CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES
1 Olá pessoal!
Resolverei neste ponto a prova de Matemática e Estatística para Técnico
Administrativo para o BNDES 2008 organizado pela CESGRANRIO.
Sem mais delongas, vamos às questões.
01. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Aplicando-se
R$5.000,00 a juros compostos, à taxa nominal de 24% ao ano, com
capitalização bimestral, o montante, em reais, ao fim de 4 meses, será
(A) 5.400,00
(B) 5.405,00
(C) 5.408,00
(D) 6.272,00
(E) 6.275,00
Resolução
O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é
chamado de período de capitalização.
Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é bimestral, então os
juros são calculados em todos os bimestres e imediatamente incorporados ao
capital.
Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais
(no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo
“24% ao ano com capitalização bimestral” significa na realidade “4% ao
bimestre”, isto porque 24% dividido por 6 é igual a 4% (lembre-se que um ano é
composto por 6 bimestres).
A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao bimestre é
chamada de taxa efetiva.
Nas fórmulas de juros compostos sempre devemos utilizar as TAXAS
EFETIVAS. Lembre-se sempre disto!!
No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a
que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo,
uma taxa de 24% ao ano com capitalização bimestral é uma taxa nominal
porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos
juros é realizada bimestralmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por
bimestre e imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa é efetiva
quando o período a que a taxa se refere coincide como período de
capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao bimestre com capitalização
bimestral é uma taxa efetiva.
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2 Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a
seguinte fórmula básica:
· 1
M → montante (capital + juros).
C → Capital inicial aplicado.
i → taxa de juros
n → número de períodos.
Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 4
meses, então o número de períodos é igual a 2 bimestres.
Temos os seguintes dados no enunciado:
5.000
4% . .
0,04 . .
2
· 1
5.000 · 1
0,04
5.000 · 1,04
5.408,00
Letra C
02. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Considere que, em
uma empresa, há máquinas copiadoras do tipo A e do tipo B, nas seguintes
condições:
• 3 máquinas do tipo A, funcionando conjuntamente com 2 máquinas do tipo B,
produzem 13.920 cópias, ao todo, em meia hora;
• todas as máquinas do tipo A funcionam sob um mesmo regime constante;
• todas as máquinas do tipo B funcionam sob um mesmo regime constante,
40% maior do que o regime das máquinas do tipo A.
O número de cópias por minuto, nessa empresa, que uma máquina do tipo B
faz a mais do que uma máquina do tipo A é
(A) 38
(B) 36
(C) 34
(D) 32
(E) 30
Resolução
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3 3 máquinas do tipo A, funcionando conjuntamente com 2 máquinas do tipo B,
produzem 13.920 cópias, ao todo, em meia hora (30 minutos).
Para calcular o número de cópias produzidas pelas 3 máquinas do tipo A
conjuntamente com 2 máquinas do tipo B em um minuto, devemos dividir
13.920 cópias por 30.
13.920
464 ó
30
Vamos considerar que uma máquina do tipo A produz cópias em um minuto e
uma máquina do tipo B produz cópias em um minuto.
Como 3 máquinas do tipo A, funcionando conjuntamente com 2 máquinas do
tipo B, produzem 464 cópias, ao todo, em 1 minuto, podemos escrever:
3
2
464
Todas as máquinas do tipo B funcionam sob um mesmo regime constante,
40% maior do que o regime das máquinas do tipo A. Com isso, temos a
seguinte equação.
40%
0,4 ·
1,4 ·
Temos o seguinte sistema de equações.
3
Substituindo a expressão
1,4 ·
3
2
464
1,4 ·
na primeira equação, temos:
2 · 1,4 ·
3
2,8
5,8
464
464
464
464
5,8
Para efetuar esta divisão com números decimais devemos proceder da
seguinte maneira:
i)
Igualamos a quantidade de casas decimais e em seguida apagamos
as vírgulas.
