Mecânica I
Mecânica I
Capitulo 2 - Cinemática do ponto material
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Mecânica I
Movimento uniforme
No movimento uniforme a velocidade é constante em qualquer instante
s = so + v.t
s = posição em um instante qualquer (m, km)
so = posição inicial (m, km)
v = velocidade (m/s, km/h)
t = tempo (s, h)
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Mecânica I
Exercício 1:
a) Trace o diagrama horário da posição da moto
b) Identifique o movimento da moto
c) Obtenha a equação horária s-t
d) A velocidade da moto e a posição da moto ao fim de 8 s
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Encontro entre dois corpos em movimento uniforme
Para determinar o instante em que dois corpos se encontram devemos igualar
as funções das posições dos corpos. Substituindo o instante encontrado, numa
das funções horárias, determinaremos a posição onde o encontro ocorreu.
sA = sA0 + vA.tA
sB = sB0 + vB.tB
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Na posição do encontro: sA = sB
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Movimento uniforme
Exercício 2:
Dois corpos deslocam-se sobre a mesma trajectória, obedecendo às funções
horárias:
sA = 5+ 2.t e sB = 65 - 8.t
Determine o instante e a posição do encontro.
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Movimento uniformemente variado (M.U.V)
Se no movimento de um corpo, em intervalos de tempo iguais ele sofrer a
mesma variação da velocidade, dizemos que realiza um movimento
uniformemente variado.
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Movimento uniformemente variado (M.U.V)
s = s0 + v0.t + 1/2 a.t2
s = posição num instante qualquer (m, km)
s0 = posição no instante inicial (m, km)
vo = velocidade no instante inicial (m/s, km/h)
a = aceleração (m/s2, km/h2)
t = tempo (s, h)
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Mecânica I
Movimento uniformemente variado (M.U.V)
Posição em função do tempo: s = s0 + v0.t + 1/2 a.t2
Velocidade em função do tempo: v = v0 + a.t
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Equação de Torricelli
A equação de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo
corpo.
v2 = vo2 + 2.a. Δs
Δs = distância percorrida no intervalo considerado (m, km)
Δs = s - s0
v = velocidade no final do intervalo (m/s, km/h)
vo = velocidade no início do intervalo (m/s, km/h)
a = aceleração (m/s2, km/h2)
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Exemplo de Aplicação da Equação de Torricelli
Exercício 3: Um carro de corrida tem velocidade de 28 m/s. Em determinado
instante, os travões são accionados produzindo um retardamento de -5 m/s2.
Quantos metros o carro percorre até atingir a velocidade de 13 m/s ?
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Exercício 4: Observe o gráfico x-t e procure associar os pontos 1, 2 e com as figuras A, B e C.
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Exercício 5: A figura mostra dois tractores em movimento.
a) Compare as velocidades dos tractores.
b) Identifique o movimento dos tractores.
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Queda livre : Denomina-se queda livre aos movimentos de subida ou de
descida que os corpos realizam no vácuo. Estes movimentos são descritos
pelas mesmas equações do movimento uniformemente variado. A aceleração
do movimento é a aceleração da gravidade g.
s = so + v0.t + 1/2 . g.t2
S [m]
vo
v = vo + g.t
v2
=
vo2
+ 2.g. Δs
So
Referência
gTerra = - 10 m/s2
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g = -10 m/s2
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Exercício 6: Uma menina, na margem de um rio, deixa cair uma pedra que
demora 5 s para chegar à superfície da água. Sendo a aceleração local da
gravidade igual a 10 m/s2, determine a distância percorrida pela pedra.
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Exercício 7: A figura fornece a velocidade de uma pedra nos primeiros 2
segundos. Qual será a velocidade da pedra nos instantes 3 s, 4 s e 5 s ?
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Daremos ênfase, neste módulo, ao estudo das propriedades geométricas dos
diagramas horários, principalmente ao significado das áreas (entre o gráfico e o eixo
dos tempos) nos diagramas horários da velocidade e da aceleração para um
movimento.
O deslocamento escalar (s) num certo intervalo de tempo (t), para um movimento
qualquer, pode ser determinado através do cálculo da área existente entre o gráfico v-t
e o eixo dos tempos, limitada pelo intervalo de tempo escolhido. Observe isso no
diagrama mostrado.
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O diagrama horário da velocidade pode indicar que o movimento é
composto por etapas, de tal forma que podemos, em cada trecho, identificar
as suas características e também calcular os seus respectivos deslocamentos
escalares.
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A área calculada no diagrama horário da aceleração, entre o gráfico e o
eixo dos tempos, limitada por um t, indica a variação de velocidade
ocorrida naquele intervalo.
Observação: a área sob o gráfico espaço x tempo não tem significado físico prático.
Logo, não há razão para efectuarmos seu cálculo.
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No movimento uniforme: o declive da recta inclinada do gráfico s x t indica
o valor da velocidade escalar constante do corpo. Ou seja:
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Num movimento variado o declive da recta tangente ao gráfico s x t, num
certo instante t, representa numericamente a velocidade escalar do corpo
naquele instante. Isto é:
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O cálculo do declive num gráfico v x t leva-nos a encontrar a aceleração
escalar do movimento (aceleração que ocorre num determinado instante).
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Cálculo de áreas:
Gráfico v x t
Gráfico a x t
Declives:
Gráfico s x t
Gráfico v x t
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Exercício 8
O gráfico a seguir indica como varia a velocidade escalar de uma composição
de metro, em função do tempo, durante o seu deslocamento entre duas
estações. Com base no gráfico:
a) Calcule o deslocamento escalar da composição entre as duas estações.
b) Construa o diagrama horário da aceleração escalar para esse movimento.
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Resolução
a) A área do trapézio, sob o gráfico v x t dado, representa o
deslocamento escalar ocorrido, isto é:
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b) Primeiro, vamos calcular a aceleração escalar nas três etapas do movimento.
• Nos primeiros 15 s:
M.U.V.
• Entre os instantes 15 s e 45 s :
• Nos últimos 15 s:
M.U.V.
A partir desses valores, temos:
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M.U
a=0
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Vector Posição: é o vector que define a posição de uma partícula relativamente a
um referencial ortonormado xy.
y
P

