CORREÇÃO – TERCEIRA AVALIAÇÃO – ÁLGEBRA MATRICIAL – 2014.1
1. Diga se verdadeiro ou falso, justificando a resposta:
(a). Uma matriz de ordem 4x4 com 13 elementos nulos pode ter determinante não nulo.
FALSO. Uma matriz de ordem 4x4 tem 16 elementos. Se 13 são nulos, então no máximo 3 podem
ser não nulos. Mesmo que eles estejam na diagonal principal, o posto da matriz não será quatro.
Portanto, se a matriz tem ordem 4x4 e seu posto é menor do que 4, então a matriz é singular, isto é,
seu determinante é nulo.
(b) Se A é uma matriz antissimétrica, então A é singular.
FALSO. Se A é antissimétrica então AT=-A. Portanto, det(AT)=det(-A). Por outro lado,
det(AT)=det(A). Daí det(A)=det(-A)=(-1)n.det(A). Se n par, a igualdade det(A)=(-1)n.det(A) é
verdadeira. Se n ímpar, a igualdade só será válida se det(A)=0, isto é, se A singular. Portanto,
dependendo do caso, uma matriz antissimétrica pode ter, ou não, inversa.
(c) Se A é não singular, então então det((A-1)n)=(det(A-1))n
VERDADEIRO. Basta observar que (A-1)n=(A-1).(A-1)...(A-1) e, portanto,
det((A-1)n)=det((A-1).(A-1)...(A-1))
como o determinante do produto é o produto dos determinantes, segue que
det((A-1)n)=det(A-1).det(A-1)...det(A-1)=(det(A-1))n
(d) É possível encontrar uma matriz A, não singular, de modo que det(A).det(A -1)=0
FALSO. Se A é não singular, então certamente det(A) diferente de zero. Como det(A -1)=1/det(A),
segue que o determinante da inversa também é não nulo. Logo, o produto det(A).det(A -1) jamais
poderia ser nulo.
2. Considere uma matriz quadrada A de ordem nxn onde n é um inteiro positivo qualquer.
Suponha que A é formada totalmente por zeros, exceto sua diagonal secudária.
(a) Qual o determinante de A quando n=3?
Considere que x,y,z são os elementos na diagonal principal, como na matriz abaixo.
Fazendo uma permuta de linhas, entre as linhas 1 e 3, teremos:
Esta segunda matriz, é do tipo diagonal (ou triangular). Como já
produto dos elementos da diagonal principal. Como foi feita 1
determinante muda 1 vez. Portanto, uma matriz de ordem 3x3
secundária não nula, tem como determinante -x.y.z onde x,y,z
sabemos, seu determinante é o
permuta de linhas, o sinal do
que possui apenas a diagonal
são os elementos da diagonal
secundária.
(b) Qual o determinante de A quando n=4?
Como no caso anterior, a matriz seria da seguinte forma:
Ao permutarmos as linhas 1 e 4, temos
E ao permutarmos as linhas 2 e 3,
Esta última matriz, como sabemos, tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal
principal e, para chegarmos a esta, precisamos realizar duas trocas de linhas na matriz original.
Portanto, o determinante da primeira matriz será
ou, simplesmente, o produto dos elementos da diagonal (secundária) x.y.z.w.
(c) O que podemos dizer sobre o determinante de A para valores maiores de n?
Vemos que para matrizes descritas nessa questão, o determinante será dado pelo produto dos
elementos da diagonal principal multiplicado por (-1) ou (+1) dependendo da ordem da matriz.
– Quando a ordem é 3, vimos que 1 troca de linha (1 é um número ímpar) seria suficiente para
a matriz ficar na forma triangular. Portanto, o determinante ficaria multiplicado por (-1);
– Quando a ordem é 4, 2 trocas de linhas (2 é par) são necessárias. Portanto, o determinante
ficaria multiplicado por (+1)=(-1).(-1);
– Quando a ordem é 5, também duas trocas de linhas são suficientes (2 é par) e o determinante
ficaria multiplicado por (+1).
– Quando a ordem é 6, três trocas de linhas seriam necessárias (3 é ímpar) e, assim, o
determinante seria multiplicado por (-1)=(-1).(-1).(-1).
Concluímos que o sinal que multiplica o produto dos elementos da diagonal secundária vai
depender da ordem da matriz. E essa dependência se dá da seguinte forma:
Se n/2 é um número inteiro, então o determinante será (-1)
diagonal secundária.
n/2
vezes o produto dos elementos da
Se n/2 não é um inteiro, então (n-1)/2 é inteiro e o determinante será (-1)
elementos da diagonal secundária.
(n-1)/2
vezes o produto dos
3. Karol tinha em mãos uma matriz A quadrada de ordem 6x6 e fez as seguintes manipulações
com a matriz:
–
–
–
–
Multiplicou a primeira linha por 2, a segunda linha por 1/2, a terceira por 3, a quarta
por 1/8, a quinta por 6 e a sexta linha por -1.
Depois fez as seguintes substituições:
L2 ← L2+L3+L1;
L4 ← L4+L5+L6.
Em seguida, fez as seguintes permutações:
L3 ↔ L5
L6 ↔ L1
Depois, multiplicou a matriz por 1/2 obtendo a matriz B.
Pergunta: sabendo que a matriz B tem determinante -18/256, qual o determinante da matriz
A?
–
Lembrando que o produto de linha por escalar, provoca uma alteração no determinante na
mesma proporção, isto é, esse também ficará multiplicado por tal escalar. Levando em conta
todos os produtos, o determinante ficará multiplicado por:
2.(1/2).3.(1/8).6.(-1)
–
–
A simples soma de linhas, não altera o determinante;
A permuta de linhas provoca mudança de sinal no determinante. Como foram realizadas 2
permutas, então o determinante mudará duas vezes de sinal, isto é,
(-1).(-1)=(+1)
–
Multiplicar a matriz inteira por um escalar, equivale a multiplicar todas as linhas por escalar.
Como são seis linhas, o determinante será multiplicado por
(1/2).(1/2).(1/2).(1/2).(1/2).(1/2)=(1/2)
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Portanto, para obter o determinante da matriz A, devemos dividir o determinante da matriz B pelas
operações indicadas acima, isto é:
4. Use Eliminação Gaussiana para calcular o determinante da matriz
sendo a,b,c os três primeiros dígitos do seu CPF, respectivamente.
O resultado vai depender dos dados de cada um. Para quem quiser conferir, acesse o site:
http://pt.numberempire.com/matrixcalculator.php