Método da Substituição
Cálculo 2– Prof. Aline Paliga
Introdução
Nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular
integrais do tipo

2 x 1  x 2 dx
Uma maneira de calcularmos esta integral é mudarmos a variável x para
uma nova variável u.
2
Suponha que façamos u  1  x . Então calculamos a derivada:
du
 2 x  du=2xdx
dx
Portanto podemos reescrever a nossa integral:

2 x 1  x 2 dx  

1  x 2 2 xdx
udu
  u n du  n  1/ 2
x n 1
integral imediata!  x dx  n  1  C
n
u n 1
  u du 
C
n 1
u1/ 21
u 3/ 2
2

C 
 C  u 3/ 2  C
1/ 2  1
3/ 2
3
n
2
Substituindo u  1  x
2
 ( x 2  1)3/ 2  C
3
F
Podemos verificar a resposta correta usando a Regra da Cadeia para diferencial a
função final:
d 2 2
 2 3 2

3/ 2
3/ 2 1
(
x

1)

C

(
x

1)
2
x





dx  3
3
2


u 
 2 x ( x 2  1)1/ 2  2 x x 2  1
F'
F' f
TFC1
f
dF dF du

dx du dx
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO:
Esse método funciona sempre que temos uma integral que possa ser
escrita na forma, onde u=g(x)
 f ( g ( x)) g '( x)dx  f (u)du
u  g ( x)
du
 g '( x)  du  g '( x)dx
dx
PASSO A PASSO:
Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em
geral “a função interna” da função composta f (g(x)).
Passo 2. Calcule du = g’(x) dx.
Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = g’(x) dx para converter
a integral em uma outra envolvendo apenas u.
Passo 4. Calcule a integral resultante.
Passo 5. Substitua u por g(x) para obter a solução final como
função de x.
EXEMPLO 1:

2 x  1dx
RESOLUÇÃO:
du
Seja u=2x+1, então du=2dx ou dx 
2
1
1
1/ 2
u
du

u
 2 2  du
1 u1/ 21
1 u 3/ 2

C 
C
2 1/ 2  1
2 3/ 2
u 3/ 2
(2 x  1)3/ 2

C 
C
3
3
EXEMPLO 2:

e5x dx
RESOLUÇÃO:
du
Seja u=5x, então du=5dx ou dx 
5
1
u 1
u
e
du

e
 5 5  du
1 u
e5 x
 e C 
C
5
5
EXEMPLO 3:

sen( x 2 ) xdx
RESOLUÇÃO:
du
2
Seja u=x , então du=2xdx ou xdx 
2
1
1
sen
u
du

   2 2  sen  u du
1
cos( x 2 )
   cos(u )   C  
C
2
2
EXEMPLO 4:

x3 cos( x 4  2)dx
RESOLUÇÃO:
du
3
4
3
Seja u=x +2, então du=4x dx ou x dx 
4
1
1
cos
u
du

   4 4  cos  u du
1
sen( x 4  2)
  sen(u )   C 
C
4
4
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO (definida)
Existem 2 métodos para se calcular uma integral definida por
substituição. Um deles consiste em se calcular a integral indefinida e
então usar o TFC2.
O outro método, usualmente preferível, consiste em mudar os limites
de integração ao se variar a variável.

f ( g ( x)) g '( x)dx  
g (b )
g (a)
f (u )du
DO EXEMPLO 1:

4
0
RESOLUÇÃO:


2º método
1º método
2 x  1dx
4
 (2 x  1)3/ 2 
2 x  1dx   

0
3

0
4
 (2.4  1)3/ 2 (2.0  1)3/ 2 



3
3


 (9)3/ 2 (1)3/ 2   27 1  26


  

3   3 3 3
 3

g (b )
g (a)
f (u )du  u  g ( x)  2 x  1
g (b)  2.4  1  9
g (a )  2.0  1  1
4
91
0 2 x  1dx  1 2 udu
9
 (u )   (9)3/ 2 (1)3/ 2 




3 
 3 1  3
 27 1  26
  
 3 3 3
3/ 2