Curso de linguagem matemática – Professor: Renato Tião.
1. Considere as matrizes: A
3×2,
B2×3 e C 3×3. Assinale a
alternativa que apresenta um produto inexistente:
A) A⋅B
B) B⋅A
C) C⋅A
D) At⋅C
E) B t⋅C
1

2. Seja a matriz A =  2
4

3
2
4
1
3
3
1
4
2
3

.
2

1
4
O termo x23 da matriz X = A2 é igual a
A) 18
B) 20
C) 21
D) 22
E) 24
6 Unicamp. Considere as matrizes:
 cos θ

M=  −senθ
 0



1
cos θ
0 ,X=

0
x
1
y
0
  e Y =  
z
3
a) Calcule a matriz inversa de M.
b) Resolva a equação MX = Y.
7.
Calcule o valore de x + y – z sabendo que as
1 2
1 x
e B= 

 comutam entre si na
0 3
y z
matrizes A= 
multiplicação.
8 Puc.
Escreva a matriz A=(xij)2×2 cujos termos
formam a matriz coluna que é solução da seguinte
equação matricial.
1 1 0 0   x11   3 
0 0 1 1   x   3

 ⋅  12  =  
1 0 0 1   x 21  1 

    
1 0 1 0   x 22  6 
3. Sendo A
uma matriz de elementos aij = 2i – j
escreva a matriz M = ½(A·At) + 2I2 em que I2 indica a
matriz identidade de segunda ordem.
2×3
4.
0
s enθ
Escreva explicitamente as matrizes a partir das
seguintes leis de formação:
a) A 3 × 2  a i j = 3 i − 2 j
9 Unesp. Considere as matrizes reais 2×2 do tipo
b) B2 × 4  b i j = i + j − 1
A(x) =
c) C3  c i j = i·j
a) Calcule o produto A(x)·A(x)
b) Determine todos os valores de x∈[0,2π] para os
quais A(x)·A(x) = A(x).
d) D3  d i j =
( −1)
i+ j
+1
2
 1 se i < j

e) E2  e i j =  0 se i = j
−1 se i > j

 0 se i < j

f) F6  f i j  1 se i = j ou j = 1
f
 (i −1) j + f(i −1) (j−1) se i > j e j ≠ 1
2 1 
5. Sendo A =  0 −1 e B =  0 1 2  , determine os
3 4 5
3 2 


seguintes produtos:
a) A⋅B
b) B⋅A
c) At⋅B t
d) Bt⋅At
cos x sen x 

.
 sen x cos x 
10 Unesp.
Uma fábrica produz dois tipos de
peças, P1 e P2. Essas peças são vendidas a duas
empresas, E1 e E2. O lucro obtido pela fábrica com a
venda de cada peça P1 é R$3,00 e de cada peça P2 é
R$2,00. A matriz abaixo fornece a quantidade de peças
P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no
mês de novembro.
P1 P2
E1  20 8 
E2 15 12 
x 
y
A matriz   , em que x e y representam os lucros, em
reais, obtidos pela fábrica, no referido, mês, com a
venda das peças às empresas E1 e E2, respectivamente,
é
 35 

 20 
A) 
90 
 
B)  
48
76 
 
C)  
69
84 
 
D)  
61
 28 

 27 
E) 
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11.
Sendo A, B matrizes quadradas, I a matriz
identidade e O a matriz nula, todas de mesma ordem,
assinale a alternativa correta
A) (A·B) t = At · At
B) (A·B) –1 = A–1 · B–1
C) Se A2 = A então A = I
D) Se A·B = I então A = B–1
E) Se A·B = O então A = O ou B = O
12.
Chamamos de anti-simétricas às matrizes
quadradas A tais que A t = −A. Sabe-se que M é antisimétrica e:
13 Fuvest.
A) A é invertível
B) det A = 0
C) b = 0
D) c = 0
E) a = d = 1
a) A = ( 1 )
1 2