464,0
5,8
4.640
58
80
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4 80
Isto quer dizer que a máquina A produz 80 cópias em um minuto.
1,4 ·
1,4 · 80 112
Portanto, a máquina B produz 112 cópias em um minuto.
Desta forma, o número de cópias por minuto, nessa empresa, que uma
máquina do tipo B faz a mais do que uma máquina do tipo A é 112 80 32.
Letra D
03. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A metade de um
capital C foi aplicada a juros compostos com taxa de 20% ao mês.
Simultaneamente, a outra metade foi aplicada a juros simples com taxa mensal
de i%. Ao final de dois meses, os montantes a juros simples e a juros
compostos foram somados e seu valor correspondia ao capital total C,
acrescido de 50%. Quantos são os divisores inteiros positivos de i ?
(A) 6
(B) 5
(C) 4
(D) 2
(E) 1
Resolução
Para facilitar os cálculos, vamos considerar que o capital aplicado foi igual a
R$ 100,00.
100,00
Temos duas aplicações:
i)
A metade de um capital C foi aplicada a juros compostos com taxa
de 20% ao mês durante dois meses.
A metade do capital é igual a R$ 50,00.
· 1
50 · 1
50 · 1,2
ii)
20%
72
A outra metade foi aplicada a juros simples com taxa mensal de i%
durante 2 meses.
O juro simples é calculado da seguinte maneira:
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5 É importante notar que deve haver conformidade entre a unidade da taxa e a
unidade de tempo.
50 · % · 2
100 · %
100 ·
100
Por definição, o montante é a soma do capital aplicado com os juros auferidos
no período. Desta forma, o montante simples é igual a 50
.
Ao final de dois meses, os montantes a juros simples e a juros compostos
foram somados e seu valor correspondia ao capital total C, acrescido de 50%.
Como estamos supondo que o capital aplicado é igual a R$ 100,00, então os
montantes somados resultam R$ 150,00.
150
72
50
150
122
150
28
Os divisores positivos de 28 são: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
O número possui 6 divisores positivos.
Letra A
04. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Uma seqüência de
números (a1, a2, a3,...) é tal que a soma dos n primeiros termos é dada pela
expressão Sn = 3n2 + n. O valor do 51o termo é
(A) 300
(B) 301
(C) 302
(D) 303
(E) 304
Resolução
A expressão
Por exemplo,
significa a soma dos n primeiros termos.
.
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6 Analogamente,
temos:
. Aplicando a lei de formação, substituindo
por 1,
3
3·1
1
3·1
1
4
Concluímos que o primeiro termo da sequência é o número 4.
Vamos agora substituir n por 2.
3·2
2
14
14 4
14
10
O segundo termo da sequência é igual a 10.
Vamos agora substituir n por 3.
3·3
3
30
30
4
10
30
14
30
16
Os primeiros termos da sequência são:
4,10,16, …
Trata-se de uma progressão aritmética de razão 6 (isto porque a diferença
entre termos consecutivos é igual a 6).
Para calcular o 51º termo, devemos aplicar a fórmula do termo geral de uma
progressão aritmética.
1 ·
Como queremos calcular o 51º termo, devemos substituir n por 51.
51
4
1 ·
50 · 6
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7 304
Letra E
05. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Dois meses antes do
seu vencimento, um título de valor nominal N sofrerá desconto. Se o desconto
for racional composto e a taxa utilizada for de 20% ao mês, o valor do desconto
será igual a d. Se o desconto for comercial composto, qual deverá ser a taxa
mensal de desconto para que o valor do desconto seja o mesmo?
(A) 83,3%
(B) 69,1%
(C) 42,8%
(D) 20,0%
(E) 16,7%
Resolução
Existe uma fórmula muito interessante que é empregada em questões que
relacionam duas taxas de desconto composto (racional e comercial) de forma
que o valor do desconto seja o mesmo nas duas modalidades.
