MATEMÁTICA
Prof. Favalessa
MATRIZES
Chama-se matriz do tipo m x n a tabela que se obtém dispondo m·n números segundo m linhas e
n colunas.
Genericamente, uma matriz será representada da seguinte forma:
TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES:
Matriz Linha: Quando m = 1
Matriz coluna: Quando n = 1
Matriz Quadrada: Quando m = n
Matriz Diagonal: Quando aij = 0 se i
j. Somente em matriz quadrada
Matriz Identidade: É uma matriz diagonal onde aij = 1 se i = j
Matriz Transposta: Matriz obtida ao se inverter linhas e colunas de uma matriz
1
IGUALDADE ENTRE MATRIZES:
Duas Matrizes são iguais se todos os seus elementos correspondentes forem iguais
então a = 2, b = 3, c = 5 e d = 7
CONSTRUÇÃO DE MATRIZES
ATIVIDADES DE SALA
1. Construa as seguintes Matrizes:
a) A = (aij)2x5, em que aij = 3i – 3j.
b) B = (bij)3x3 em que
c) Determine a matriz C= (cij)3x3 tal que:
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição: A + B = (aij + bij)mxn
Subtração: A – B = (aij – bij)mxn
Exemplo:
Dados:
Calcule A – B + C.
Resolução:
Multiplicação por Escalar:
Se multiplicarmos uma matriz por um número real qualquer, todos os elementos dessa matriz também serão
multiplicados por este número:
2. Resolver o sistema:
2
3. Dadas as matrizes e
determine A + 2B
t
Multiplicação de Matrizes:
Dados A = (aij)mxn e B = (bij)nxp
Só podemos multiplicar A por B se o número de colunas de A for o mesmo que o número de linhas de B.
A matriz produto terá o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B.
Assim:
Amxn x Bnxp = Cmxp
MATRIZ INVERSA:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. B é a inversa de A se A B = B A = In. Neste caso chamaremos
-1
B de A . Uma matriz só é invertível se seu determinante for diferente de 0.
EXERCÍCIOS:
2
2
3. Seja a matriz M = (mij)2 x 3, tal que mij = j
i .
a) Escreva M na forma matricial.
t
t
b) Sendo M a matriz transposta de M, calcule o produto M M .
2 0
0 1
4. Calcule o valor de 2A 2 4B2 quando A
eB
.
0 2
1 0
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
1. Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, B e C a dois países da
América Central, P1 e P2. As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz Q:
Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por
tonelada, como indica a matriz P:
P
500 300
400 200
1º empresa
2º empresa
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que representa o elemento a13 da
matriz produto?
b) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda empresa,
aos dois países?
c) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando
que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê?
2. Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z.
A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região.
A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura.
a) Calcule a matriz C = AB.
b) Explique o significado de c23, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.
3
3. Dada a matriz.
Calcule:
2
a) A
100
b) A
101
c)
A
4. (UFES) Considere a matriz
A=
1998
Determine A
1
– 3
3
1
.
5. Marlos Charada, o matemático espião, concebeu um código para transformar um palavra P de três
3
letras em um vetor Y de IR , como descrito a seguir.
A partir da correspondência:
3
a palavra P é transformada em um valor X de IR . Em seguida, usando a matriz código
o vetor Y é obtido pela equação Y = A ⋅ X .
Por exemplo, a palavra MAR corresponde ao vetor X =(12, 1, 17) e é codificada como Y =A ⋅ X = (26,
56, 29)
Usando o processo acima, decodifique Y =(64, 107, 29).
GABARITO (EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES)
Resposta da questão 1:
500 300
a) P.Q =
400 200
200
100
100
150
150
200
=
130000
100000
95000
70000
135000
100000
o elemento a13 representa o preço, em reais, que a empresa 1 cobra para transportar o produto C aos
dois países.
b) O elemento que representa o custo para transportar o produto A, pela segunda empresa, é o a 21.
c) Pela empresa
1130 000 + 95 000 + 135 000 = 360 000.
Pela empresa 2,
100 000 + 70 000 + 100 000 = 270 000;
portanto, a empresa 2 seria a mais vantajosa.
Resposta da questão 2:
a) Em sala
b) c23 = 1700 significa que serão necessários 1700 kg do fertilizante Z para as culturas de milho, soja e
feijão na região Q.
Resposta da questão 3:
Em sala
Resposta da questão 4: Em sala
Resposta da questão 5: SOL
4
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Uma indústria utiliza borracha, couro e tecido para fazer três modelos de sapatos. A matriz Q fornece a
quantidade de cada componente na fabricação dos modelos de sapatos, enquanto a matriz C fornece o
custo unitário, em reais, destes componentes.
Calcule a matriz V que fornece o custo final, em reais, dos três modelos de sapatos.
2 3
0
1
K
e definindo-se A = I, A = A e A = A A A … A, com k fatores, onde I é
1 2
15
uma matriz identidade de ordem 2, k  e k 2, CALCULE a matriz A .
2. Dada a matriz A
3. Sobre as matrizes: A = (aij)2x2, tal que aij = i – j, e B = (bij)2x3, tal que bij = i + j, assinale o que for correto.
