UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGÃO DE CHAPECÓ
CURSO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE
PROBABILIDADE CONTÍNUA:
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Prof: Francisco Machado Jr.
Chapecó, dezembro de 2014
DISTRIBUIÇÃO DE
PROBABILIDADE CONTÍNUA
Distribuição Contínua
 As distribuições de probabilidades são ditas contínuas
quando a variável aleatória é contínua.
A variável associada ao evento pode assumir qualquer
valor dentro de um certo intervalo.
Características mensuráveis que assumem valores em uma
escala contínua (na reta real)
Altura, peso, comprimento
 Aplicações:
Distribuição Contínua
Representação gráfica
 Forma peculiar;
 Área abaixo da curva 100%.
P(a  x  b)  área sob a curva entre a e b
1 ou 100%
P(a  x  b)   f ( x ).dx
b
a
DISTRIBUIÇÃO DE
PROBABILIDADE NORMAL GAUSS
Distribuição normal
A distribuição normal é a distribuição contínua de
probabilidades mais importante em estatística.
1809
A lei de Gauss da distribuição normal
Matemático alemão Karl Friedrich Gauss para
descrever a distribuição dos erros de medidas.
Pode ser usada para modelar muitos conjuntos de medidas
na natureza, na indústria e no comércio, na saúde, etc.
É uma distribuição contínua de uma variável aleatória X
e seu gráfico é chamado de curva normal.
Propriedades da distribuição normal
 Sua representação gráfica se assemelha a um sino;
 Simétrica  50 % dos valores são  à média e 50 % são ;
 O ponto de máximo da função  
 Os pontos de inflexão  localizados a uma distância de 1  da ;
 A probabilidade aumenta à medida que, na linha da base, nos
afastamos da média em ambos os sentidos.
Logo:
Se X for uma variável aleatória contínua com função
densidade de probabilidade, pode-se fazer o gráfico de uma curva
normal usando a equação a seguir:
f (x) 
1
  2
e
1  x  
 

2  
2
  - Desvio população;
 X - Variável aleatória;
 µ - Média população.
 Como e e π são constantes, a curva normal depende de:
µ (média) e  (desvio padrão).
-∞<µ<∞e>0
Médias e desvios padrão – Formato da curva
Uma distribuição pode ter qualquer média e qualquer desvio
padrão positivo
•e=
•=e
•e
Cada par de parâmetros (μ, σ) define uma distribuição normal distinta?
E
Médias e desvios padrão – Formato da curva
Exemplo: Massas de homens e mulheres adultos.
1 – Qual das curvas normais tem média maior?
2 – Qual das curvas normais tem desvio padrão maior?
Cada par de parâmetros (μ, σ) define uma distribuição normal distinta!
A curva normal – Determinação da probabilidade
A probabilidade de a variável estar contida em um intervalo, é
igual a área sob a curva normal entre estes 2 pontos.
A função que representa a curva normal é:
f (x) 
1
  2
e
1  x  
 

2  
2
Para a determinação da área, ou seja, da referida
probabilidade, utiliza-se uma tabela padronizada.
Construída considerando uma distribuição normal
=0
 =1
A distribuição normal padrão e o
escore Z
Distribuição normal padrão
A distribuição normal padronizada tem média e desvio
padrão iguais a:
=0
 =1
Escala horizontal: corresponde aos escores Z
Com a tabela padronizada, pode-se obter as seguintes
probabilidades para os correspondentes intervalos
Cerca de 68% da área está a 1
desvio padrão da média
Cerca de 95% da área está a 2
desvios padrão da média
Cerca de 99,7% da área está a 3
desvios padrão da média
E
Exemplo:
Segundo o manual de instruções de certo produto, o tempo
de montagem é normalmente especificado com uma média de 4,2
horas e um desvio padrão de 0,3 horas.
Determine o intervalo no qual estão inclusos 95% dos
tempos de montagem.
Cerca de 95% da área está a
µ = 4,2 horas
2 desvios padrão da média
 = 0,3 hora
95% dos dados estão a até
2 desvios padrão da média
4,2 – 2(0,3) = 3,6 horas.
95%
4,2 + 2(0,3) = 4,8 horas.
95% dos tempos de montagem estão entre 3,6 e 4,8 horas.
Por quê??
A distribuição normal padronizada facilita os cálculos de
probabilidade, evitando o uso da fórmula e projetando qualquer
análise mediante utilização de ESCORES (Z).
ESCORE Z
Representa o número de desvios padrão que separa uma
variável aleatória X da média
Para transformar um valor X em Z, utilizamos a seguinte
expressão:
x 
z

E
Exemplo:
As pontuações de um concurso estão normalmente
distribuídas com média de 152 e desvio padrão de 7 pontos.
Determine o escore Z para um candidato com pontuação de:
(a) 161
µ = 152 pontos
 = 7 pontos
(b) 148
x 
z