A fórmula é a seguinte:
1
1
1
é a taxa do desconto comercial composto e
Onde
racional composto.
é a taxa do desconto
A taxa do desconto racional composto é igual a 20% = 0,2, ou seja,
1
1
0,2
1
5
1
1
6
1
1
6
0,166666 … .
16,7%
Letra E
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8 Considere os dados a seguir para responder às questões de nos 06 e 07.
Em uma amostra de cinco residências de uma determinada rua, registram-se
os seguintes números de moradores em cada uma:
06. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A variância amostral
é
(A) 5,8
(B) 5,5
(C) 5,1
(D) 4,8
(E) 4,4
Resolução
Suponhamos que desejamos conhecer alguma coisa sobre determinada
população – por exemplo, a média salarial, a variância das alturas, o percentual
de intenções de voto para um determinado candidato - e essa população é
composta de milhares (talvez milhões) de elementos, de tal modo que seria
muito difícil pesquisar o valor correto, pois seria inviável pesquisar todos os
elementos. Nesse caso, temo de recorrer aos valores encontrados em uma
amostra!!
Seja qual for o caso, o fato é que, em muitas situações, precisamos obter as
informações de uma amostra. O valor da população, chamado de parâmetro
populacional, é desconhecido. O que é possível de se obter é um valor da
amostra, que supostamente nos dá uma ideia do valor correto (populacional)
do parâmetro. Esse valor amostral é chamado de estimador do parâmetro
populacional. Por exemplo, queremos saber a média de idade dos estudantes
do Ponto dos Concursos. Como há muitos estudantes, recorremos a uma
amostra de, digamos 150 alunos. A média da amostra encontrada foi de 24
anos. Essa é a nossa estimativa! Mas a média de idade dos estudantes do
Ponto dos Concursos é realmente 24 anos? Não dá para saber, a não ser
que todos os estudantes do Ponto fossem pesquisados.
Portanto, são coisas diferentes o parâmetro populacional e o estimador e,
portanto, devem ser representados de maneiras diferentes, por exemplo:
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9 X = média amostral (estimador )
μ = média populacional (parâmetro populacional )
E não é só uma diferença de valores!! O parâmetro populacional é, em geral,
um valor fixo. O estimador depende da amostra.
A principal propriedade desejável de um estimador é a de que esse estimador,
na média, acerte o valor correto. Ou seja, se pudéssemos repetir a experiência
infinitas vezes, o valor médio das estimativas encontradas em cada
experimento seria o valor correto do parâmetro populacional.
A esperança do estimador deve ser o parâmetro populacional. Se isso ocorre,
dizemos que o estimador é não viesado. Se, entretanto, o estimador erra, em
média, dizemos que ele é viesado.
s
2
∑ ( x − x)
=
i
n −1
2
é um estimador não viciado (não viesado) da variância.
Voltemos agora à nossa questão.
X1 X2 X3 X4 X5
3
6
2
7
2
Queremos calcular a variância dessa amostra.
Primeiramente calculemos a média dessa amostra.
3
6
2
5
7
2
4
Calculemos agora os quadrados dos desvios dos valores da amostra em
relação à média.
3
6
2
7
( x − x)
xi − x
xi
3
6
2
7
4
4
4
4
2
i
1
2
2
3
1
2
1
4
4
2
3
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10 2
2
4
2
2
4
Assim, a variância amostral é dada por:
∑
1
1
4
4
5
9
4
1
22
4
5,5
Letra B
07. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Seja X a variável que
corresponde ao número de moradores em cada uma das 5 residências. Qual o
gráfico da função de distribuição acumulada de X ?
Resolução
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11 São 5 casas. Vamos construir a distribuição de probabilidades.
2 casas possuem 2 moradores. Portanto, 40% das casas possuem 2
moradores (40% foi obtido dividindo 2 por 5).
1 casa possui 3 moradores. Portanto, 20% das casas possuem 3 moradores
(20% foi obtido dividindo 1 por 5).