r (t )

ry

rx
ˆj
O
+
iˆ
X

r (t )  rx (t ) iˆ  ry (t ) ˆj
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Vector Posição no espaço
y

ry

r (t )
ˆj

rz
o
kˆ
+
iˆ
z
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
rx
X

r (t )  rx (t ) iˆ  ry (t ) ˆj  rz (t ) kˆ
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y
Vector deslocamento

r1

r

r2
  
r  r2  r1
ˆj
kˆ
iˆ
X
z
Espaço percorrido: o espaço percorrido só é idêntico ao módulo do vector
deslocamento se a trajectória for rectilínea e se não ocorrerem inversões de sentido.



s  r1  r2  .... rn
A um deslocamento nulo pode não corresponder um espaço nulo e a um mesmo
deslocamento podem corresponder espaços diferentes.
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Vector velocidade média e vector velocidade instantânea
O vector velocidade média é a razão entre o vector deslocamento e o intervalo de
tempo em que esse deslocamento ocorre, ou seja:

r

vm 
t

O vector velocidade instantânea é dado pelo vector r sobre o intervalo ∆t
quando este tende para zero.

 dr
v
dt


r
v  lim
t 0 t

A direcção de v é tangente à trajectória no ponto onde se encontra a partícula no
instante considerado.
y

v
x
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Vector aceleração média e vector aceleração instantânea
O vector aceleração média é dado por:

v

am 
t

A aceleração média tem a direcção e o sentido do vector v.

y
vf
B

v0
A

v

vf
x
O vector aceleração instantânea é o limite para que tende o vector aceleração média
quando o intervalo de tempo tende para zero.
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
v

a  lim
t  0
t


dv
d 2r

a 

dt
dt 2
Mecânica I
Projecções de um movimento tridimensional
y
 
r  r (t )  x(t ) iˆ  y(t ) ˆj  z(t ) kˆ

ry

r (t )
ˆj

rz
kˆ o
 dr
V   Vx ( t ) ˆi  Vy ( t ) ˆj  Vz ( t ) kˆ
dt
+
iˆ

rx
z
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X

 dV
a
 a x ( t ) ˆi  a y ( t ) ˆj  a z ( t ) kˆ
dt
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Movimento de um projéctil numa trajectória plana
Y

vy

v0 y

v0
 
v  vx

v

vx

vx

vy

v

vx
Ymáx.