3 4
b) B = 
3
x
1
0
= 9
x
2 é
3
1
1
A) 0
B) 1
c) 3
D) 4
E) 5
2
a sentença det( A − λ⋅I ) = 0 são:
A) naturais
B) negativos
C) racionais não inteiros
D) irracionais
E) não reais
17. Sejam A, B e C matrizes quadradas de segunda
e
ordem tais que A–1 = 3B e A·B = C. Sabendo que o
determinante da matriz B é igual a 4, calcule o
determinante da matriz C.
18 ITA. Quaisquer que sejam os números reais a,
1
1
M= 
1

1
1
1
1+ a
1
1
1+ b
1
1


1
 é dado por:
1 

1+ c
1
A) ab+ac+bc
B) abc
C) zero
D) abc+1
E) 1
19. Calcule os valores dos seguintes determinantes:
1 2 3
c) C =  4 5 6 


7 8 9


2
x
x
b e c, podemos afirmar que o determinante da matriz
14. Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
1
7
 , os valores de λ que satisfazem
1 3
1 2
 são tais que AB = BA, pode-se afirmar que:
0 1
B= 
3x
das raízes da equação
16. Sendo A=  3
b 
 x +1 a


y+3
c
M=  x

 y

−
z
6
3z


Os termos a, b e c, de M, valem respectivamente:
A) −1,−3 e 2
B) 1,3 e −2
C) 1,−3 e −2
D) −3,1 e 2
E) −1,2 e −3
a b
Se as matrizes A= 

c d
15. O módulo da diferença entre a soma e o produto
a)
1
2
−3
1
5
25
4
−5
6
b) 1 7
49
7
2
3
1
36
6
1
2
3
2
3
1
3
1
2
c)
4


0 1 2 3


d) D =
3 2 0 1


2 1 0 2
d)
0
1
0
1
0
3
0
2
0
5
0
4
0
0
8
−1
5
0
0
12
−2
4
0
2
18
−3
6
1
4
−2
0
−1
4
3
5
1
0
3
0
2
0
2
7
0
1
4
3
5
e)
f)
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20. Resolver as seguintes equações:
a)
b)
c)
x
−5
1− x
x
cosx
senx
0
senx
cosx
0
0
0
2
=1
3x
2
2
3
x
3
9
5
1
1
sen 2 x
d) cos 2 x
1
b)
c)
d)
5
 1 −1 
 , C =
 , e B a matriz
 2 3
 3 −2 
que satisfaz A⋅B = C t + I2, podemos concluir que o
determinante da matriz B vale:
A) 0
B) 2
C) ½
D) −2
E) − ½
=1
=0
24. Para todo x real tem-se que
1
log 2
tg x
2
log 5
sec 2 x
1
=0
a b c
21. Considere a matriz real M =  x y z  cujo
r s t


determinante é um número real positivo. Sendo k o
valor desse determinante, calcule em função de k os
valores dos seguintes determinantes:
a)
23. Sendo A =  4
1
1
1
2
3
x
4 9
2
x
é igual a
A) (x − 2)(x − 3)
B) (x − 3)2
C) (x − 2)2
D) (x + 2)(x − 3)
E) (x − 2)(x + 3)
25 Ufscar.
Seja A=(aij) uma matriz quadrada de
p, se i = j
ordem 3 tal que, aij = 
2p, se i ≠ j
com p inteiro
positivo. Em tais condições. É correto afirmar que,
necessariamente, detA é múltiplo de
A) 2
B) 3
C) 5
D) 7
E) 11
a
r
x
b
s
y
c
t
z
a
c
b
x
z
y
r
t
s
6a
3b
3c
2x
y
z
2r
s
t
a
a+b
c − 2a
x
x+y
z − 2x
r
r+s
t − 2r
e) detM–1
f) det(k·M)
22. Determine os valores reais de m para que a matriz
x m 3 
M =  2 x −1 admita inversa para todo x real.


