Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais CAPITULO 8 Flexão DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Sumário: Flexão Esforços internos de flexão e cortantes Flexão pura Equação matemática para cálculo das tensões normais Distribuição das tensões normais nos corpos solicitados Superfície neutra e linha neutra Carregamento axial excêntrico Flexão simétrica e não simétrica Momentos de Inércia e eixos principais de Inércia Competências: Determinar o diagrama de esforços internos de flexão e cortantes. Relacionar as tensões com as deformações. Relacionar as tensões normais com os esforços de flexão e propriedades geométricas dos corpos deformáveis. Calcular as tensões relacionadas com a flexão pura, carregamento axial excêntrico, flexão simétrica e assimétrica para diferentes geometrias. Perceber o significado físico de linha neutra e superfície neutra. Determinar a localização da linha neutra. Desenhar a distribuição dos vectores tensão na secção transversal do corpo solicitado. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Diagramas de Esforços Internos Cortantes e de Flexão • A determinação das tensões normais e tangenciais máximas requer a identificação dos esforços internos cortantes e de flexão máximos. • Os esforços internos cortantes e de flexão num ponto podem ser determinados seccionando a viga pela secção transversal correspondente e realizando uma análise de equilíbrio estático na porção da viga à esquerda ou à direita desse ponto, tal como ilustrado nas figuras (a) e (b) (Método das Secções). • Convenção de sinais positivos para os esforços cortantes V e V’ e esforços de flexão M e M’: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Exercício Resolvido 1 Para a viga de madeira e para o carregamento indicado, desenhe os diagramas de esforços internos cortantes e de flexão. Método das Secções: • Considerando a viga como um corpo rígido, determine as forças reactivas nos apoios. • Seccione a viga junto aos apoios e pontos de aplicação de cargas. Aplique as equações de equilíbrio estático nos diagramas de corpo livre assim obtidos, de modo a determinar os esforços internos cortantes e de flexão. • Represente graficamente a distribuição dos esforços internos cortantes e de flexão em função do comprimento da viga. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais • Cálculo das reacções nos apoios: F y 0 M B : RB 46kN RD 14kN • Análise de equilíbrio estático: Fy 0 20 kN V1 0 V1 20 kN M1 0 20 kN 0 m M1 0 M1 0 Fy 0 20 kN V2 0 V2 20 kN M2 0 20 kN 2.5 m M 2 0 M 2 50 kN m V3 26 kN M 3 50 kN m V4 26 kN M 4 28 kN m DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial V5 14 kN M 5 28 kN m V6 14 kN M6 0 Resistência dos Materiais • Representação gráfica dos esforços internos cortantes e de flexão: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Relação entre Carregamento, Esforço Cortante e Esforço de Flexão • Relação entre carregamento e esforço cortante: Fy 0 : V V V w x 0 V w x dV w dx xD VD VC w dx xC • Relação entre esforço cortante e esforço de flexão: M C 0 : M M M V x wx x 0 M V x 12 w x 2 dM V dx M D MC DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial xD V dx xC 2 Resistência dos Materiais Exercício Resolvido 2 Método Gráfico: Para a viga e para o carregamento indicado, represente os diagramas de esforços internos cortantes e de flexão. • Considerando a viga como um corpo rígido, determine as forças reactivas nos apoios. • Aplique a relação entre carregamento e esforço cortante para representar o diagrama de esforços internos cortantes. • Aplique a relação entre esforço cortante e esforço de flexão para representar o diagrama de esforços internos de flexão. