Curso Wellington – Matemática – Inequações - Matrizes – Prof Hilton Franco
1.
O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de um determinado ecossistema.
As setas indicam a espécie de que a outra espécie se alimenta.
Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de outra e zero, quando ocorre o contrário,
tem-se a seguinte tabela:
Urso
Esquilo
Inseto
Planta
Urso
0
0
0
0
Esquilo
1
0
0
0
Inseto
1
1
0
0
Planta
1
1
1
0
A matriz A = (aij )4x4 , associada à tabela, possui a seguinte lei de formação:
0, se i ≤ j
1, se i > j
a) aij = 
0, se i = j
1, se i ≠ j
b) aij = 
0, se i ≥ j
1, se i < j
c) aij = 
0, se i ≠ j
1, se i = j
d) aij = 
0, se i < j
1, se i > j
e) aij = 
 a b
2. É dada a matriz A = 
 , onde a e b são números reais. Se
 −b a 
o determinante de A é igual a
a) 3b + 4a.
b) 2b² + a².
c) b² + 5.
d) 5a + 2.
e) 5a.
 0 1  a   2 

 .   =   , então
 3 5   b   22 
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3. O fluxo de veículos que circulam pelas ruas de mão dupla 1, 2 e 3 é controlado por um
semáforo, de tal modo que, cada vez que sinaliza a passagem de veículos, é possível que
 0 90 36 


passem até 12 carros, por minuto, de uma rua para outra. Na matriz S =  90 0 75  cada
 36 75 0 


S
termo ij indica o tempo, em segundos, que o semáforo fica aberto, num período de 2 minutos,
para que haja o fluxo da rua i para a rua j.
Então, o número máximo de automóveis que podem passar da rua 2 para a rua 3, das 8h às
10h de um mesmo dia, é
a) 432
b) 576
c) 900
d) 1080
e) 1100
4. Considere as afirmações abaixo:
I) Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não nula e não inversível, então existe matriz
não nula N, de mesma ordem, tal que M N é matriz nula.
II) Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que det (M2 – M) = 0, então existe
matriz não nula X, de ordem n x 1, tal que MX = X.
−senθ 
 cos θ

 é inversível, ∀θ ≠ π + kπ, k ∈ ¢ .
III) A matriz tgθ
2 θ

2
1 − 2sen
 sec θ
2 
Destas, é(são) verdadeira(s)
a) apenas II.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) todas.
5. Os alunos de uma classe foram consultados sobre quatro possibilidades diferentes de
horário para o exame final da disciplina (possibilidades A, B, C e D ). Cada aluno ordenou sua
preferência da 1.ª à 4.ª escolha (a 1.ª é a mais desejada, e a 4.ª a menos desejada). A
apuração dos resultados dessa consulta mostrou que foram escolhidas apenas 9 ordenações
diferentes, dentre as 24 possíveis. A tabela indica os resultados da consulta com os dados
agrupados.
Número de votos
1ª escolha
2ª escolha
3ª escolha
4ª escolha
3
A
B
C
D
4
A
B
D
C
7
A
C
B
D
8
B
C
D
A
2
B
A
C
D
5
B
C
A
D
8
C
D
B
A
2
C
A
D
B
11
D
C
A
B
Exemplo: do total de 50 alunos, 3 preferem A à B, B à C e C à D (primeira coluna da
tabela).
a) Usando os dados da tabela, determine o horário vencedor, e com que porcentagem de
votos, em uma eleição majoritária simples.
Definição: eleição majoritária simples é aquela em que se leva em consideração apenas a
1.ª escolha de cada eleitor.
b) Admita, agora, que são atribuídos peso quatro (4 pontos) à 1.ª escolha de cada aluno, três (3
pontos) à 2.ª escolha, dois (2 pontos) à 3.ª escolha e um (1 ponto) à 4.ª escolha.
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Dada a matriz V1x9 = [ 3 4 7 8 2 5 8 2 11] , determine a matriz P9x4 de forma que
V1x9 ⋅ P9x4 resulte a matriz T1x4 = [ A B C D] do total de pontos dos horários A, B, C e D.
Em seguida, ordene a classificação dos quatro horários, do que obteve mais pontos para o
que obteve menos pontos.
6. Determine todas as matrizes M ∈ M2 X2 ( ¡ ) tais que MN = NM, ∀N ∈ M2 x2 ( ¡
)
7. Uma indústria utiliza borracha, couro e tecido para fazer três modelos de sapatos. A matriz
Q fornece a quantidade de cada componente na fabricação dos modelos de sapatos, enquanto
a matriz C fornece o custo unitário, em reais, destes componentes.
A matriz V que fornece o custo final, em reais, dos três modelos de sapatos é dada por:
 110 