1 casa possui 6 moradores. Portanto, 20% das casas possuem 6 moradores
(20% foi obtido dividindo 1 por 5).
1 casa possui 7 moradores. Portanto, 20% das casas possuem 7 moradores
(20% foi obtido dividindo 1 por 5).
2
3
6
7
0,4
0,2
0,2
0,2
A função de distribuição acumulada de X é definida da seguinte maneira:
Temos então:
2
3
6
7
3
6
7
2
2
2
2
2
3
3
3
6
0,4
0,4
6
0,4
7
0,4
Com esses resultados podemos escrever:
0
0,4 2
0,6 3
0,8 6
1,0
2
3
6
7
7
O gráfico de F(x) é:
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0,2
0,2
0,6
0,2
0,2
0,8
0,2
1,0
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12 Letra A
Leia a tabela a seguir para responder às questões de nos 08 a 10.
08. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Considerando-se
que uma pessoa será escolhida ao acaso, qual a probabilidade de que a sua
idade esteja entre 28 e 36 anos, dado que a pessoa escolhida terá 24 anos ou
mais?
(A) 11/40
(B) 13/32
(C) 19/40
(D) 19/32
(E) 29/40
Resolução
O primeiro passo é calcular a coluna de frequências absolutas. Para isto,
repetimos a primeira frequência acumulada e calculamos as diferenças entre
as frequências acumuladas consecutivas.
Idades (anos)
20 24
24 28
28 32
32 36
36 40
Frequência Acumulada
20
52
78
90
100
Frequência Absoluta
20
52 20 32
78 52 26
90 78 12
100 90 10
A tabela ficará assim:
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13 Idades (anos)
20 24
24 28
28 32
32 36
36 40
Frequência Absoluta
20
32
26
12
10
O total de pessoas com idade entre 28 e 36 anos é igual a 26
somar as frequências da terceira e da quarta classe).
12
38 (basta
Como a pessoa escolhida tem 24 anos ou mais, então estamos considerando
um universo de 32 26 12 10 80 pessoas.
A probabilidade de que a sua idade esteja entre 28 e 36 anos, dado que a
pessoa escolhida terá 24 anos ou mais é igual a:
38
80
19
40
Letra C
09. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Sejam
e md,
respectivamente, a média e a mediana das idades. O valor de – md é
(A) 0,80
(B) 0,75
(C) 0,70
(D) 0,65
(E) 0,60
Resolução
Na questão 08, construímos a seguinte tabela.
Idades (anos)
20 24
24 28
28 32
32 36
36 40
Frequência Absoluta
20
32
26
12
10
Para calcular a média aritmética de uma distribuição de frequências,
convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado
intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio.
Abriremos inicialmente uma coluna para os pontos médios das classes
(xi) e em seguida multiplicaremos esses valores pelas suas respectivas
frequências.
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14 O ponto médio é a média aritmética dos extremos da classe. Por exemplo, o
22.
ponto médio da primeira classe é
Idades (anos)
20 24
24 28
28 32
32 36
36 40
Frequência Absoluta
20
32
26
12
10
22
26
30
34
38
20 x 22 = 440
32 x 26 = 832
26 x 30 = 780
12 x 34 = 408
10 x 38 = 380
Basta-nos agora somar os valores da coluna xi fi e dividir pela quantidade de
observações (o somatório das frequências absolutas é igual a 100).
440
832
780
100
408
380
28,40
A mediana é outra medida de posição definida como número que se encontra
no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma
ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados
segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto
que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
No cálculo da mediana em uma distribuição de frequência não teremos a
preocupação de determinarmos se o número de elementos é par ou ímpar. Os
passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão:
i) Descobrir a classe mediana.
ii) Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de frequências.
n
. Em
2
seguida comparamos esse valor com os valores da frequência absoluta
acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequência acumulada seja
n
maior ou igual ao valor de .
2
Para determinarmos a classe mediana, deveremos calcular o valor
Como são 100 pessoas, então /2
50.
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15 Para determinar a classe mediana, devemos comparar cada uma das
frequências acumuladas com o valor 50. Quando encontrarmos o primeiro valor
que for maior ou igual a 50 teremos determinado a classe mediana.
Classe mediana
(52 > 50)
Estamos prontos para aplicarmos a fórmula da mediana.
⎡n
⎢ 2 − facANT
Md = linf + ⎢
fi
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥⋅h
⎥
⎦
Precisaremos dos seguintes valores:
24).
Æ Limite inferior da classe mediana (
Æ /2
50
ÆFrequência acumulada da classe anterior à classe mediana (
Æ Frequência absoluta da classe mediana (
Æ Amplitude da classe mediana (
28
24
52
20
4)
A mediana é dada por:
www.pontodosconcursos.com.br 32)
20).
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16 2
50
24
24
·
20
32
30
·4
32
·4
27,75
Desta forma:
28,40
27,75
0,65
Letra D
10. (Técnico Administrativo BNDES
interquartil é, aproximadamente,
(A) 6,3
(B) 6,5
(C) 6,7
(D) 6,9
(E) 7,1
2008/CESGRANRIO)
A
distância
Resolução
A distância interquartil é igual à diferença entre o terceiro quartil e o
primeiro quartil.
O método para calcular os quartis (e as outras medidas separatrizes como
decis, percentis) é muito parecido com o da mediana.
Diferença: ao invés de calcularmos o valor
n
calcularemos
2
(se for o primeiro
3n
(se for o terceiro quartil). O denominador é igual a 4 porque
4
trata-se de um quartil (dividimos a distribuição em quatros partes). O
numerador é 1n porque estamos calculando o primeiro quartil ou 3n porque
estamos calculando o terceiro quartil.
quartil) ou
Para calcular a classe do primeiro quartil deveremos procurar a frequência
acumulada que é maior ou igual n/4. A fórmula do primeiro quartil ficará
4
·
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17 E para calcular a classe do terceiro quartil deveremos procurar a frequência
3n
acumulada que é maior ou igual a
. A fórmula do terceiro quartil ficará
4
⎡ 3n
⎢ − fac ANT
Q3 = linf + ⎢ 4
fi
⎢
⎣
i)
⎤
⎥
⎥⋅h
⎥
⎦
Cálculo do primeiro quartil
Como são 100 pessoas, então n/4 = 25.
Devemos comparar cada uma das frequências acumuladas com o valor 25.
Quando encontrarmos o primeiro valor que for maior ou igual a 25 teremos
determinado a classe do primeiro quartil.
Classe do primeiro
quartil
(52 >25)
Estamos prontos para aplicarmos a fórmula do primeiro quartil.
4
·
Precisaremos dos seguintes valores:
24).
Æ Limite inferior da classe do primeiro quartil (
Æ /4
25
ÆFrequência acumulada da classe anterior à classe do primeiro quartil
(
20).
Æ Frequência absoluta da classe do primeiro quartil (
Æ Amplitude da classe do primeiro quartil (
28
24
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4)
20
32)
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18 O primeiro quartil é dado por:
4
24
24
ii)
·
25
20
32
5
·4
32
·4
24,625
Cálculo do terceiro quartil
Como são 100 pessoas, então 3n/4 = 75.
Devemos comparar cada uma das frequências acumuladas com o valor 75.
Quando encontrarmos o primeiro valor que for maior ou igual a 75 teremos
determinado a classe do terceiro quartil.
Classe do primeiro
quartil
(78 >75)
Estamos prontos para aplicarmos a fórmula do terceiro quartil.
3
4
·
Precisaremos dos seguintes valores:
Æ Limite inferior da classe do terceiro quartil (
Æ3 /4
28).
