Distribuição Normal
É a distribuição das mais empregada na Estatística, incide em uma
distribuição contínua de probabilidades, onde sua apresentação
gráfica é representada na forma de sino e simétrica em relação a
média.
A curva possui as seguintes características:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Forma de sino ou curva de Gauss ou de De Moivre;
Distribuição é simétrica em relação a média;
Não chega a tocar no eixo das abcissas, variando – a +;
A distribuição normal e demarcada pelo desvio padrão e sua
média;
A área sob a curva corresponde a proporção de 1 ou 100%;
A área sob a curva entre dois pontos corresponde à
probabilidade do valor de uma variável aleatória entre aqueles
pontos;
Admite somente um único pico (ordenada máxima), situada na
média (média, mediana e moda são iguais);
Alta concentração de freqüências na média e reduzida
concentração nos extremos (menor freqüência e
probabilidades)
Frequência
-∞
Média
∞+
Variável
Exemplo: Distribuição de um grupo de indivíduos do sexo
masculino, adultos que tenham uma média de altura de 1,70m.
Em torno desta média teríamos uma concentração de
freqüência alta, a probabilidade de encontrarmos indivíduos
entre as alturas de 1,65m e 1,72m é alta comparada com
indivíduos de 1,40m ou 2,20m.
A distribuição normal depende dos parâmetros média (µ ou x )
e desvio padrão (S ou ơ ), são eles que irão configurar o
formato da curva.
1,65
1,70
1,72
Como cada distribuição normal seria caracterizada por uma
média e um desvio padrão diferentes, suas combinações
resultariam em cálculos de integrais, demandando maior
dificuldade na obtenção de probabilidades.
Para facilitar o cálculo das áreas e probabilidades utilizaremos
tabelas padronizadas.
Desta forma não necessitamos trabalhar com médias e desvios
padrões distintos, simplesmente necessitamos identificar a
variável padronizada denominada como Z.
Esta variável apresenta o afastamento em desvio padrões de
um valor variável original em relação a média.
Para calcular Z temos:
Z=x-µ
Ơ
Onde:
Ơ = desvio padrão
µ = média
x = variável normal de média µ e de desvio padrão ơ
Tomemos como exemplo, a distribuição aproximadamente
normal de pontos obtidos por diferentes candidatos em um
concurso público seguem, média a 140 e desvio padrão 20
pontos. Caso um pesquisador quisesse saber a probabilidade de
um candidato escolhido ao acaso apresentar pontuação entre
140 e 165,60 pontos, poderíamos usar a distribuição normal..
Vamos primeiro representar a curva da distribuição normal
140
165,6
x (pontos)
______________________________
Z
0
1,28
Agora, precisamos obter os valores da variável padronizada Z,
que representa o número de desvios de afastamento de x em
relação a média, dividindo a diferença pelo valor do desvio.
Z=x-µ
Ơ
Calculando os valores da variável padronizada Z, tem-se que:
Para x = 140
Z = x - µ = 140 – 140 = 0
Ơ
20
Para x = 165,60
Z = x - µ = 165,6 – 140 = 1,28
Ơ
20
Para obter o valor de a probabilidade de x situar-se entre 140 e
165,6, bastaria buscar o valor da área correspondente a 1,28
na tabela padronizada. Identificando a área na tabela teríamos
uma probabilidade de 0,3997 ou 39,97%.
Caso desejasse saber a probabilidade de um candidato
escolhido ao acaso ter uma pontuação entre 127,4 e 140.
O procedimento seria igual ao anterior, ou seja:
127,4
140
Para x = 127,4
Z = x - µ = 127,4 – 140 = - 0,63
Ơ
20
Na tabela, teremos 0,2357 ou 23,57 a probabilidade de um
candidato escolhido ao acaso apresentar a pontuação de 127,4
a 140 pontos.
Caso desejasse obter a probabilidade de um candidato
escolhido ao acaso apresentar a pontuação entre 127,4 e
165,6, bastaria calcular as probabilidades associadas a duas
áreas distintas: entre 127,4 e 140 pontos e, depois, entre 140
a 165,6 pontos. Depois disto, basta somar as probabilidades:
0,2357 + 0,3997 = 0,64 ou 64%.
Em alguns casos, operações com áreas sob a curva podem
envolver as partes complementares, divididas pela média.
Como a curva é simétrica cada parte possui uma área igual a
50% ou 0,50.
Caso desejasse obter a probabilidade de um candidato ter uma
nota inferior a 127,4 pontos, a área entre -∞ e 127 poderia ser
obtida em duas etapas.
Teríamos:
127,4
140
Como já sabemos qual a probabilidade de entre 127,4 e 140,
basta calcular a diferença: 0,50 – 0,2357 = 0,26 ou 26%.
As operações com tabelas padronizadas de Z podem ser
igualmente efetuadas com probabilidades fornecidas.
Por exemplo, caso um pesquisador precisasse definir uma nota
de corte xc de forma que entre a média e xc estivesse 27,04%
dos candidatos. Nesta situação, a probabilidade é dada e a
partir dela precisamos saber o valor para a variável original.
Olhando na tabela, temos como probabilidade de 0,2704
valor de Z é igual 0,70 mais 0,04, que resulta em 0,74.
e o
Então,
Z=x-µ
Ơ
0,74 = xc – 140
20
xc = (0,74 x 20) + 140 = 154,80
Então, a nota de corte é igual 158,4 pontos
Aproximação da distribuição binominal pela distribuição
normal
Em uma distribuição binominal, a média pode ser calculada pela
µ = np (número de eventos analisados x o sucesso de cada
evento. O desvio padrão é ơ = √npq.
Com os valores obtidos para a média e para o desvio padrão,
pode-se empregá-los no modelo de distribuição normal como
aproximação da distribuição binominal.
Exemplo:
Uma moeda honesta seja lançada 300 vezes. Pede-se calcular a
probabilidade de ocorrerem mais de 140 caras. A solução seria
a distribuição binominal, porém estimar a probabilidade para
141 até 300 caras seria complicado. A solução alternativa é a
aproximação da distribuição binominal pela normal.
Para isso, a média e o desvio padrão deveriam ser calculados. A
probabilidade de sair cara é igual 50% (p = 0,50; q = 1-p = 1
– 0,50 = 0,50) e o número de eventos igual aos 300
lançamentos da moeda, aplicando na fórmula:
µ = np = 300 x 0,50 = 150
ơ = √300 x 0,50 x 0,50 = 8,66
Como queremos saber a probabilidade de ocorrer mais de 140
caras, poderemos considerar um valor para analisar a área de
140,5.
Utilizando os procedimentos anteriores, teremos:
140,5
150
Z = x - µ = 140,5 – 150 = - 1
Ơ
8,66
Na tabela padronizada para Z = 1,10 teremos 0,3643 para
140,5 e 150 caras, como queremos o valor superior teremos
que somar a probabilidade encontrada 0,3643 + 0,50 = 0,8643
ou 86,43%.
Aproximação da distribuição de Poisson pela distribuição
normal
Para usar a distribuição normal será preciso obter os valores da
média (λt) e do desvio padrão √λt.
Como exemplo temos, uma área industrial de uma fábrica de
cabos de aço verificou que sua produção costuma apresentar
defeitos que seguissem aproximadamente a distribuição de
Poisson, com lambda igual a três defeitos para cada 100 metros
fabricados.
Em uma amostra formada com 200 rolos de cado de aço com
500 metros cada um deseja-se calcular quantos rolos deveriam
ter mais de 10 defeitos.
Temos,
µ = 3/100 x 500 = 15 defeitos
ơ = √15 = 3,87 defeitos
Como desejamos saber a probabilidade de um rolo apresentam
mais de 10 defeitos, então consideraremos 10,5 como x.
Aplicando na fórmula:
Z = x - µ = 10,5 – 15 = - 1,16
Ơ
3,87
A área de Z = 1,16 é 0,3770, como queremos saber a
probabilidade de mais de 10 defeitos, teremos de acrescentar a
esta probabilidade 0,50, resultando em 0,8770 ou 87,70%. O
número de rolos será:
E (x) = n.p = 0,8770 x 200 = 175 rolos.
Exercícios
1) Imagina-se a probabilidade de encontrar um livro com
defeitos de impressão em uma determinada livraria seja
igual a 18%. Em um lote com 580 livros, pede-se obter a
probabilidade de encontar:
a) Mais que 120 livros com defeitos
b) Entre 100 e 150 livros defeituosos
c) Menos que 110 livros com defeitos
2) Uma fábrica de chocolates comercializa barras que pesam
em média 200 g. Os pesos são normalmente distribuídos.
Sabe-se que o desvio padrão é igual a 40g. Calcule a
probabilidade de uma barra de chocolate escolhida ao acaso:
a)
b)
c)
d)
Pesar
Pesar
Pesar
Pesar
entre 200 e 250 g
entre 170 e 200 g
mais que 230g
menos que 150g
3) O tempo de vida útil de um motor elétrico tem distribuição
aproximadamente normal, com média 4,6 anos e desvio
padrão de 1,3 ano. (a) qual deve ser o valor do tempo de
garantia desse motor para que, no máximo, 18% das vendas
originais exija substituição? (b) se esse tipo de motor tiver
garantia de 2 anos, que porcentagem das vendas originais
exigirá substituição?
4) As vendas mensais do mercadinho Pague bem seguem,
aproximadamente, uma distribuição normal, com média
igual a $ 5.000 e desvio padrão de $ 2.000. Calcule a
probabilidade de que, em um determinado mês, as vendas:
(a) sejam superiores a $ 3.500; (b) sejam inferiores a $
3.000; (c) estejam entre $ 3.800 e $ 5.300; (d) estejam
entre $ 2.100 e $ 7.800.
5) A última prova seletiva do concurso vestibular da
Universidade do Sul possuía 240 perguntas, com três
alternativas cada uma. Sabendo que 18.000 candidatos
fizeram as provas, quantos destes, respondendo às questões
ao acaso, acertaram pelo menos 35% das perguntas?
(distribuição binominal pela distribuição normal)
6) Uma famosa rede de lanchonetes verificou que os clientes
chegam em uma determinada loja a razão de seis pessoas a
cada 15 min. Em um dia inteiro de trabalho, formado por
doze horas, encontre a probabilidade de entrarem na loja:
(a) mais de 300 clientes; (b) menos que 260 clientes; (c)
entre 270 e 320 clientes. (distribuição de Poisson pela
distribuição normal)