4 2 1 


26. Calcule os seguintes determinantes:
a)
1
2
3
−1
2
3
1
2
−1
4
−3
5
−2
1
−2
3
1
0
9
2
0
2
0
7
0
1
b) 3 4 5 6 7
4
0
3
0
0
5
0
0
0
0
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27 FGV. As matrizes A=(a )
e B=(bij)4×4 são
tais que 2aij = 3bij. Se o determinante da matriz A é
ij 4×4
igual a
3
4
, então o determinante da matriz B é igual a
33.
Discutir em função do parâmetro real k, o
conjunto solução do sistema:
kx − y = k + 2
(k−3)x + 2y = 6
A) 0
B)
C)
4
27
9
34.
8
D) 2
E)
243
64
28. Sendo x, y e z números inteiros, podemos afirmar
 3 0 6 15 


que o valor do determinante da matriz  x 7 2 5  é
 y 14 0 10 


 2 21 z −5 
necessariamente
A) par
B) ímpar
C) divisor de 360
D) múltiplo de 105
E) primo
x y z
Sabendo que z x y = 8, calcule o valor de
29.
y
z
x
K na expressão a seguir em que I representa a matriz
identidade de terceira ordem:
x
1
2
K = det(x⋅I) + det(y⋅I) + det(z⋅I) − 3⋅ 0 y 3
0
0
z
30. Escreva todas as soluções da equação x+y+z = 5
em que as variáveis x, y e z são números inteiros
positivos.
31. Resolva e classifique os seguintes sistemas:
2x + 3y = 6
a)  y
 x − 2 = −1
2 − x = 3y
b) 
x + 5y = 2(y + 5)
2x − 5y = −6
c) 

y
− x + 2y = 3 − 2
 x + 2y + 3z = 4
32. Resolver o seguinte sistema: 3x − 5y − 2z = 1
5x + y + 3z = 2

Escreva pelo menos uma solução da equação
3x+2y=7 que satisfaça às seguintes relações:
a) x > 0 e y > 0
b) x < 0
c) y < 0
d) xy = 0
e) x = 2y
f) x + y = 0
35. Escreva cinco soluções distintas deste sistema:
 x − 3y + 2z = 0

2x − y = 0
36. Resolver e classificar os seguintes sistemas.
7x + 5y = 11
a) 
8x + 6y = 11
7x + 4y = 10
b) 
12x + 7y = 15
4x + 7y = 8
c) 
5x + 9y = 11
 2x − y = 5
d) 
3y + 10 = 5(x − 1) + x
 2x + y + z = 1

e)  x + z = 2
3x + y + 3z = 5

x + y + z = 2

f)  x + y + 2z = −4
2x + 2y + 3z = −3

x + y = 1
g) 
 x + y + 2z = 7
ax + y = 1
, com a ≠ ± 1
 x + ay = −1
h) 
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37.
42. O valor de m para que este sistema admita solução
Discutir em função do parâmetro k o seguinte
sistema linear:
kx + y + z = 4
não trivial é:
38 Fuvest. Se Amélia der R$3,00 a Lúcia, então
A) 1
C) 3/5
E) – 5/3