a) V =  120 
 80 


 90 


b) V =  100 
 60 


 80 


V
=
c)
 110 
 80 


 120 


d) V =  110 
 100 


 100 


e) V =  110 
 80 


8. A prefeitura de certo município planeja solicitar ao governo federal uma verba especial para
a construção de casas populares nos setores S1, S2 e S3 desse município. Serão construídas
casas dos tipos 1, 2 e 3 , que terão custo de construção de 20.000 reais, 30.000 reais e 40.000
reais respectivamente. Realizado, em cada setor, cadastramento das famílias que necessitam
de moradia, foram obtidos os dados da matriz a seguir, onde o elemento Aij representa o
número de famílias que pleiteiam uma casa do tipo i e moram no setor Sj .
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30 50 40 
A =  25 30 35 
 25 10 15 
Com base nos dados apresentados e considerando que cada família cadastrada será
contemplada com uma casa, identifique as afirmativas corretas:
( ) O número total de casas que serão construídas, nos três setores, será de 270.
(
) O custo total previsto para a construção de todas as casas, nos três setores, será maior
que sete milhões de reais.
( ) O setor 1 é o setor onde será construído o maior número de casas.
(
) O número de casas do tipo 1 a serem construídas nos três setores será maior que o
número de casas do tipo 2 que serão construídas nos mesmos setores.
( ) A prefeitura gastará mais com a construção das casas do tipo 2 do que com as casas do
tipo 3.
9. A transmissão de mensagens codificadas em tempos de conflitos militares é crucial. Um
dos métodos de criptografia mais antigos consiste em permutar os símbolos das mensagens.
Se os símbolos são números, uma permutação pode ser efetuada usando-se multiplicações por
matrizes de permutação, que são matrizes quadradas que satisfazem as seguintes condições:
· cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais
a zero;
· cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a
zero.
0 1 0 


Por exemplo, a matriz M = 0 0 1 permuta os elementos da matriz coluna Q =
 1 0 0 
b 
 
transformando-a na matriz p = c  , pois P = M . Q.
a 
a 
b  ,
 
c 
a 
c 
b  ,
 
Pode-se afirmar que a matriz que permuta   transformando-a em a  , é
c 
b 
 0 0 1


a)  1 0 0  .
0 1 0 
1

b) 0
0
0

c)  1
0
0 0
0 1 .
1 0 
1 0
0 0  .
0 1
0

d) 0
 1
1

e) 0
0
0 1
1 0  .
0 0 
0 0
1 0  .
0 1
10. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
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 x + 3y − 2z = 0

01) As soluções do sistema homogêneo  x − 8y + 8z = 0 são ternas ordenadas do tipo
3x − 2y + 4z = 0

(a,b,c) com(a+b+c) múltiplo de 11.
b
a b
a

 , então det B = 8 para B = 
.
c d
 2a+c 2b+d 
02) Se det A = 8 para A = 
04) O valor de x para que os pontos A(3, –5), B(x,9) e C(0,2) sejam colineares é 3.
(
)
−1
−1


08) Se A,B,C são matrizes inversíveis, então AB −1
⋅ ( AC )  .B = C.