(a)
(b)
161 152
z
7
148 152
z
7
Z = 1,29
Z = - 0,57
Entendendo o Escore Z
Se cada valor de dados de uma variável X normalmente
distribuída for transformado em escore Z, o resultado será uma
curva normal padrão.
Podemos utilizar a curva normal padrão e o escore Z para
obter áreas (e portanto probabilidades) sob qualquer curva normal.
Probabilidades percentuais da distribuição normal
A estimativa de probabilidades associadas a variáveis aleatórias
contínuas envolve o cálculo de áreas sob a curva.
O uso da distribuição normal padronizada nos permite
calcular áreas sob a curva de uma distribuição normal qualquer,
“pois as áreas associadas com a normal padronizadas são
tabeladas”.
A Tabela A será usada para os cálculos de probabilidade
envolvendo distribuições normais.
Tabela A – Probabilidades percentuais da distribuição Normal
E
Exemplo:
Determine as probabilidades para os escores abaixo.
Utilize a tabela das probabilidades percentuais da distribuição
Normal.
(a) Z = 0,44
(b) Z = -1,17
(a) Z = 0,44
Percorra a coluna Z (parte inteira e a primeira decimal) até Z = 0,4;
Siga na transversal até a coluna de número 0,04.
O valor da célula, corresponde à probabilidade desejada.
Exemplo:
Determine as probabilidades para os escores abaixo.
Utilize a tabela das probabilidades percentuais da distribuição
Normal.
(a) Z = 0,44
(b) Z = -1,17
(a) Z = 0,44
Percorra a coluna Z (parte inteira e a primeira decimal) até Z = 0,4;
Siga na transversal até a coluna de número 0,04.
O valor da célula, corresponde à probabilidade desejada.
Exemplo:
Determine as probabilidades para os escores abaixo.
Utilize a tabela das probabilidades percentuais da distribuição
Normal.
(a) Z = 0,44
(b) Z = -1,17
(a) Z = 0,44
Percorra a coluna Z (parte inteira e a primeira decimal) até Z = 0,4;
Siga na transversal até a coluna de número 0,04.
O valor da célula, corresponde à probabilidade desejada.
Da tabela → 17,00 %
(b) Z = -1,17
Percorra a coluna Z (parte inteira e a primeira decimal) até Z = 1,1;
Siga na transversal até a coluna de número 0,07.
O valor da célula, corresponde à probabilidade desejada.
(b) Z = -1,17
Percorra a coluna Z (parte inteira e a primeira decimal) até Z = 1,1;
Siga na transversal até a coluna de número 0,07.
O valor da célula, corresponde à probabilidade desejada.
(b) Z = -1,17
Percorra a coluna Z (parte inteira e a primeira decimal) até Z = 1,1;
Siga na transversal até a coluna de número 0,07.
O valor da célula, corresponde à probabilidade desejada.
Da tabela → 37,90 %
Exercícios:
1 – Considerando que o consumo diário de água é distribuído
normalmente com média de 200 litros/habitante e desvio-padrão
igual a 45 litros habitante, calcular as probabilidades do
consumo diário de água:
(a) Estar entre 220 e 270 litros/habitante;
R=26,94%.
(b) Ser menor que 260 litros/habitante;
R=90,82%.
(c) Ser maior que 280 litros/habitante.
R=3,75%.
Tabela A – Probabilidades percentuais da distribuição Normal
2 – Após 28 dias de cura, um concreto apresenta uma resistência
compressiva média de 28,4 MPa. Suponha que essa resistência
tenha distribuição normal com desvio-padrão de 1,2 MPa,
determine
a
probabilidade
resistência:
(a) Menor que 26 MPa;
R=2,28%.
(b) Maior que 27,8 MPa;
R=69,15%.
(c) Entre 29 e 30,7 MPa.
R=28,11%.
de
obter
um
concreto
com
3 – Se a vida útil média de um componente eletrônico for de 3680
horas, com desvio-padrão de 190 horas, qual a probabilidade de
ficar danificado:
(a) Antes de 3600 horas;
R=33,72%.
(b) Após 3500 horas;
R=82,89%.
(c) Entre 3400 e 3600 horas.
R=26,64%
4 – Considerando que os depósitos realizados em um banco
durante
determinado
período
de
tempo,
são
efetuados
normalmente, com média de R$ 10.500,00 e desvio-padrão de R$
1.000,00. Se um depósito é selecionado ao acaso, qual a
probabilidade de que este seja:
(a) Menor que R$ 8.000,00;
R=0,62%.
(b) Entre R$ 11.000,00 e R$ 13.100,00.
R=30,38%.
5 – Você é o engenheiro responsável pela unidade de uma
empresa, a qual possui um processo industrial automatizado,
onde todas as peças produzidas são pesadas. Ao final do turno
recebe em mãos uma planilha contendo o peso de todas as peças
produzidas no lote 020, cuja média µ é 100 gramas e o desvio
padrão  é 8 gramas. O gerente geral da unidade lhe faz as
seguintes perguntas:
(a) Qual é a chance de encontrarmos valores maiores que 110 g?
R=10,56%
(b) Qual é a chance de encontrarmos valores menores que 94 g?
R=22,66%