3 4 5
01) A.B
2 3 4
1 0
0
1
02) A 2
2
04) A matriz B não existe.
4. Seja A a matriz A = (aij)2x3, cuja lei de formação é dada por aij
3i j, se i
2i 3j, se i
j
. Calcule a matriz A.
j
5. Uma metalúrgica produz parafusos para móveis de madeira em três tipos, denominados soft, escareado
e sextavado, que são vendidos em caixas grandes, com 2000 parafusos e pequenas, com 900, cada
caixa contendo parafusos dos três tipos. A tabela 1, a seguir, fornece a quantidade de parafusos de
cada tipo contida em cada caixa, grande ou pequena. A tabela 2 fornece a quantidade de caixas de
cada tipo produzida em cada mês do primeiro trimestre de um ano.
TABELA 1
Parafusos/caixa
Pequena
Soft
200
Escareado
400
Sextavado
300
Grande
500
800
700
Associando as matrizes
200 500
A
400 800
300 700
e
B
Caixas/mês
Pequena
Grande
1500 2200 1300
1200 1500 1800
às tabelas 1 e 2, respectivamente, o produto AxB fornece
a) o número de caixas fabricadas no trimestre.
b) a produção do trimestre de um tipo de parafuso, em cada coluna.
c) a produção mensal de cada tipo de parafuso.
d) a produção total de parafusos por caixa.
e) a produção média de parafusos por caixa.
5
TABELA 2
JAN
FEV
1500
2200
1200
1500
MAR
1300
1800
GABARITO( EXERCÍCIOS PROPOSTOS)
Resposta da questão 01:
Multiplicando as matrizes, temos:
2 1 1 10
1 2 0 . 50
2 0 2 30
2.10 1.50 1.30
1.10 2.50 0.30
2.10 0.50 2.30
100
110
80
Resposta da questão 02:
2 3
1 2
A2
A3
A2 A
A4
A3 A
2 3
1 2
1 0
0 1
1 0
0 1
2 3
1 2
2 3
.
1 2
2 3
1 2
2 3
1 2
A
1 0
0 1
Observa-se que quando o expoente for par, o resultado é a matriz identidade, e quando o expoente for
15
ímpar, o resultado é a própria matriz, portanto A = A.
Resposta da questão 03: A
a
ij
Item (01) – Verdadeiro AxB
0
1
Item (02) – Verdadeiro AxA
A2
/a
2 x 2
i j
ij
0
1
A
1
2 3 4
x
0
3 4 5
0
1
1
0
x
0
1
3
2
1
0
1
0
e B
4
3
bij
2x3
/ bij
i
j
B
2 3 4
3 4 5
5
4
1 0
0
1
Item (04) – Verdadeiro
O número de colunas da primeira é diferente do número de linhas da segunda, isto é:
B2
BxB
2x3 x 2x3
impossível.
Resposta da questão 04: A
1 5 6
7 2 9
Resposta da questão 05: C
Se cada linha da matriz A representa o tipo de parafuso e cada coluna da matriz B o mês de produção, o
produto das matrizes nos revelará a produção mensal de cada tipo de parafusos.
DETERMINANTES
Chamamos de determinante de uma matriz ao número real associado a ela.
Determinante de 1ª ordem
A = [a11]
det A = a11
Determinante de 2ª ordem
det A = a11
a22 – a12
6
a21
Determinante de 3ª ordem
Aplica-se a regra de Sarrus
A seguir à última coluna, reescrevem-se as duas primeiras colunas da matriz.
São positivos os produtos dos elementos ligados pelas linhas a vermelho, com a direção da
diagonal principal;
São negativos os produtos dos elementos ligados pelas linhas a azul, com a direção da diagonal
não principal.
EXERCÍCIOS:
a b c
1. Analise as afirmações abaixo, sabendo que d e
g h
d e f
I. a b c
g h i
3a 3b 3c
II. 3d 3e 3f
3g 3h 3i
2
f
i
2
a b c
III. 0 0 0
g h i
6
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas I, III e IV são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação III é verdadeira.
a
b
c
IV. d 2a e 2b f 2c
g
h
i
0
2
c) Apenas I e II são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
2. Resolva a equação:
3 x
3 x
x 3
3. Considere o polinômio p(x)
x
4 .
3
Calcule as raízes de p(x). Justifique sua resposta, deixando claro se utilizou propriedades de
determinantes ou algum método para obter as raízes do polinômio.
x 2
eB
1 1
4. Dadas as matrizes A
pode ser igual a:
a) 3
b) -2
1
x
a diferença entre os valores de x, tais que det(A B) 3x,
1 2
c) 5
d) -4
e) 1
3 2
x 1 x2
. Se I representa a matriz identidade de ordem
e B
1 1
2
x
entre todos os valores de x  que satisfazem a equação
5. 05. Considere as matrizes A
dois,
então
det A B
a) –
4
3
o
produto
det B I
det 2BT é igual a:
b) –
2
3
c)
3
2
d)
7
5
2
e) –
1
3
6. Calcule a inversa da matriz abaixo.
7. Dadas as matrizes A
x 2
eB
1 1
1
x
calcule x, tais que det(A·B)
1 2
8
3x.