2 5
 14 -5 
−1
t 2
16) Se A = 
 então (A + A − A ) = 
.
1 3 
 -25 9 
1 0 
11. Dadas as matrizes A = 
 eB=
0 −1
01) Se x = π então det B = 0.
02) A matriz A.B é transposta de B.
04) B – A = – B
08) det ( A.B) = cos2x
16) det B ≤ 0, para todo x ∈ R.
sen x 
 1
, assinale o que for correto.
 −sen x
−1 

12. Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, B e C
a dois países da América Central, P1 e P2. As quantidades, em toneladas, são descritas
mediante a matriz Q:
Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas
empresas, em reais por tonelada, como indica a matriz P:
500 300  ← 1º empresa
P=

 400 200  ← 2º empresa
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que representa o elemento
a13 da matriz produto?
b) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda
empresa, aos dois países?
c) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida,
considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por
quê?
13.
Sejam M e N matrizes quadradas de ordem 2, cujos determinantes são denotados
respectivamente por, Det (M) e Det (N). Seja O é a matriz nula de ordem 2. Assinale a
afirmativa correta.
a) Se Det (M) = 0 então M = O.
b) Det (M + N) = Det (M) + Det (N).
c) Det (3M) = 3 Det (M).
d) Det (-M) = - Det (M).
e) Se Det (MN) = 0 então Det (M) = 0 ou Det (N) = 0.
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 a11 a12

14. Considere a matriz A = a21 a22
a31 a32
a13 
a23  ,cujos coeficientes são números reais.
a33 
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também
que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o
determinante dessa matriz não seja nulo.
b) Suponha, agora, que aij = 0 para todo elemento em que j > i, e que aij = i − j + 1 para os
elementos em que j ≤ i.
Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A−1.
15. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) O ortocentro de qualquer triângulo é equidistante dos três vértices.
60
02) O valor numérico de t na figura a seguir é t = .
13
04) A razão da progressão aritmética (log 10, log 100 e log 1000) é igual a 10.

 −3 9 − 5 
 2X + Y = 

 1 −7 3 

 17 −11 21
obtém − se X = 
08) Resolvendo o sistema matricial 
.
 −4 2 − 7 
3X + 2Y =  −5 11 − 7 



 30 −21 35 

 2 1
 1 3
16) Sendo A = 
eB=
 , então o produto entre a matriz inversa de A e a matriz
5
3


5 9
0 6 
transposta de B é a matriz A-1 . Bt= 
.
 1 −7 
16. Identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F).
(
(
(
(
) Sabe-se que uma matriz A é inversível se existir uma matriz B tal que AB = BA = I n, onde
 11 7 
− 2
3 7 
2 
é a matriz 
.
In é a matriz unidade de ordem n. A inversa da matriz 

3
 5
5 11
− 
 2
2 
) Um restaurante típico da região do litoral oferece as seguintes entradas: casquinha de siri,
panqueca de siri, ostras, saladas, caranguejo. Os pratos principais são: peixe com
gengibre, indaiá, caldeirada, filé de linguado. As sobremesas disponíveis são bolinho de
polvilho, bolo de pinhão, mbojape (bolo de milho), canjica, arroz doce, milho. Com toda
essa variedade, um cliente pode escolher de noventa formas diferentes uma entrada,
um prato principal e uma sobremesa.
) Se numa pesca típica no estuário de Guaratuba um pescador pesca seis garoupas, dois
robalos e dez betaras, e se um peixe destes for escolhido ao acaso, a probabilidade de
ele não ser betara é igual à probabilidade de ele ser robalo ou garoupa.
π
) É verdadeira a igualdade sen   =
8
2+ 2
.
2
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Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo.
a) V – F – V – F.
b) V – F – F – F.
c) V – F – V – V.
d) F – V – F – F.
e) F – V – V – V.
 1 1
17. Sendo A = 
 e B=
0 1
5 
a)  
5 
170 
 10  , a matriz X =


x
 y  na equação A16 ⋅ X = B será:
 
0
b)  
10 
10 
c)  
5
10 
d)  
10 
5
e)  
10 
18. Considere os pontos P1, P2 e P3 e a matriz:
onde cada aij é o valor da distância entre o ponto Pi e o ponto Pj.
No triângulo formado por esses pontos, a mediana relativa a P2 mede:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
2 0 
0 −1
19. O valor 2A 2 + 4B2 quando A = 
e B=

 é igual a:
 0 −2 
1 0 
4 4
4 
a) 
4
4 0
4 
b) 
0
0 0 
c) 
0 0 
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0 4
0 
d) 
4
6 0 
6 
e) 
0
20. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
i+ j
01) O elemento a64 da matriz A = (aij ) de ordem 8, onde aij = ( −1) ⋅
2i
é 3.
j
02) O triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são: A(0,0), B(0,2) e C(10,20), tem 20
unidades de área.
04) Para duas matrizes A e B de mesma ordem, vale sempre: (AB)t = At Bt.
08) A matriz inversa da matriz A é a matriz A-1
1

