Medida de Tendência
Central
um valor no
centro ou no meio
de um conjunto de dados
1
Definições
Média
(Média Aritmética)
o número obtido somando-se todos os
valores de um conjunto de dados,
dividindo-se pelo total de elementos deste
conjunto de dados.
2
Notação
Σ
denota somatório de um conjunto de valores.
x
é a variável usada para representar valores
individuais dos dados
n
representa o número de valores em uma
amostra
N
representa o número de todos os valores de
uma população.
3
Notação
x pronuncia-se
‘x-barra’ e denota a média de um
conjunto de valores amostrais
x =
Σx
n
µ
(minúscula grega ‘mu’) e denota a média de todos os
valores de uma população
µ =
Σx
N
Calculadoras fornecem a média dos dados
4
Definições
™ Mediana
valor do meio de um conjunto de
valores, quando estes estão dispostos
em ordem crescente (ou decrescente).
™ geralmente denotada por x~
(lê-se ‘x-til’)
™ não é afetada por valores extremos
5
6,72
3,46
3,60
6,44
3,46
3,60
6,44
6,72
(número par de valores)
não há um meio exato -- média de dois valores
3.60 + 6.44
MEDIANA é 5,02
2
6,72
3,46
3,60
6,44
26,70
3,46
3,60
6,44
6,72
26,70
(número ímpar de valores)
há um meio exato
MEDIANA é 6,44
6
Definições
™ Moda
o valor que ocorre mais freqüentemente
Bimodal
Multimodal
Amodal
denotada por M
É a única medida de tendência central que pode ser
usada com dados nominais
7
Exemplos
a. 5 5 5 3 1 5 1 4 3 5
Õ Moda é 5
b. 1 2 2 2 3 4 5 6 6 6 7 9
Õ Bimodal -
c. 1 2 3 6 7 8 9 10
Õ Amodal
2e6
8
Definições
™ Ponto médio
o valor que está a meio caminho entre o
maior e o menor valor do conjunto de
dados.
Ponto médio=
maior valor + menor valor
2
9
Média de uma Tabela de Freqüências
usar pontos médios das classes da variável x
Σ (f • x)
x =
Σf
Formula 2-2
x = ponto médio da classe
f = freqüência
Σf=n
10
Média Ponderada
Σ (w • x)
x =
Σw
11
Melhor Medida de
Tendência Central
Vantagens - Desvantagens
Tabela 2-13
12
Definições
™ Simétrica
Dados são simétricos se a metade
esquerda de seu histograma é
aproximadamente a imagem-espelho da
metade direita.
™ Assimétrica
Uma distribuição de dados é assimétrica
quando não é simétrica.
13
Assimetria
Moda
=
Média
=
Mediana
SIMÉTRICA
Média
Moda
Mediana
ASSIMÉTRICA À DIREITA
(negativamente)
Média
Moda
Mediana
ASSIMÉTRICA À ESQUERDA
(positivamente)
14
Tempo de Espera de Clientes
em Diferentes Bancos
em minutos
Banco A
6,5
6,6
6,7
6,8
7,1
7,3
7,4
7,7
7,7
7,7
Banco B
4,2
5,4
5,8
6,2
6,7
7,7
7,7
8,5
9,3
10,0
15
Tempo de Espera de Clientes
em Diferentes Bancos
em minutos
Banco A
6,5
6,6
6,7
6,8
7,1
7,3
7,4
7,7
7,7
7,7
Banco B
4,2
5,4
5,8
6,2
6,7
7,7
7,7
8,5
9,3
10,0
Banco A
Banco B
Média
7.15
7,15
Mediana
7.20
7,20
Moda
7.7
7,7
Ponto médio
7.10
7,10
16
Dotplots of Waiting Times
Figura 2-1a
17
Medidas de Variação
18
Medidas de Variação
Amplitude
maior
valor
menor
valor
19
Medidas de Variação
Desvio-padrão
uma medida de variação dos valores
em relação à média
(desvio médio em relação à média)
20
Fórmula do Desvio-padrão
Amostral
S=
Σ (x - x)
n-1
2
Fórmula 2-4
Calculadoras fornecem o desviopadrão amostral
21
Desvio-padrão Amostral
Fórmula Abreviada
s=
n (Σx ) - (Σx)
n (n - 1)
2
2
Fórmula 2-5
Calculadoras fornecem o desviopadrão amostral
22
Fórmula do Desvio Absoluto
Médio
Σ x-x
n
23
Desvio-padrão Populacional
σ =
Σ (x - µ)
2
N
Calculadoras fornecem o desviopadrão amostral
24
Medidas de Variação
Variância
Desvio-padrão ao quadrado
}
Notação
s
2
σ
2
25
Variância
2
s =
σ
2
=
Σ (x - x )
2
n-1
Σ (x - µ)
N
2
Variância
amostral
Variância
populacional
26
Desvio-padrão de uma Tabela
de Freqüências
Fórmula 2-6
n [Σ(f • x 2)] -[Σ(f • x)]2
S=
n (n - 1)
Usar os pontos médios de classe como os valores x
27
Regra Prática
(desvio-padrão em termos de amplitude
x - 2s
x
x + 2s
(máximo valor)
(mínimo valor)
Amplitude ≈ 4s
s≈
Amplitude
4
maior valor - menor valor
=
4
28
Valores Amostrais
Usuais
valor mínimo “usual” ≈ (média) - 2 (desvio-padrão)
mínimo ≈ x - 2(s)
valor máximo “usual” ≈ (média) + 2 (desvio-padrão)
máximo ≈ x + 2(s)
29
FIGURA 2-15
Regra Empírica
(aplicada a distribuições em forma de sino)
99.7% dos dados estão dentro de 3 desvios-padrão
a contar da média
95% estão
dentro de 2 desvios-padrão
68% estão
dentro de 1 desvio-padrão
34%
34%
2.4%
2.4%
0.1%
0.1%
13.5%
x - 3s
x - 2s
13.5%
x-s
x
x+s
x + 2s
x + 3s
30
Teorema de Chebyshev
™ aplica-se a distribuições com qualquer forma.
