DETERMINANTES
Determinante de uma matriz
A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado
determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os
elementos da matriz.
Para representar o determinante de uma matriz A (indicado por det A),
substituímos os parênteses ou colchetes da matriz por barras simples:
A=
e det A =
 A = [4] e det A = |4|
A=
e det A =
Determinante de uma matriz de ordem 1
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1, A = (a11), é o
próprio elemento de A.
det A =|a11|= a11
Exemplos
a) A = (4)  det A = |4| = 4
b) B =
 det B = |
|=
Determinante de uma matriz de ordem 2
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2,
A=
, é a diferença entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
det A =
=
Exemplos
a) A =
b) B =
det A =
det B =
Determinante de uma matriz de ordem 3
Dada uma matriz A, quadrada de ordem 3, o determinante
de A pode ser calculado pela regra de Sarrus, conforme o
procedimento explicado a seguir.
Considere a matriz: A =
Determinante de uma matriz de ordem 3
Descrição do procedimento
1o) Ao lado da matriz, copiamse suas duas primeiras
colunas.
2o) Multiplicam-se os
elementos da diagonal
principal e, na mesma direção
dessa diagonal, multiplicam-se
os elementos de cada uma das
duas paralelas à sua direita.
Aplicação do procedimento
Determinante de uma matriz de ordem 3
Descrição do procedimento
Aplicação do procedimento
3o) Multiplicam-se os elementos
da diagonal secundária e, na
mesma direção dessa diagonal, os
elementos de cada uma das duas
paralelas à sua direita.
4o) O determinante da matriz
é obtido pela diferença entre
as somas dos produtos do
2o
e do 3o passo, nessa ordem.
det A = (a11a22a33 + a12a23a31 +
a13a21a32) – (a13a22a31 + a11a23a32 +
a12a21a33)
Exemplo
a) Considerando a matriz A =
, temos:
Assim:
det A = (10 – 8 + 0) – (–6 + 12 + 0) = –4
–6
12
0
10 –8
0
b) Considerando a matriz B =
, temos:
Assim:
–12 –72
54 –108 –18
24
det B = (–108 – 18 + 24) – (–12 –72 + 54) = –72
EXERCÍCIOS
1. Determinar x para que a igualdade a seguir seja verdadeira.
=0
Resolução
Pela regra de Sarrus:
–2x2 – 2x – 12 = 0
x2 – x – 6 = 0
x = 2 ou x = –3
–2x2 –2
6 –8
–x
3x
Assim, temos:
(–8 – x + 3) – (–2x2 – 2 + 6) = 0
Portanto, a igualdade
é verdadeira para:
x = 2 ou x = –3
ÁREA DE UM TRIANGULO
Dado um triângulo RST, com coordenadas cartesianas
dos vértices, pode-se calcular sua área por meio da fórmula:
ARST =
, em que D =
Nessa fórmula, |D| é o módulo do determinante de ordem 3 tal
que: a 1a coluna é formada pelas abscissas dos pontos, a 2a, pelas
ordenadas e a 3a por 1.
EXERCÍCIO
2. Determinar a área do triângulo RST, dados os pontos
R(–2, 2), S(4, 3) e T(5, –3).
Resolução
D=
= (–6 + 10 –12) – (15 + 6 + 8) = –37
ARST =
= 18,5
Logo, a área do triângulo é 18,5 unidades de área.
Determinante de uma matriz de ordem maior que 3
Cofator de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Chama-se cofator de
um elemento aij de A o número real
Aij = (–1)i + jDij, em que Dij é o determinante obtido da matriz A
quando se eliminam a linha e a coluna que contêm o elemento aij.
Exemplos
a) Seja A =
, Eliminando a 1a linha e a 2a coluna de A,
obtemos
A12 = (–1)1+2 ∙
. Logo, A12 = –7 é cofator do elemento a12.
Exemplos
b) Seja B =
Eliminando a 3a linha e a 4a coluna de B, obtemos
B34 = (–1)3+4 ∙
Logo, B34 = 108 é cofator do elemento b34.
Determinante de uma matriz de ordem maior que 3
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A, de ordem
n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos
de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos
respectivos cofatores.
Exemplo
A=
Escolhendo a 1a linha, temos:
det A = 1 ∙ A11 + 2 ∙ A12 + (–3) ∙ A13 + 0 ∙ A14
det A = 1 ∙ (–1)2 ∙
+ (–3) ∙ (–1)4 ∙
+ 2 ∙ (–1)2 ∙
+
+0∙
Não é necessário calcular A14, pois: 0 ∙ A14 = 0.
Portanto: det A = 1 ∙ 37 + 2 ∙ 48 – 3 ∙ 30 = 43
Ao aplicar o teorema, podemos optar por qualquer linha ou coluna que o
resultado será o mesmo, mas convém optar pela linha ou coluna que tiver
mais zeros.
EXERCÍCIOS
3. Calcular o determinante da matriz A =
Resolução
Vamos usar o teorema de Laplace para calcular o det A. Para isso, é
conveniente escolher a coluna 1 ou a coluna 4, pois elas têm a maior
quantidade de zeros. Escolhendo, por exemplo, a coluna 1:
det A = 1 ∙ (–1)3 ∙
det A = –40 + 52 = 12
+ (–1) ∙ (–1)5 ∙
Simplificação do cálculo de determinantes
1a propriedade: Fila nula
Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz
quadrada A forem nulos, então det A = 0.
A=
⇒
det A =
=0
2a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais
Se duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) de uma matriz
quadrada A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0.
A=
⇒ det A = 0
e A=
⇒ det A = 0
Simplificação do cálculo de determinantes
3a propriedade: Determinante da matriz transposta
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante
de sua transposta.
Tente para A =
4a propriedade: Produto de uma fila por uma constante
Em uma matriz quadrada, multiplicando todos os elementos de uma
fila por um mesmo número real k, o determinante da matriz obtida
fica multiplicado por k.
Tente para A =
Simplificação do cálculo de determinantes
5a propriedade: Troca de filas paralelas
Trocando de posição duas filas paralelas de uma matriz quadrada A,
o determinante da matriz obtida é o oposto do determinante de A.
Tente para A =
6a propriedade
Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal
principal de uma matriz quadrada A são nulos, o determinante de A é
igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Tente para A =
Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então
det (A ∙ B) = det(A) ∙ det(B)
Exemplo
Sendo A =
eB=
, temos:
det A = 10, det B = 6 e det A ∙ det B = 10 ∙ 6 = 60
A∙B=
=
, logo det (A ∙ B) = 13 ∙ 6 – 2 ∙ 9 = 60
Assim: det A ∙ det B = det (A ∙ B)