1

2
A −1 = 

− 1
1
 5

16) O elemento b23 da matriz B = At, onde A = (axy), de ordem 3×2 e axy = 2x +y é 8.
 1
A=
 −5
2
1
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Gabarito:
Resposta
[C]
da
0

0
0, se i ≥ j
A expressão aij = 
representa a matriz 
0
1, se i < j

0
questão
1
0
0
0
1
1
0
0
1:
1

1
, que representa a tabela
1

0
dada.
Resposta
[E]
da
questão
2:
Fazendo o produto de matrizes, temos:
 b   2

= ⇔b=2 ea=4
 3a + 5b   22 
Considerando a = 4 e b = 2 , calculamos o determinante de A:
det ( A ) = a2 + b2 = 42 + 22 = 20 = 5.a
Resposta
[C]
da
questão
3:
Se a cada minuto podem passar até 12 carros, temos que em 75 (s23 ) segundos podem
75 s ⋅ 12 carros
= 15 carros.
passar até
60 s
120
= 60 períodos de 2 minutos, segue que podem passar até
2
15 ⋅ 60 = 900 automóveis no período considerado.
Como de 8 h às 10 h existem
Resposta
[E]
da
questão
4:
I) (verdadeira) Considerando o produto M.N = 0. Multiplicando a matriz M por cada matriz
coluna N, encontramos sistemas lineares homogêneos indeterminados, logo existem outras
soluções além da trivial.
II) verdadeira, det(M2 – M ) = 0 e det(M) ≠ 0 (invertível)
Det(M(M-1)) = 0, logo o det(M). det(M-1) = 0 ou seja det(M) = 0 (não convém) ou det(M -1) =
0
O sistema MX = X ⇔ (M-1) X = 0, admite infinitas soluções, pois seu determinante principal
é nulo.
III) Verdadeira
−senθ 
 cos θ

 =  cos θ −senθ  , seu determinante será D = cos2 θ + sen2 θ = 1 e
tg
θ


2

1 − 2sen θ   senθ cos θ 
 sec θ

a matriz é inversível.
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Resposta
da
questão
5:
a) Da tabela, temos que o total de votos, em uma eleição majoritária simples, de cada um
dos horários, foi:
A : 3 + 4 + 7 = 14
B : 8 + 2 + 5 = 15
C : 8 + 2 = 10
D : 11.
Portanto, o horário vencedor foi o B, com
15
⋅ 100% = 30% do total de votos.
50
b) A matriz pedida é dada por
P9×4
A
4
4

4

1
= 3

2
1

3

2
B
3
3
2
4
4
4
2
1
1
C
2
1
3
3
2
3
4
4
3
D
1 

2  
1 

2 

1  Pesos

1 

3 

2 

4  
Desse modo, temos que:
4
4

4

1
[ A B C D] = [ 3 4 7 8 2 5 8 2 11] ⋅ 3
2
1

3

2
3
3
2
4
4
4
2
1
1
2
1
3
3
2
3
4
4
3
1
2 
1

2
1 ⇒

1
3

2

4
A = 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 + 7 ⋅ 4 + 8 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 + 8 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 + 11⋅ 2 = 116
B = 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 + 7 ⋅ 2 + 8 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 4 + 8 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 11⋅ 1 = 124
C = 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 + 7 ⋅ 3 + 8 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 + 5 ⋅ 3 + 8 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 + 11⋅ 3 = 147
D = 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1 + 8 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 + 8 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 + 11⋅ 4 = 113
Portanto, C ficou em 1º lugar com 147 pontos, B ficou em 2º lugar com 124 pontos, A ficou
em 3º lugar com 116 pontos e D ficou em 4º lugar com 113 pontos.
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Resposta
da
x 1 
a b
Considerando M = 
 e N=

z w
 c d
 ax + cy = ax + bz
 az + cw = cx + dz

Fazendo M.N = N.M temos: 
 bx + dy = ay + bw
bz + dw = cy + dw
questão
6:
Considerando b = 0 e c = 1, concluímos que y = 0. Tomando agora b = q e c qualquer com y =
0, obtemos z = 0, então x = w.
x 0
Logo, M = 
 , ∀x
0 x 
Resposta
[E]
da
questão
7:
questão
8:
Multiplicando as matrizes, temos:
 2 1 1   10   2.10 + 1.50 + 1.30   100 

   
 

 1 2 0  .  50  =  1.10 + 2.50 + 0.30  =  110 
 2 0 2   30   2.10 + 0.50 + 2.30   80 

   
 

Resposta
FVFVV
da
( F ) pois 30 + 50 + 40 + 25 + 30 + 35 + 25 + 10 + 15 = 260
( V ) pois (30 + 50 + 40) . 20.000 + (25 + 30 + 35) . 30.000 + (25 + 10 + 15) . 40.000 =
7.100.000
( F ) no setor 1 serão construídas 80casas e nos demais 90 casas.
( V ) 30 + 50 + 40 > 25 + 30 + 35
( V ) pois (25 + 30 + 35). 30.000 > (25 + 10 + 15). 40.000
Resposta
[A]
da
questão
a, se mi1 = 1 e mi2 = mi3 = 0

Seja P = (pij )3×1, definida por pij = b, se mi2 = 1e mi1 = mi3 = 0,
c, se m = 1e m = m = 0
i3
i1
i2

c 
0 0
a  ,
1 0
P
=
p
=
c,
p
=
a
p
=
b.
M
=
Se
e 31
Logo,
21
  então 11

b 
0 1
9:
sendo (mij )3×3 = M.
1
0  .
0 
Resposta
02+16=18
da
questão
10:
Resposta
08 + 16 = 2
da
questão
11:
1 0 
(01) Falso, B = 
 ⇒ det( B ) = −1
0 − 1
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Curso Wellington – Matemática – Inequações - Matrizes – Prof Hilton Franco
1.senx + 0.(−1)   1
senx
− senx 
 1.1 + 0.(− senx)
 1
=
(02) Falso, A.B = 
e At = 


1 
− 1 
0.1 + (−1).(− senx) 0.senx + (−1).(−1)  senx
 senx
senx 
 0
 − 1 − senx 
(04) Falso, B – A = 
e –B = 

0 
1 
− senx
 senx
(08) Verdadeiro, det(A.B) = 1 – sen2x = cos2x
(16) Verdadeiro, detB = - 1 + sen2x ( o maior valor que o quadrado de um seno é um, logo -1 +
sen2x é menor ou igual a zero para todo x)
Resposta
500 300  
a) P.Q = 
 
400 200 
200
100
da
100
150
150
200
questão
95000
 130000
 = 100000
70000
 
12:
135000
100000
o elemento a13 representa o preço, em reais, que a empresa 1 cobra para transportar o
produto C aos dois países.
b) O elemento que representa o custo para transportar o produto A, pela segunda empresa, é o
a21.
c) Pela empresa
1130 000 + 95 000 + 135 000 = 360 000.
Pela empresa 2,
100 000 + 70 000 + 100 000 = 270 000;
portanto, a empresa 2 seria a mais vantajosa.
Resposta
[E]
da
questão
13:
Det (MN) = 0 ⇔ Det (M). Det (N) = 0 ⇔ Det (M) = 0 ou Det (N) = 0. (Teorema de Binet)
Resposta
da
questão
a) Os três elementos não nulos deverão ocupar filas diferentes.
Na primeira linha : 3 possibilidades
Na segunda linha: 2 possibilidades
Na terceira linha 1 possibilidade.
Logo termos 3! 3! matrizes não nulas
Número de matrizes com seis elementos nulos A 9,3 = 9.8.7
Logo P =
14:
6.6
1
=
9.8.7 14
 1 0 0


b) De acordo com a lei de formação a matriz é  2 1 0 
3 2 1


x a

considerando sua inversa  y b
z c

 1 0 0  x a

 
 2 1 0 .  y b
3 2 1  z c

 
d

e
f 
d  1 0 0 
x
a
d
 
 
e  =  0 1 0  ⇔  2x + y
2a + b
2d + e



f   0 0 1  3 x + 2 y + z 3a + 2b + c 3d + 2e +
 1 0 0 
 = 0 1 0 
 
 logo
f  0 0 1
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Curso Wellington – Matemática – Inequações - Matrizes – Prof Hilton Franco
1 0 0