 x + ky + 2z = 2
x + y + z = k

ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um
terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$6,00
a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do
que tem, ficara com uma quantia igual a um terço do
que possui Maria.
Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia
e Maria?
39. Determine a medida em graus, do ângulo interno
de vértice A do triângulo ABC da figura sabendo que P
é o seu incentro e que duas de suas bissetrizes internas
formam um ângulo de 108º como mostra a figura:
B
108º P
A
C
40. Determine os valores reais do parâmetro a que
fazem com que as retas que representam
cartesianamente cada uma das equações do sistema
interceptem-se todas num mesmo ponto.
2x + y − 7 = 0
x − 3y + 7 = 0
ax − y + a = 0
41 Fuvest. João, Maria e Antônia tinham juntos,
R$100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um
ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados
seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter
R$11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No
ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda
com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros
de cada um no final desse segundo ano, o novo capital
de Antônia era igual à soma dos novos capitais de
Maria e João. Qual era o capital inicial de João?
A) R$20.000,00
B) R$22.000,00
C) R$24.000,00
D) R$26.000,00
E) R$28.000,00
x + 2y + z = 0
2x + 5y – z = 0
my + 5z = 0
B) –1
D) 5/3
43. Três círculos são tais que cada um deles tangencia
exteriormente os outros dois têm seus centros nos
vértices de um triângulo cujos lados medem 7cm, 8cm e
9cm. A área do maior destes círculos, em centímetros
quadrados, é
A) 9π
C) 25π
E) 49π
B) 16π
D) 36π
44 Fuvest. O sistema  x + (c + 1)y = 0 , em que o
cx + y = −1
parâmetro c é diferente de zero, admite uma solução
(x,y) com x = 1. então, o valor de c é
A) –3
C) –1
E) 2
B) –2
D) 1
45.
Os números atômicos dos elementos químicos
Xenônio, Ítrio e Zinco têm soma 123, o do Xenônio é
15 unidades inferior à soma dos outros dois e 6
unidades inferior ao dobro do número atômico do
Zinco. Os três números atômicos em questão,
A) são todos pares
B) são todos ímpares
C) dois deles são ímpares e o outro par
D) dois deles são pares e o outro ímpar
E) estão em progressão aritmética
46. Considere o seguinte sistema:
2x + y − 7 = 0

 x − 3y + 7 = 0
ax − y + a = 0

O valor do parâmetro a para o qual as equações do
sistema a seguir representam retas concorrentes num
mesmo ponto é
A) 0
C) 2
E) 4
B) 1
D) 3
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47. Resolver os seguintes sistemas:
7x + 3y = 6
50 Se A é uma matriz quadrada de quarta ordem tal
que a i j = i j − j i , então det(A) é igual a
a) 
3x + 7y = 4
x + y = 7

b)  y + z = 8
z + x = 9

2x + 3y = 7

c) 5x − 4y = 6
3x + 2y = 9

2x + 3y = 7

d) 5x − 4y = 6
3x + 2y = 9

x + y = 1
e) 
 x + y + 2z = 7
A) 144
B) 169
C) 196
D) 225
E) 289
48.
52. Se os números reais x, y e z satisfazem o sistema
51.
Sendo α e β as medidas de dois ângulos
complementares pode-se concluir que o determinante da
1
1 
 0

matriz M = senα −senβ cosα  é igual a

cosα

−senα 
A) 1
B) 2
C) −1
D) −2
E) 0
Discutir em função do parâmetro real k, o
conjunto solução de cada um dos sistemas a seguir:
kx + 9y = 6
a) 
4x + y = 4
 kx + y = 1
1 2 3   x   0 
representado pela equação  3 1 2   y  = 1  , então

   
 2 3 1   z   2 
é correto concluir que x + y + z é igual a
A) 0
B) 1
C) ½
D) 2
E) ¾
b) 
 x − y =1
 kx + 4y = 2
c) 
 x + ky = −1
 kx + 2z = 4

