Matemática - 2008/09 - Determinantes
37
Determinantes
Determinantes de ordem 2 e 3.
O determinante de uma matriz quadrada é um número real obtido a partir da soma de determinados produtos de elementos da matriz. Vamos descrever como se calculam determinantes
de matrizes de ordem 2 e 3.
Ordem 2:
"
#
a11 a12
Se A =
; então o seu determinante é
a21 a22
Exemplo: det
"
1 2
3 4
#
det A = a11 a22
=1
4
2
3=
a12 a21
2
Ordem 3:
2
3
a11 a12 a13
6
7
Se A = 4 a21 a22 a23 5 ; então o seu determinante é
a31 a32 a33
det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
a11 a23 a32
a12 a21 a33
a13 a22 a31 :
Nota: Como se pode observar, o determinante de ordem três é uma soma de seis parcelas,
três afectadas do sinal positivo e três do sinal negativo. Cada parcela é o produto de três
entradas da matriz, situadas em linhas e colunas diferentes. Para calcular estes produtos e o
sinal de que são afectados, costuma utilizar-se uma regra prática, conhecida como regra de
Sarrus1 :
1- Repetem-se as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira:
2
3
a11 a12 a13
a11 a12
6
7
4 a21 a22 a23 5 a21 a22
a31 a32 a33
a31 a32
2 - Os produtos afectados com o sinal + obtêm-se multiplicando os elementos que se situam
ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte:
a11 a22 a33 ; a12 a23 a31 e a13 a21 a32
1
Pierre Frederic Sarrus (1798 - 1861) foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de
Sarrus foi provavelmente escrita no ano de 1833.
Matemática - 2008/09 - Determinantes
3 - Os produtos afectados com sinal
38
obtêm-se multiplicando os elementos que se situam
ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte:
a13 a22 a31 , a11 a23 a32 e a12 a21 a33
2
3
1 2 3
6
7
Exemplo: Cálculo do determinante da matriz 4 4 5 6 5
7 8 9
Parcelas com sinal + :
Parcelas com sinal
2
1 2 3
3
6
7
det 4 4 5 6 5 = 1
7 8 9
1
5
9; 2
6
7e3
4
8
3
5
7; 1
6
8e2
4
9
:
5
9+2
6
7+3
4
8
3
5
7
1
6
8
2
4
9=0
Determinantes de ordem maior que 3.
O cálculo de determinantes de ordem superior a três não se pode fazer directamente pois
envolve o cálculo de muitas parcelas (por exemplo, no caso de ordem 4 são 24 parcelas e no
de ordem 5, 120 parcelas). No entanto, quando muitas entradas da matriz são nulas também
muitas das parcelas se anulam o que pode facilitar o cálculo do determinante. Em particular,
no caso da matriz ser triangular (superior ou inferior), o determinante é apenas o produto
das entradas principais.
Como a forma de escada de uma matriz quadrada é uma matriz triangular, o método de
eliminação de Gauss fornece um método para o cálculo do determinante:
Começamos por ver o efeito de cada uma das operações elementares no determinante de uma
matriz:
Matemática - 2008/09 - Determinantes
39
Tipo I: Se a matriz B foi obtida da matriz A por troca de duas linhas, então
det (B) =
det (A).
2
0
6
Exemplo: det 4 3
2
1 5
3
7
6 9 5
6 1
2
3
6 9
6
det 4 0
=
"
L1 $ L 2
3
7
1 5 5
6 1
2
Tipo II: Se multiplicarmos uma linha da matriz por um número real diferente de zero então
multiplica-se o determinante pelo inverso desse
2
2
3
1
3
6 9
6
6
7
Exemplo: det 4 0
1 5 5 = 3 det 4 0
"
2
2
6 1
1
L
3 1
número.
3
2 3
7
1 5 5
6 1
Tipo III: Se adicionarmos a uma linha da matriz outra linha multiplicada por um número
real o determinante não se altera.
2
3
2
1
1
2 3
6
7
6
Exemplo: det 4 0
=
det 4 0
1 5 5
"
2
6 1
0
2L1 + L3
2
1
10
3
3
7
5 5
5
Cálculo do determinante através do método de eliminação
Vimos qual o efeito no determinante nas operações elementares nas linhas da matriz. Para
calcular o determinante de uma matriz começa-se por reduzir a matriz a uma forma de
escada, assinalando as alterações que ocorram no determinante. Como a forma de escada
de uma matriz quadrada é uma matriz triangular, o determinante desta obtém-se, como
foi referido atrás, multiplicando os elementos da diagonal principal. Este método pode ser
usado para matrizes de qualquer ordem, também de ordem dois ou três.
Exemplos:
1.
2
0
6
det 4 3
2
=
1 5
7
6 9 5
6 1
2
1
6
3 det 4 0
2
=
3
2
1
6
3 det 4 0
0
2
3
6 9
3
6
7
=
det 4 0
=
1 5 5
"
"
2
6 1
1
L
L1 $ L 2
L1
3 1
3
2
2 3
1
2
7
6
=
3 det 4 0
1 5 5
1
"
6 1
0 10
L3
2L1 + L3
3
2
3
7
1
5 5 = ( 3) ( 55) = 165
0
55
3
3
7
5 5
5
L3
=
"
10L2 + L3
Matemática - 2008/09 - Determinantes
40
2.
2
6
6
det 6
6
4
=
=
1
1
2
1
1
2
1
1
1 1
3
7
1 1 7
7
1 1 7
5
2 1
L2
=
"
2L1 + L2
L3
2
1
6
6 0
det 6
6 0
4
0
2
1
6
6 0
det 6
6 0
4
0
1
1
1
2
3
1
2
3
1
1
1
2
0
7
0
0
2
L1 + L3
6
6 0
det 6
6 0
4
0
L4
L1 + L2
3
1
7
2 7
7
=
1 7
"
5
0
L3
3L2 + L3
1
3
L4
7
2 7
7=
7 7
5
3
1
2L2 + L4
1
1
3
1
1
2
2
3
2
1
6
6 0
det 6
6 0
4
0
1
3
7
1 7
7
=
2 7
"
5
0 L 2 $ L3
1
1
1
2
0
7
0
7
1
3
7
2 7
7
7 7
5
4
L4
21
3.
2
1 2 3
3
7
6
det 4 4 5 6 5
7 8 9
=
"
L2
4L1 + L2
L3
2
1
6
= det 4 0
0
2
3
0
3
2
1
6
det 4 0
0
2
3
6
3
3
7
6 5
12
L3
=
"
2L2 + L3
7L1 + L3
3
7
6 5=1
0
3
0
No exemplo anterior o determinante deu 0; o que era de esperar pois este determinante já
tinha sido calculado na página 38. É fácil compreender que sempre que uma matriz tem
característica inferior à sua ordem o determinante é nulo, pois a forma de escada da matriz
tem, pelo menos, uma linha nula o que vai implicar que o produto dos elementos da diagonal
seja 0.
Propriedades: Seja A uma matriz de ordem n:
1. det A = det AT :
2. Se carA < n então det A = 0
3. Se A tem uma linha nula então det A = 0
4. Se A tem duas linhas iguais ou proporcionais, então det A = 0:
=
"
L3 + L 4
Matemática - 2008/09 - Determinantes
41
Outra caracterização da invertibilidade de uma matriz.
Vimos no capítulo de Sistemas de Equações Lineares que uma matriz quadrada A é invertível
se e só se a sua característica é igual à sua ordem. Acabámos de relacionar a característica
da matriz com a nulidade, ou não, do seu determinante. Vamos agora enunciar um novo
critério, baseado no determinante, para decidir a invertibilidade de uma matriz:
Teorema: Seja A uma matriz quadrada. A matriz A é invertível se e só se det (A) 6= 0:
Exemplos:
1. A matriz
"
2. A matriz
"
2
6
3. Seja A = 4
1
1
1
1
#
1
1
1
1
1
0
1
#
não é invertível porque det
é invertível porque det
3
3
7
3 5; ;
"
"
1
1
1
1
1
1
1
#
1
#
= 0:
= 2:
2 R. Pelo teorema anterior esta matriz é invertível
1
2
se e só se o seu determinante é diferente de 0.
Como
e
2
6
det 4
1
3
3
0
1
1
2
7
3 5=
6
= 0,
,
concluímos que A é invertível se
6= 0 e
6 , (veri…car)
= 0 ou
6= 6:
= 6;