A matriz inversa será − 2 1 1 
 1 0 − 2
Resposta
02 + 16 = 18
da
questão
15:
01) (falsa) O circuncentro que é equidistantes dos vértices.
02) (verdadeira) x2 + 122 = 132 logo x = 5 e 13.t = 5.12 logo t = 60/5
04) (falsa) log 100 – log 10 = log (100/10) = log 10 = 1
−18 10   −5 11 −7   1 −7 3 
 6
08) (falsa) -4x – 2y + 3x + 2y = x = 
+
=

 −34 22 −42   30 −21 35   −4 1 −7 
 3 −1  1 5   0 6 
16) (verdadeira) A-1.Bt = 
.
=

 −5 2   3 9   1 −7 
Resposta
[A]
da
questão
16:
 −11 7 
3 1   2
2  =  1 0 
(Verdadeira) 
⋅


−3   0 1 
 5 11  5


 2
2 
(Falsa) 5.4.6 = 120
(Verdadeira) eventos complementares.
(Falsa)
π
π
π
cos = cos 2 − sen 2
4
8
8
π
π
cos = 1 − 2sen2
4
8
2
π
= 1 − 2sen2
2
8
sen
π
=
8
2− 2
2
Resposta
[D]
da
questão
17:
Resposta
[C]
da
questão
18:
Da matriz fornecida obtemos
a12 = 12 = P1P2
a13 = 20 = P1P3
a 23 = 16 = P2P3
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Curso Wellington – Matemática – Inequações - Matrizes – Prof Hilton Franco
Como 20 2 = 16 2 + 12 2 , o triângulo P1P2P3 é retângulo em P2 .
Seja M2 o ponto médio do lado P1P3 .
Temos que
P2M2 =
Resposta
[B]
P1P3
= 20 = 10 .
2
2
da
questão
19:
2 0  2 0   4 0 
A2 = 
⋅
=
0 −2 0 −2  0 4 
0 −1 0 −1  −1 0
B2 = 
⋅
=
0  0 −1
 1 0  1
4 0 
 −1 0  4 0 
2A 2 + 4B2 = 2 ⋅ 
+ 4⋅
=
.

0
4


 0 −1  0 4 
Resposta
(01) + (16) = 17
da
questão
20:
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
22/09/2011 às 18:21
Matrizes
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova
Q/DB
Matéria
Fonte
Tipo
1..................104243.............Matemática.........Ufsm/2011..............................Múltipla escolha
2..................101503.............Matemática.........Uftm/2011...............................Múltipla escolha
3..................105313.............Matemática.........Uesc/2011...............................Múltipla escolha
4..................101526.............Matemática.........Ita/2011...................................Múltipla escolha
5..................105772.............Matemática.........Fgv/2011.................................Analítica
6..................101544.............Matemática.........Ita/2011...................................Analítica
7..................103197.............Matemática.........Uel/2011.................................Múltipla escolha
8..................104162.............Matemática.........Ufpb/2011...............................Verdadeiro/Falso
9..................100675.............Matemática.........Uff/2011..................................Múltipla escolha
10................103721.............Matemática.........Ufsc/2011................................Somatória
11................90906...............Matemática.........Uepg/2010..............................Somatória
12................91383...............Matemática.........Fgv/2010.................................Analítica
13................99407...............Matemática.........Ibmecrj/2010...........................Múltipla escolha
14................93743...............Matemática.........Unicamp/2010.........................Analítica
15................93409...............Matemática.........Ufsc/2010................................Somatória
16................98447...............Matemática.........Ufpr/2010................................Múltipla escolha
17................107038.............Matemática.........Fgv/2009.................................Múltipla escolha
18................86484...............Matemática.........Ibmecrj/2009...........................Múltipla escolha
19................86609...............Matemática.........Ufc/2009.................................Múltipla escolha
20................86643...............Matemática.........Ufsc/2009................................Analítica
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