v0 x
Y0

g

vy

v

vx
ˆj
0
iˆ
X0
X
Xmáx.
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
vy

v
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A componente horizontal do movimento é um movimento rectilíneo uniforme.
A componente vertical é um movimento rectilíneo uniformemente variado.
Movimento Horizontal (M. R. U)
v0 x  v0 cos 
ax  0
v x  v0 cos 
x(t )  x0  v0 . cos  .t
Movimento Vertical (M. R. U. V)
v0 y  v0 sen
ay  g
v y  v0 .sen  gt
1
y(t )  y0  v0 .sen .t  .g.t 2
2

1
r (t )  ( x0  v0 . cos  .t ) iˆ  ( y0  v0 .sen .t  gt 2 ) ˆj
2

v (t )  (v0 . cos  ) iˆ  (v0 .sen  gt) ˆj

a(t )  0 iˆ  g ˆj
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Mecânica I
Componente normal e tangencial do vector aceleração
Se a trajectória for curvilínea, o vector aceleração está sempre dirigido para a
concavidade da trajectória.
A aceleração normal, como o próprio nome indica, é dirigida para o centro da
trajectória. No movimento circular uniforme, o vector aceleração, é perpendicular
ao vector velocidade em cada ponto e de módulo constante.
Movimento circular Uniforme

at  0


a  an u n



a  0 ut  a n u n
at  0
v2
an 
R
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Física
1- Movimento curvilíneo acelerado: Num certo intervalo de tempo o movimento é
acelerado se o módulo da velocidade aumentar.
y
P(t f )

v0
P (t 0 )

vf

at
y

v

a

an

vf
x
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
v
x
Física
2. Movimento curvilíneo retardado: Num certo intervalo de tempo o movimento é
retardado se o módulo da velocidade diminuir.
y
P(t f )

v0
P (t 0 )

vf
y

at

v

a

vf

an

v
x
x
 

a  at  an
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Mecânica I
3 - Movimento curvilíneo uniforme: Se num certo intervalo de tempo o módulo da
velocidade for constante, o movimento diz-se uniforme.
y
y

P(t f ) v f

v0
P (t 0 )

at  0

v
 
a  an

vf

v
x
x
 
a  an
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Mecânica I
4 - Componentes normal e tangencial do vector aceleração
Se a trajectória for curvilínea, o vector aceleração está sempre dirigido para a
concavidade da trajectória.
y
y
d
d
R
uˆn
R
ds
cos ˆj
ds  R.d


v  v uˆt
x

du t
 dv 
a
ut  v
dt
dt
uˆ t

sen ˆj
ˆj

 dv d

a
 (v.u t )
dt dt
sen ˆj

ut  cos iˆ  sen ˆj

u n  sen iˆ  cos ˆj
 dv  v 2 
a
ut  u n
dt
R
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iˆ

du t
dt

du t
dt

du t
dt

du t
dt

cos iˆ
x

d

cos iˆ  sen ˆj
dt
d ˆ
d ˆ
  sen .
i  cos .
j
dt
dt
d

 sen iˆ  cos ˆj
dt
d 
v

un 
uˆ n
dt
R


Mecânica I
Componentes normal e tangencial do vector aceleração
Considere-se uma partícula a descrever uma trajectória curvilínea no plano xy.
y
  
a  at  an
uˆ t
P(t )

a  at uˆt  an uˆn
2
 dv
v
a
uˆt 
uˆn
dt
R
uˆn
at

v

a
an
x

v
No instante t a partícula encontra-se no ponto P com velocidade com velocidade

e aceleração a .

Pode-se exprimir a em função de duas componentes:

- uma segundo a direcção tangente à trajectória, aceleração tangencial a t

- uma segundo a direcção normal à trajectória, aceleração normal an
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Mecânica I
Movimento Circular
Designam-se por movimentos circulares aqueles em que a trajectória é circular ou
seja o raio R é constante.
Período, T: É o tempo gasto por um corpo para efectuar uma volta completa no circulo.
Frequência, f: É o número de voltas efectuadas no circulo na unidade de tempo.
T
1
f
f 
1
T
w
2R
 2f
TR
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Mecânica I
Velocidade angular
Considerando uma partícula a descrever uma trajectória circular no plano xy, em
que R é o raio da trajectória.
Para ângulos pequenos:
z
ds
d

R
Dividindo ambos os membros por dt , vem:
dt
dt
ds
Sabendo que: v 
Se definirmos w como
dt
d

w

rt
d
ds  R d
velocidade angular escalar: w 

rt t
ds
Pt t
Pt
x
ds - arco descrito pela partícula;
dt - intervalo de tempo;
dθ - ângulo ao centro.

