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UNIFACS - Cursos de Engenharia
Disciplina: Cálculo Integral
Ano: 2013
2ª Lista de Exercícios – 2013
Integrais Definidas e Cálculo de Área
1. Calcule as seguintes integrais definidas:
(a)
3
∫1
2x 3 − 4x 2 + 5
dx
x2
(b)
1
∫ t(
2
0
3
)
t − t dt
(c)
6
∫−3
x − 4 dx
2. Uma partícula move-se com uma velocidade de v(t) m/s ao longo de um eixo s. Ache o deslocamento e
a distância percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado.
a) v(t) = sen(t); 0 ≤ t ≤
π
.
2
b) v(t) = cos(t);
3. Uma partícula move-se com aceleração
π
≤ t ≤ 2π.
2
m / s 2 ao longo de um eixo s e tem velocidade v0 m / s , no
instante t = 0 . Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo
dado.
a) a(t) = −2; v0 = 3; 1 ≤ t ≤ 4
b) a(t) =
1
; v0 = 2; 0 ≤ t ≤ 3
5t + 1
4. Um país tem 100 bilhões de m3 de reserva de gás natural. Se A(t) denota o total de gás consumido
após t anos, então dA/dt é a taxa de consumo. Se a taxa de consumo é prevista em 5 + 0,01t bilhões de
m3 por ano, qual o tempo aproximado, em anos, em que as reservas estarão esgotadas?
y
Através da integral indefinida podemos calcular a
3
área limitada por uma curva y=f(x) e o eixo Ox,
onde a ≤ x ≤ b. Esse link é obtido com o uso do
2
Teorema Fundamental do Cálculo.
1
5. a) Usando integrais, calcule a área limitada pela
reta y=x e o eixo
Ox,−7onde−61
≤
x−5≤
3.
−4
−3
b) Confira o resultado obtido calculando a área
com seus conhecimentos do Ensino Médio.
x
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
2
3
2
y
6. a) Usando integrais, calcule a área limitada
pelas
retas
y=x+1,
y=-x+5,
e
os
eixos
2
coordenados Ox e Oy.
b) Confira o resultado obtido calculando a área
com seus conhecimentos anteriores.
x
-4
4
-2
7. Calcule a área determinada pelo gráfico da
y
y = 1+x^2
2
função y=x +1 (parábola) pela reta y=-2x+4, e
y = -2x+4
os eixos coordenados Ox e Oy.
-4
x
8. Determine a área limitada pela parábola y = x2 + 1 e pela reta y = –x + 3 .
9. Visualize os gráficos abaixo e determine a área da região do plano limitada por essas curvas.
(a) xy = 4 e x + y = 5.
(b) y = 2x, y = 2x - x2, x = 0 e x = 2.
(c) y = 2x, y = 1 e y = 2/x
(d) y = x3 – 3x, y = 2x2
(e) y = x3
(f) y = 9/x, y = 9x, y = x
e
y=x2 + 2x
10. Determine o valor das áreas sombreadas nas figuras abaixo. Se possível verifique suas respostas
usando áreas conhecidas no Ensino Médio (triângulos, trapézios) ou em um programa computacional.
a)
b)
c)
d)
3
Integração de frações racionais por decomposição de frações parciais.
11. Resolva as integrais abaixo.
a)
e)
i) ∫
m)
∫
∫
dx
b)
∫
dx
f)
∫
dx
j)
x2 −1
x2 + x + 1
x 2 + 3x
2x + 4
x3 − 2x 2
1
2x + 3
0
2
∫ ( x + 1)
dx
dx
c)
x 2 − 5x + 6
5x − 10
x 2 − 3x − 4
dx
x 4 − 3x 2 + 1
dx
x3 − x 2 − 6 x
∫
∫
dx
x2 + x + 2
g)
∫
k)
∫x
x2 −1
2
2x − 3
d)
x 2 + 3x
∫ ( x − 1)( x − 7) dx
h) ∫
dx
dx
a≠0
− a2
5x 2 + 20x + 6
x3 + 2x 2 + x
dx
x −9
∫ ( x + 5)( x − 2) dx
l)
n)
∫
2
1
4 x 2 − 7 x − 12
dx
x ( x + 2 )( x − 3)
Integrais trigonométricas:
12. Resolva as integrais abaixo.
a)
2
∫ sen xdx
e)
∫ sen (3x)cos(5x)dx
b)
f)
3
∫ sen xdx
∫ sen
3
c)
(2x)cos4 (2x)dx
5
2
∫ cos xsen xdx
g)
d)
5
∫15sen x dx
∫15sen
h)
2
x cos3 x dx
5
∫ cos (3 − 3x ) dx
Obs: Para resolver: e) use a fórmula sena cos b = (1/ 2)(sen(a + b) + sen(a − b))
Respostas
1) a) 10/3; b) 1/70; c) 53/2;
2) a) deslocamento=1; distância=1
3) a)
b) deslocamento=-1; distância=3
deslocamento= - 6; distância= 13/2
b)
deslocamento = 204/25; distância = 204/25
4) aproximadamente 19,62 anos
5) Área igual a 2.
6) Calcule as interseções entre as curvas para depois integrar em cada intervalo conveniente.
4
7) Calcule as interseções entre as curvas para depois integrar em cada intervalo conveniente.
8) 4,5;
9) a)
15
− 8ln (2) ;
2
b)
3
4
− ;
ln(2) 3
c) − 3 + 2ln(2) ;
d) 71 ;
4
6
e)
37
12
f) 18ln(3) ;
10) a) 7/3; b) 8/3; c) 5/2; d) 11/4
11) a)
−
1
1
ln x + 1 + ln x − 1 C
2
2
b) − ln x − 2 + ln x − 3 C
1
11
ln x − 1 + ln x − 7 + C
6
6
c) 1 ln x − 1 ln x + 3 + C
d)
e) x + 1 ln x − 7 ln x + 3 + C
f) 2 ln x − 4 + 3ln x + 1 + C
g) x + 2ln x −1 − ln x +1 + C
h) − 9 + 6 ln x − ln x + 1 + C
x +1
i) 2 + 2 ln x − 2 − 2 ln x + C
x
j)
3
3
3
k)
−
3
1
1
ln x + a +
ln x − a C
2a
2a
m) 2 ln 2 + 1
2
x2 1
1
11
− ln x + ln x + 2 + ln x − 3 + C
2 6
2
3
x+
l) 2ln x + 5 − ln x − 2 + C
n) 27 ln 2 − 9 ln 3
5
5
3
b) cos x − cosx + C
c) sen 3 x
d) 5sen 3 x − 3sen 5 x + C
e) −1 cos8x + 1 cos 2x + C
f)
g) −15cos x + 10cos3 x − 3cos5 x + C
h) −1 sen(3 − 3x) + 2 sen 3 (3 − 3x) − 1 sen 5 (3 − 3x) + C
12) a) x − sen2x + C
2
4
3
16
3
3
4
9
15
−2
sen 5 x sen 7 x
+
+C
5
7
−1 5
1
cos 2x + cos7 2x + C
10
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