™ a proporção (ou fração) de qualquer conjunto de dados a
menos de K desvios-padrão a contar da média é sempre
2
pelo menos 1 - 1/K , onde K é um número positivo maior
do que 1.
™ pelo menos 3/4 (75%) de todos os valores estão no
intervalo que vai de 2 desvios-padrão abaixo da média a
2 desvios-padrão acima da média.
™ pelo menos 8/9 (89%) de todos os valores estão no
intervalo que vai de 3 desvios-padrão abaixo da média
até 3 desvios-padrão acima da média.
31
Medidas de Variação
Dado Isolado
Para um conjunto de valores típico, é raro
um valor do mesmo diferir da média mais
de 2 ou 3 desvios-padrão.
32
Medidas de Posição
1
Medidas de Posição
™ Escores z
(ou escore padronizado)
é o número de desvios-padrão pelo
qual um dado valor x dista da média
(para mais ou para menos)
2
Medidas de Posição
escore z
Amostra
População
x
x
z= s
x
µ
z=
σ
Arredondar para 2 casas decimais
3
FIGURA 2-16
Interpretando Escores Z
Valores
Incomuns
-3
Valores
Usuais
-2
-1
0
Valores
Incomuns
1
2
3
Z
4
Medidas de Posição
Quartis, Decis,
Percentis
5
Quartis
Q1, Q2, Q3
dividem as observações ordenadas
em quatro partes iguais
25%
(mínimo)
25%
25% 25%
Q1 Q2 Q3
(máximo)
(mediana)
6
Decis
D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9
dividem os dados ordenados em dez partes
iguais
10% 10% 10%
D1
D2
D3
10% 10% 10%
D4
D5
10% 10% 10% 10%
D6
D7
D8
D9
7
Percentis
P1, P2, P3, P4, ..., P98, D99
dividem os dados ordenados em cem
partes iguais
8
Quartis, Decis, Percentis
Fractis
(Quantis)
dividem os dados em partes aproximadamente iguais
9
Determinação do Percentil
de um dado valor de x
Percentil do valor x =
número de valores inferiores a x
• 100
Número total de valores
10
Determinação do valor referente
a um dado percentil
L=
k
100
•n
n
k
L
Pk
total de valores no conjunto de dados
percentil a ser utilizado
indicador que dá a posição de um escore
k-ésimo percentil
11
Início
Ordenar os dados.
(do menor para o
maior.)
Calcular
L= k
100
(
)n
Determinação do kmo
Percentil
onde
n = número de valores
k = percentil desejado
L é
um número
inteiro?
Sim
Não
O valor do kmo percentil está a
meio caminho entre o Lmo valor e o
próximo valor mais alto no
conjunto original de dados.
Obtém-se Pk somando-se o Lmo
valor ao próximo valor mais alto e
dividindo-se o resultado por 2.
Modificar L, arredondando
seu valor para o maior
inteiro mais próximo.
O valor de Pk é o Lmo
valor a contar do
mais baixo.
Figura 2-17
12
Quartis
Q1 = P25
Q2 = P50
Q3 = P75
Decis
D1 = P10
D2 = P20
D3 = P30
•
•
•
D9 = P90
13
Intervalo Interquartil: Q3 - Q1
Q
Q
3
1
Intervalo Semi-interquartil:
2
Quartil Médio: Q1 + Q3
2
Amplitude de percentis 10-90: P90 - P10
14