v
y
vem:
dt
vw R
A velocidade angular é uma grandeza vectorial com
direcção normal ao plano do movimento e sentido dado
pela regra da mão direita. Podemos então escrever:
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
w  w kˆ
Mecânica I
Exemplo: A velocidade angular de cada homem é igual ou diferente?
E a velocidade escalar ?
w4
v4
w3
w2
w1
v  wR
v3
v2
V1 < v2 < v3 < v4
v1
w1 = w2 = w3 =w4 = w
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Mecânica I
Aceleração angular
Derivando o vector velocidade angular em ordem ao tempo obtém-se:

dw

dt

1 - Movimento circular uniforme
Neste tipo de movimentos o módulo do vector velocidade é constante, mas a sua
direcção altera-se constantemente.
dv
 0  at  0
dt

dv


v  const . 
 0  an  0
dt
v  const . 


 v2 

a  0 ut  u n
R
Como a velocidade é constante então:
w = velocidade angular (rad/s)
Δθ = ângulo percorrido (rad)
Δt = tempo (s)
v = velocidade escalar (m/s)
r = raio (m)
W = Constante
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v
s
 s  s 0  vt
t
w

    0  wt
t
v  wR  w 

a
0
R
v
 c te
R
Mecânica I
Exercícios de movimento circular e uniforme
Um corpo realiza um movimento circular e uniforme, com velocidade de 5 m/s.
Sendo a aceleração normal igual a 10 m/s2, determine o raio de sua trajectória.
A Lua realiza, ao redor da Terra, um movimento aproximadamente circular e uniforme,
com velocidade de 1000 m/s. Sendo o raio de sua órbita igual a 400 000 quilómetros,
determine sua aceleração normal.
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Mecânica I
No movimento circular uniforme, o vector aceleração é radial, portanto perpendicular
ao vector velocidade em cada ponto e de módulo constante.

vA
A




v A  vB  vC  vD

aA

vD

aD

aB
D
B

vB

aC

vC




a A  aB  aC  aD
C
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Mecânica I
2 - Movimento uniformemente variado (Rectilíneo e Circular)
Neste tipo de movimento, a aceleração angular é constante.
α = constante



a
 
a
 c te
R
 
w
 w  w0  t
t
a 
v
 v  v 0  at
t
   0  w0 t 
s
s  s 0  v0 t 
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1
t 2
2
1
at 2
2
Mecânica I
Observe a animação. Em qual ponto do loop a aceleração normal sobre a moto é
menor ?
Observe a animação mostrada. Se o carro se move com velocidade linear constante.
Em qual das curvas a aceleração normal é maior ?
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Mecânica I
Tabela Resumo das Características do Movimento Linear e Angular de uma Partícula
Grandezas Físicas Lineares
Grandezas Físicas Angulares
Posição linear, s [m]
Posição angular, θ [rad]
Velocidade linear, v [m/s]
Velocidade angular, w [rad/s]
Aceleração angular, α [rad/s2]
Aceleração linear, a [m/s2]
Relação entre grandezas Físicas Lineares e Angulares do Movimento
v = w.R
Equações do M. R. U
s  s0  vt
v  v0  const.
a0
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e
a=αR
Equações do M. C. U
   0  wt
w  w0  const.
 0
Mecânica I
Continuação
Equações do M. R. U. V
s  s 0  v0 t 
v  v0  at
1 2
at
2
a  const .  0
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Equações do M. C. U. V
1
2
   0  w0 t  t 2
w  w0  t
  const .  0
Mecânica I
Tabela Resumo das Características do Movimento de uma Partícula
Tipo de Movimento
Rectilíneo Uniforme
Características do Movimento

v  const.  at  0

Direcção de v  const.  an  0

v varia  at  const.  0
Rectilíneo U. Variado
Circular Uniforme
Circular U. Variado

Direcção de v  const.  an  0
Posição, Velocidade e Aceleração
EquaçõesM .R.U

a  0 uˆt  0 uˆ n
EquaçõesM .R.U.V

a  at uˆt  0 uˆn

v  wR  const.  at  0
EquaçõesM .C.U

Direcção de v Varia  an  0

a  0 uˆt  w2 R uˆn
  const.  0  at  R  0
EquaçõesM .C.U.V

a  at uˆt  w 2 R uˆ n

Direcção de v Varia  an  0
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