d)  ky + z = k
 x + 2y + kz = 0

53. O conjunto solução de um sistema linear de três
49. Dada uma matriz quadrada M de ordem n, e cujo
determinante é um número real positivo, sejam M t ,
M − 1 e M cof respectivamente a matriz transposta, a
matriz inversa e a matriz dos cofatores da matriz M.
Assinale a alternativa que apresenta uma afirmação,
sobre os determinantes dessas matrizes, que seja falsa.
(
cosβ
)
( )
variáveis é expresso por S = {(α, 2α, 3α ), ∀α ∈ ℝ} .
Assim, é correto afirmar que se trata de um sistema
A) possível determinado e homogêneo.
B) possível indeterminado e homogêneo.
C) possível indeterminado, mas não homogêneo.
D) impossível e homogêneo.
E) impossível e não homogêneo.
A) det A + A t = det ( A ) + det A t
54. Sendo a um parâmetro real podemos afirmar que
B) det ( A ⋅ A cof ) = det ( A ) ⋅ det ( A cof )
o sistema linear 
( )
D) det ( A t ⋅ A − 1 ) = 1
C) det A ⋅ A t = det ( A )
E) det ( A cof ) = det ( A )
2
n −1
ax + y = a
4x + ay = 4
é
A) Possível e determinado para todo a real
B) Possível e indeterminado quando a = 0
C) Possível e indeterminado para todo a real
D) Impossível quando a = 0
E) Possível e determinado quando a ≠ ±2
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Gabarito Matrizes
1.E
3 1

1 9
3. 
2.D
1 −1 

4. a)  7

 25
3
5. a)  −3

6

5

19 
2 3 4

3 4 5
c)  2

3
2
4
6
3

6

9
1
d)  0

1
0
1
0
1

0

1
 0 1
e) 

 −1 0 
1
1

f)  1
1

1

1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
1
0
0
3
3
1
0
4
6
4
1
5
10
10
5

 3 −3 6 
 cos θ −senθ 0 
 6 3   6 21  


−5 b) 
c)
d) 6 −4 11
6. a)  senθ cos θ 0  b) X =
  21 9   3 9  



16 
9
5
16
0
0
1
−




2
1
1
sen(2x)




8. 
19. a) 
b) x = 0 ou x = 2π


1 
 4 −1 
 sen (2x)
6
9
−4
11
7. –1
10.C
1
b) 
2
1
11.E
12.B


0

0

0

1
 cos θ 
 senθ 


3


13.D
Determinantes
14. a) 1 b) –2 c) 0 d) –3 15.B 16.D 17. detC = 1/9 18.B 19. a) –96 b) –2 c) 0
π
20. a) S={1, 4} b) S={x∈ℝ x = ± + kπ , k∈ℤ} c) S={ 2, log 3 10 } d) S={x∈ℝ x ≠
6
1
−1
21. a) k b) –k c) 6k d) k e) f) k4 22. m <
23. C 24. A 25. C 26. 42 e 720
k
20
d) 0 e) 0 f) 0
π
+ kπ , k∈ℤ}
2
27. E
28. D 29. K = 8
Sistemas lineares
30.S = {(3,1,1), (1,3,1), (1,1,3), (2,2,1), (2,1,2), (1,2,2)}
31. a) S = {(0, 2)} ⇒ SPD
32. S = {(–1,–2, 3)}
b) S = ∅ ⇔ SI
c) S = {(
6 + 2α
5
, α ) ,∀α∈ℝ} ⇒ SPI
33. k ≠ 1 ⇔ SPD e k = 1 ⇔ SI 34. a) (1, 2) b) (–1, 5) c) (3,–1) d) (0,
7
2
) e) (
35. S = {(2α, 4α, 5α),∀α∈ℝ} → (0, 0, 0), (2, 4, 5), (4, 8, 10), (6, 12, 15) e (8, 16, 20)
11
11
5+α
36. a) S = {( , − )} b) S = { (10, –15)}
c) S = {(–5, 4)}
d) S = {(
, α ), ∀α∈ℝ}
2
2
2
1
−1
e) S = {( 0,–1, 2)} f) S = ∅
g) S = {(1 – α , α , 3 ), ∀α∈ℝ} h) S = {(
,
)}
a −1 a −1
37. Maria possui R$36,00, Lúcia R$18,00 e Amélia R$24,00
38. k ≠ 1 e k ≠ 2 ⇔ SPD, k = 1 ⇔ SI e k = 2 ⇔ SPI
39. 36º 40. a = 1 41. A 42. E 43. C 44. B
45. D 46. B
Diversos
49. A
50.C
51.B
52. C
53. B
54. E
7 7
, ) f) (7,–7)
4 8