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AULA 10 - POSIÇÃO RELATIVA DA MÉDIA, MEDIANA E MODA
Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. Porém, a
assimetria torna-as diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é a
assimetria. Assim, em uma distribuição em forma de sino, temos:
x = M d = M o , no caso de curva simétrica;
M o < M d < x , no caso da curva assimétrica positiva;
x < M d < M o , no caso da curva assimétrica negativa.
SEPARATRIZES
Como vimos, a mediana caracteriza uma série de valores devido à sua
posição central. No entanto, ela apresenta uma outra característica, tão importante
quanto a primeira: ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo
número de valores.
Assim além das medidas de posição que estudamos, há outras que,
consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão
ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam
em sua posição na série. Essas medidas – os quartis, os percentis e os decis –
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são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.
Quartis
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro
partes iguais.
Há, portanto, três quartis:
a) O primeiro quartil (Q1) – valor situado de tal modo na série que uma quarta
parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes
(75%) são maiores.
b) O segundo quartil (Q2) – evidentemente, coincide com a mediana (Q2 = Md).
c) O terceiro quartil (Q3) – valor situado de tal modo que as três quartas partes
(75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior.
Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis usamos a mesma
técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da mediana,
∑ f i por:
2
k∑ fi
4
sendo k o número de ordem do quartil.
Assim temos:
[
∑f
*
Q1 = l +
Q3 = l +
− F (ant )].h *
f*
[
*
4
i
3∑ f i
4
− F (ant )].h *
f*
Por exemplo, para a distribuição da TABELA 1 temos:
TABELA 1 – INDÚSTRIA DE BEBIDAS ALFA
ESTATURAS DOS FUNCIONÁRIOS – 2002
ESTATURAS (cm)
150 I----------- 154
154 I----------- 158
158 I----------- 162
162 I----------- 166
166 I----------- 170
170 I----------- 174
fi
4
9
11
8
5
3
Σ f i = 40
Fi
4
13 ← (Q1)
24
32 ← (Q3)
37
40
FONTE: Departamento Pessoal
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Primeiro Quartil
∑f
4
i
=
40
= 10
4
=
3.40
= 30
4
(10 − 4).4
Q1 = 154 +
= 156,7
9
Terceiro Quartil
3∑ f i
4
(30 − 24).4
Q3 = 162 +
= 165
8
Percentis
Denominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma série
em 100 partes iguais.
Indicamos por: P1, P2, P3, ..., P32, ..., P99
É evidente que:
P50 = Md, P25 = Q1 e P75 = Q3
O cálculo de um percentil segue a mesma técnica do cálculo da mediana,
∑ f i será substituída por:
porém, a fórmula
2
k∑ fi
100
onde k é o número de ordem do percentil.
Assim, temos:
[
Pk = l * +
k∑ fi
100
− F (ant )].h *
f*
Considerando a TABELA 1, temos, para o oitavo percentil:
k =8⇒
8∑ f i
100
=
8.40
= 3,2
100
Logo:
P8 = 150 +
(3,2 − 0).4
= 153,2
4
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Decis
Denominamos decis os nove valores que separam uma série em 10 partes
iguais.
Indicamos por: D1, D2, D3, ..., D9
É evidente que:
D5 = Md.
O cálculo de um decil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém,
∑ f i será substituída por:
a fórmula
2
k∑ fi
10
onde k é o número de ordem do decil.
Assim, temos:
[
*
Dk = l +
k ∑ fi
10
− F (ant )].h *
f*
OBS.: Construindo o polígono de frequência acumulada, percentual, podemos
determinar, geometricamente, as separatrizes.
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Exercícios de Aplicação
1. A pontuação nos testes de 15 empregados envolvidos em um curso de
treinamento está disposta a seguir. Obtenha os primeiro, segundo e terceiro quartis
da pontuação dos testes.
13, 9, 18, 15, 14, 21, 7, 10, 11, 20, 5, 18, 37, 16, 17
2. Para a distribuição seguinte dos pesos dos funcionários de uma indústria,
determine o terceiro e o sétimo decil.
PESOS (kg)
50 I--- 58
58 I--- 66
66 I--- 74
74 I--- 82
82 I--- 90
90 I--- 98
Nº DE OPERÁRIOS
10
15
25
24
16
10
3. Dada a distribuição relativa a 100 lançamentos de 5 moedas simultaneamente:
Nº de CARAS
0
1
2
3
4
5
fi
4
16
34
29
16
3
Determine o décimo terceiro e septuagésimo percentil.
4. Para a distribuição seguinte:
a) determine a média, moda e mediana e classifique a distribuição em simétrica,
assimétrica positiva ou assimétrica negativa.
b) determine o terceiro quartil, o sétimo decil e o trigésimo percentil:
CLASSES
fi
2 I--- 6
5
6 I--- 10
12
10 I--- 14
21
14 I--- 18
15
18 I--- 22
7
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