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais • Cálculo das reacções nos apoios: MA 0 0 D24 ft 20 kips 6 ft 12 kips 14 ft 12 kips 28 ft D 26 kips Fy 0 0 Ay 20 kips 12 kips 26 kips 12 kips Ay 18 kips • Representação gráfica do diagrama de esforços internos cortantes: dV w dx DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial dV w dx Resistência dos Materiais • Representação gráfica do diagrama de esforços internos de flexão: dM V dx DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial dM V dx Resistência dos Materiais Exercício de Esforços Internos 1 Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes métodos: a) método das secções; b) método gráfico. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Exercício de Esforços Internos 2 Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes métodos: a) método das secções; b) método gráfico. 2 kN/m 8 kN 12 kN.m 1m 1m 1m DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial 2m 2m Resistência dos Materiais Flexão Pura Flexão Pura: Membros prismáticos sujeitos a dois momentos, iguais e de sentidos opostos, actuando no mesmo plano longitudinal. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Outros Tipos de Carregamento • Carregamento excêntrico: Um carregamento axial excêntrico à secção considerada, origina esforços internos equivalentes a uma força normal e a um momento flector. • Carregamento transversal: Uma carga concentrada na extremidade livre A origina esforços internos equivalentes a uma força igual, e de sentido oposto, e a um momento flector. • Princípio da Sobreposição: Combinar as tensões originadas pela carga com as tensões provocadas pela flexão pura. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Análise das Tensões na Flexão Pura • O momento flector M consiste em duas forças iguais e de sentidos opostos. • A soma das componentes dessas forças em qualquer direcção é igual a zero. • O momento flector, em relação a qualquer eixo perpendicular ao seu plano, é sempre o mesmo. • O momento flector, em relação a qualquer eixo contido no seu plano, é igual a zero. Fx x dA 0 M y z x dA 0 M z y x dA M DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Deformações na Flexão Pura Barra prismática que contém um plano de simetria, em flexão pura: • a barra permanece simétrica em relação ao plano; • flecte uniformemente formando um arco de circunferência; • qualquer secção plana perpendicular ao eixo da barra permanece plana; • a linha AB diminui de comprimento e a linha A’B’ aumenta; • deve existir uma superfície neutra, paralela às faces superior e inferior, para a qual o comprimento não varie; • tensões e deformações são negativas (compressão) acima da superfície neutra, e positivas (tracção) abaixo dela. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Deformações na Flexão Pura Considere uma barra prismática de comprimento L. Depois da deformação, o comprimento da superfície neutra permanece igual a L. Nas outras secções, L y L L y y x m L c y or ρ y (extensãovarialinearmente) c m y c x m DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Tensões e Deformações no Regime Elástico • Para um material homogéneo, y c x E x E m y m (t ensãovarialinearmente) c • A partir da estática, y Fx 0 x dA m dA c 0 m y dA c A linha neutra passa pelo centro geométrico da secção. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial • Do equilíbrio estático, y M y x dA y m dA c I M m y 2 dA m c c Mc M m I S y Substit uindo em x m c My x I Resistência dos Materiais Tensões e Deformações no Regime Elástico Mc M I S I momentode inércia m S I módulo resistente c 3 1 I 12 bh S 16 bh3 16 Ah c h2 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Propriedades dos Perfis DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Deformações numa Secção Transversal • A deformação da barra submetida à flexão é medida pela curvatura da superfície neutra. 1 Mc m m c Ec Ec I M EI 1 y x y z x 1 curvaturaanticlástica DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial y Resistência dos Materiais Exercício Resolvido 3 Uma peça de máquina de ferro fundido fica submetida à acção do momento flector M = 3 kN.m. Sabendo-se que E = 165 GPa e desprezando o efeito da curvatura das arestas do perfil, determinar: (a) as máximas tensões de tracção e compressão; (b) o raio da curvatura. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Calcular a localização do centro geométrico da secção e o momento de inércia. Area, mm 2 1 20 90 1800 2 40 30 1200 A 3000 y , mm 50 20 yA, mm 3 90 103 24 103 3 yA 114 10 3 yA 114 10 Y 38 mm 3000 A 1 bh3 A d 2 I x I A d 2 12 1 90 20 3 1800 12 2 1 30 40 3 1200 18 2 12 12 I 868 103 mm 868 10 -9 m 4 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais • Calcular as máximas tensões de tracção e compressão. Mc I M c A 3 kN m 0.022 m A I 868 10 9 mm 4 M cB 3 kN m 0.038 m B I 868 10 9 mm 4 m A 76 .0 MPa B 131 .3 MPa • Calcular a curvatura. 1 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial M EI 3 kN m 165 GPa 868 10 -9 m4 1 20.95 10 3 m-1 47.7 m Resistência dos Materiais Carregamento Axial Excêntrico num Plano de Simetria x x força centrada x flexão N • Carregamento excêntrico, NP M Pd P My A I • Os resultados só são válidos quando as condições de aplicação do princípio da sobreposição e de Saint-Venant forem satisfeitas. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Exercício Resolvido 4 A peça mostrada é feita de ferro fundido e tem tensões admissíveis de 30 MPa à tracção e de 120 MPa à compressão. Determinar a maior força P que pode ser aplicada à peça. Do exercício resolvido 3, A 3 10 3 m 2 Y 0.038 m I 868 10 9 m 4 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais • Força e momento flector aplicados em C. d 0.038 0.010 0.028m P forçacentrada M Pd 0.028P momentoflector • Sobreposição. 0.028P 0.022 377 P P Mc A P A I 3 103 868 109 0.028P 0.038 1559P P Mc P B B A I 3 103 868 109 A • Máxima força que pode ser aplicada. A 377P 30 MPa P 79.6 kN B 1559P 120MPa P 77.0 kN P 77.0 kN DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Flexão Fora do Plano de Simetria • Permanecem simétricas e flectem no plano de simetria. • A linha neutra da secção transversal coincide com o eixo do momento flector. • Não podemos supor que a barra vá flectir no plano de simetria. • Em geral, a linha neutra da secção não coincide com eixo do momento flector. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Flexão Fora do Plano de Simetria • y 0 Fx x dA m dA c ou 0 y dA linha neutra passa pelo centro geométrico. • M M z y m dA y c σmI I I z m om entode inércia c define a distribuição de tensões. ou M Fx 0 M y M z M • y 0 M y z x dA z m dA c ou 0 yz dA I yz produto de inércia DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Flexão Fora do Plano de Simetria • Aplicação do princípio da sobreposição. • Decompor o vector M em dois vectores, segundo z e y, M z M cos M y M sin • Sobrepor, Mz y Myz x Iz Iy • Obtém-se, x 0 tg DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial M cos y M sin z Mz y M yz Iz Iy Iz Iy y Iz tg z Iy Resistência dos Materiais Exercício Resolvido 5 Um momento flector de 1600 lb.in é aplicado a uma viga de madeira de secção rectangular, num plano que forma um ângulo de 30º com a vertical. Determinar: (a) A tensão máxima na viga; (b) O ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais • Determinar a tensão máxima na viga. M z 1600lb in cos30 1386lb in M y 1600lb in sin 30 800lb in I z 121 1.5 in 3.5 in 5.359in 4 3 I y 121 3.5 in 1.5 in 0.9844in 4 3 1 2 M z y 1386lb in 1.75in 452.6 psi Iz 5.359in 4 M yz Iy 800lb in 0.75in 609.5 psi 0.9844in 4 • A maior tensão de tracção devida ao carregamento combinado ocorre em A. max 1 2 452 .6 609 .5 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial max 1062 psi Resistência dos Materiais • Determinar o ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal. Iz 5.359in4 tg tg tg 30 4 Iy 0.9844in 3.143 72.4o DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Caso Geral de Carga Excêntrica • A força excêntrica é equivalente a um sistema constituído por uma força centrada e dois momentos flectores. P forçacentrada M y Pa M z Pb • Aplicando o princípio da sobreposição, x P Mz y M yz A Iz Iy • Se x = 0, obtém-se a equação de uma recta, que representa a linha neutra da secção. My Mz P y z Iz Iy A DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial