matA12
probabilidades, modelo normal
1.
Considere a função densidade de probabilidade f, definida por:
0, 4 x

f  x   0, 4
0

se
se
se
0  x 1
1 x  3
x0  x3
Determine:
1.1.
p  X  2
1.2.
p  X  3
2.
Considere a função densidade de probabilidade g, definida por:
0, 2 x  0,6 se

g  x   0, 2
se
0
se

2.1.
Represente graficamente a função g.
2.2.
Determine:
3.
2.2.1.
p  X  1
2.2.2.
p 1  X  3
0 x2
2 x3
x0  x3
Na figura seguinte estão representados dos gráficos das distribuições normais N1 e N2. Os
gráficos são simétricos em relação à reta r.
Indique o valor lógico das seguintes afirmações.
3.1.
As distribuições N1 e N2 têm valores médios diferentes.
3.2.
O desvio padrão da distribuição N1 é maior do que o desvio padrão da distribuição N2.
4.
Na representação gráfica ao lado encontram-se curvas
associadas a distribuições de probabilidades normais.
Associe cada uma das curvas C1, C2, C3 e C4 às
distribuições normais N  0,1 , N  3,1 , N  6,6  , N  6, 2  .
www.matematicaonline.pt
[email protected]
1/4
matA12
probabilidades, modelo normal
5.
O Carlos, na deslocação para o local de trabalho, atravessa diariamente a cidade. O tempo
gasto na travessia da cidade segue uma distribuição normal, em que o valor médio é de 20
minutos e o desvio padrão é 4 minutos.
Determine a probabilidade de, em certo dia, o tempo de travessia da cidade ser:
5.1.
Inferior a 20 minutos.
5.2.
Superior a 24 minutos.
5.3.
Superior a 12 minutos e inferior a 24 minutos.
6. Sempre que o motor de uma máquina está ligado mais de três horas consecutivas, ao fim
desse tempo, é registada a temperatura do mesmo, em graus centígrados.
Seja X a variável aleatória “temperatura do motor ao fim de três horas de trabalho”.
Sabe-se que X segue uma distribuição normal N  52;3 .
Vai ser feito o registo da temperatura do motor, Determine:
6.1.
p  X  50 
6.2.
p  X  51,5
6.3.
p  48  X  50
7. Vários testes permitiram concluir que, em determinadas condições, a distância necessária
para que um automóvel fique imobilizado segue uma distribuição normal N  40;5 . A
média e o desvio padrão são dados em metros.
Uma nova série de oitenta testes vai ser feita, nas mesmas condições, com oitenta
automóveis.
Quantos destes automóveis se prevê que fiquem imobilizados numa distância compreendida
entre:
7.1.
35 m e 45 m?
7.2.
38 m e 40 m?
8.
8.1.
As classificações obtidas por alunos do 12º ano de uma escola, num teste intermédio de
matemática, seguem uma distribuição aproximadamente normal. Dos alunos que efetuaram
esse teste, sabe-se que 68,3%, aproximadamente, obteve uma classificação entre 10 e 13, e
que aproximadamente 3 alunos obtiveram uma classificação superior a 14,5.
O valor médio e o desvio padrão são, respetivamente:
(A)
8.2.
11,5 e 0,5
(B)
11,5 e 1,5
(C)
12,5 e 0,5
(D)
12,5 e 1,5
(C)
130
(D)
140
O número de alunos que realizaram o teste é:
(A) 118
www.matematicaonline.pt
[email protected]
(B)
124
2/4
matA12
probabilidades, modelo normal
9.
A tabela ao lado representa a distribuição do
número de bicicletas vendidas, por dia, num
determinado mês, num hipermercado.
Número de
bicicletas vendidas
Número de dias
0
1
2
3
4
12
8
5
3
1
Determine a percentagem do número de
bicicletas vendidas pertencente ao intervalo
 x   , x    , sendo x a média e  o desvio


padrão.
10. Num dado, não equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 8 a probabilidade de “sair 2” é
0,3, tendo as restantes faces igual probabilidade de ocorrer.
10.1. Mostre que, efetuando apenas um lançamento deste dado, a probabilidade de “sair 8” é
0,1.
10.2. Lança-se este dado três vezes. Seja X a variável aleatória “número de vezes que sai par”.
10.2.1. Elabore uma tabela de distribuição de probabilidade da variável X.
10.2.2. Determine p  X     
Nota:  designa o valor médio e  o desvio padrão.
11. A altura dos alunos de uma escola secundária segue uma distribuição normal com média
igual a 1,65 metros e desvio padrão 0,05 metros.
11.1. Numa amostra de 5000 alunos, quantos alunos se espera que tenham uma altura inferior a
1,55 metros?
11.2. Sabendo que 982 alunos, aproximadamente, têm uma altura entre 1,6 e 1,75, estime o
número total de alunos da escola.
12. O peso dos trabalhadores de uma grande empresa de telecomunicações segue uma
distribuição aproximadamente normal.
Numa amostra de 1000 trabalhadores da empresa, verifica-se que cerca de 23 pesam mais
de 85 kg e que aproximadamente 159 colaboradores têm um peso inferior a 70 kg.
12.1. Mostre que o valor médio e o desvio padrão da distribuição do peso dos trabalhadores são
de, aproximadamente, 75 kg e 5 kg, respetivamente.
12.2. Qual é a probabilidade de os colaboradores desta empresa de telecomunicações terem um
peso inferior a 80 kg?
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
12.3. Recorrendo à calculadora, determine quantos
aproximadamente, têm um peso entre 63 kg e 78 kg.
trabalhadores
da
amostra,
12.4. Sabendo que a média do peso dos homens desta empresa é de 78 kg e que, escolhendo um
dos colaboradores ao acaso, a probabilidade de ser homem é de 40%, qual é a média do
peso das mulheres desta empresa?
Bom trabalho!!
www.matematicaonline.pt
[email protected]
3/4
matA12
probabilidades, modelo normal
Soluções
7.1.
Aproximadamente, 55 automóveis
7.2.
Aproximadamente, 12 automóveis
1.
1.1.
0,6
8.
1.2.
1
8.1.
(B)
8.2.
(C)
9.
86,2%
2.
2.1.
2.2.
2.2.1. 0,5
10.
2.2.2. 0,5
10.1.
10.2.
3.
10.2.1.
3.1.
Falsa
xi
3.2.
Falsa
p  X  xi 
0
1
2
3
0,064 0,288 0,432 0,216
10.2.2. 0,216
4.
N  0,1  C4
N  3,1  C2
N  6,6   C3
11.
11.1.
11
11.2.
1200
N  6,2   C1
12.
12.1.
5.
5.1.
0,5
5.2.
0,16
5.3.
0,82
12.2.
0,84
12.3.
718
12.4.
73 kg
6.
6.1.
0,2525
6.2.
0,5662
6.3.
0,1613
7.
www.matematicaonline.pt
[email protected]
4/4