontos de uma foto à
mão? Certamente não seria um trabalho muito agradável tampouco, rápido.
Para isso, felizmente, o computador nos auxilia com bastante velocidade de
cálculo. “Eles executam tais operações com velocidade igual ou
inferior a um nanossegundo!”(FARRER,1989)
Matemática e Computação
• Translação: Para transladar um ponto M(x,y) – matriz
coluna – de uma imagem para o ponto M´(x´,y´), basta
utilizarmos uma matriz que possua elementos que
movimentem a figura para direita/esquerda Kx e outro
elemento que movimente para cima/baixo Ky.
 x´  x   Kx 
M ´( x´, y´)  M  K         
 y´  y   Ky 
Matemática e Computação
• Transladar o ponto M(2,3) em 3 unidades para cima e 3
.
unidades para a esquerda.
 x1  3 2
 y1   3   3
     
 x1  2
M1      
 y1  6 
Matemática e Computação
• Escala: Para mudar a escala de uma figura pensaremos em
mudar de cada ponto. Dessa forma, utilizaremos de uma
multiplicação matricial do ponto M(x,y) escolhido com a
matriz
 Sx 0  .
E
0
Sy
• Os valores Sx e Sy são fatores de aumento ou redução que
podem ser dados em porcentagem. Assim, teremos o novo
ponto .
 x´  Sx 0   x 
M ´( x´, y´)  E.M     
. 

 y´  0 Sy  y 
;
e
Matemática e Computação
• Dado o triângulo ABC com coordenadas dos vértices A(-2,1),
B(2,1) e C(2,-1). Obter as novas coordenadas dos vértices
após um aumento de 300% em relação a x e 200% em
relação a y.
 x1 4 0  2  8
A1     
. 1    3 
y
1
0
3
  
   
 x1 4 0 2 8
B1     
.1   3
y
1
0
3
  
   
 x1 4 0  2   8 
C1     
.    

 y1 0 3  1  3
Matemática e Computação
• Girar: Rotacionar uma figura de θ graus (sentido antihorário) e em torno da origem, se dá pela multiplicação
matricial
 x´ cos
M ´( x´, y )  G.M     
 y´  sen
 sen   x 
. 

cos   y 
• Em que G é a matriz chave para a modificação do ponto e
é a coordenada do novo ponto.
Matemática e Computação
• Girar o ponto A(2,2) com relação à origem num ângulo de
90º no sentido anti-horário.
 x1 cos
G1     
 y1  sen
 sen   x 
cos   y 
 x1 cos90  sen90 2 0  1 2  2
G1     
 2  1 0  2   2 
y
1
sen
90
cos
90
  
  
   