75
ÆFrequência acumulada da classe anterior à classe do terceiro quartil
(
52).
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19 Æ Frequência absoluta da classe do terceiro quartil (
28
Æ Amplitude da classe do terceiro quartil (
24
78
52
26)
4)
O terceiro quartil é dado por:
3
4
28
28
·
75
52
26
23
·4
26
·4
31,538
Desta forma, a distância interquartil é aproximadamente:
31,538
24,625
6,913
Letra D
11. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A tabela a seguir
apresenta dados sobre a evolução de preços e quantidades de dois produtos,
em dois anos consecutivos.
Com base nos dados apresentados, em relação ao nível de preços dos dois
produtos, os índices de Paasche e de Laspeyres, respectivamente, indicam
(A) a sua manutenção e uma redução de 12%.
(B) a sua manutenção e um aumento de 12%.
(C) uma redução de 12% e um aumento de 12%.
(D) uma redução de 12% e a sua manutenção.
(E) um aumento de 12% e a sua manutenção.
Resolução
Um número índice é uma medida estatística idealizada para mostrar as
variações de uma variável, ou de um grupo de variáveis, correlacionadas ao
tempo ou a outras características.
Vamos considerar:
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20 ç
ç
é
é
á
é
é
á
O índice de Paasche é também chamado de Método do Ano Determinado.
Tem-se uma ponderação dos produtos em função dos preços ou quantidades
no ano dado.
O índice de preço de Paasche é dado por:
∑
∑
∑
∑
·
·
40 · 6
30 · 6
·
·
20 · 12
25 · 12
240
180
240
300
480
480
1
O índice de Laspeyres é também chamado de Método do Ano Base. Tem-se
uma ponderação dos produtos em função dos preços ou quantidades no ano
base.
O índice de preço de Laspeyres é dado por:
∑
∑
∑
∑
·
·
40 · 10
30 · 10
20 · 8
25 · 8
·
·
400
300
160
200
560
500
1,12
Como o índice de Paasche é igual a 1 100% e o índice de Laspeyres é igual
a 1,12 1 0,12 100% 12%, concluímos que o índice de Paasche indica a
manutenção e o índice de Laspeyres indica um aumento de 12% no nível de
preços.
Letra B
12. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Considere a
seqüência de figuras apresentada a seguir.
Essa seqüência de figuras segue o padrão lógico de um sistema de
numeração. De acordo com esse padrão, a próxima figura será
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21 Resolução
O padrão lógico segue o sistema de numeração de base 3.
Como assim?
As figuras funcionam como um ábaco. Lembram do ábaco? Aquele instrumento
que as crianças utilizam para aprender a contar. Peguei uma figura de um
ábaco no Google.
Como o nosso sistema de numeração é o de base 10, este ábaco possui em
cada linha 10 peças.
E como funciona este ábaco?
Uma peça vermelha vale 10 peças azuis. Uma peça amarela vale 10 peças
vermelhas. Uma peça verde vale 10 peças amarelas. E finalmente, 1 peça azul
clara, vale 10 peças verdes.
O ábaco utilizado na questão possui 3 peças em cada linha. Isto significa que
uma peça da linha do meio vale 3 peças da linha inferior. Uma peça da linha
superior vale 3 peças da linha intermediária.
Resumindo: cada peça na linha inferior vale 1, cada peça na linha intermediária
vale 3 e cada peça na linha superior vale 9.
Zero
Um
Dois
Poderíamos agora colocar 3 peças na linha inferior. Mas como uma peça da
linha do meio vale por 3 peças da linha inferior, a próxima figura é a seguinte.
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22 Três
3+1=4
3+1+1=5
3+3=6.
3+3+1=7
3+3+1+1=8
O próximo número a ser representado é o número 9. Como cada peça na linha
superior vale 9, colocaremos apenas uma peça na linha superior.
A resposta é:
Um abraço e até o próximo ponto.
Prof. Guilherme Neves
[email protected]
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