A RAZÃO ÁUREA E SUA CONSTRUÇÃO COM O SOFTWARE CABRIGÉOMÈTRE
Frank Victor Amorim
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Resumo
Inicialmente será feita uma explanação da importância do uso de novas tecnologias
no ensino da Matemática, o que os PCNs falam a respeito, bem como suas
recomendações, além de definições importantes que darão segmento ao trabalho,
como uma breve apresentação do software Cabri-Géomètre, que é um caderno
rascunho interativo. Dentre as principais características, podemos destacar o fato de
ele permitir construir figuras geométricas e deformá-las mantendo suas
propriedades, excelente interface, fácil de manusear, entre outras. Em seguida, será
desenvolvida a história do número Áureo, a construção do Retângulo Áureo e a
Espiral Áurea com o objetivo de explorar a presença dessa razão áurea no cotidiano
das pessoas, levando em consideração as construções com régua e compasso
(fazendo as demonstrações de cada construção), mas utilizando o software CabriGéomètre. Em seguida, construiremos macro-construções, que é uma seqüência de
construções independentes a partir das quais podemos criar novas ferramentas e
adicioná-las ao menu de ferramentas do Cabri. Assim, iremos criar macros que
identifiquem o ponto Áureo do segmento e outra que construa o retângulo áureo.
Tudo isso será feito como uma tentativa de amenizar o desinteresse do aluno em
sala de aula, sua forma inquieta de prestar atenção às lições, levando o professor à
loucura. Estudos apontam o computador como instrumento facilitador no processo
ensino-aprendizagem dos componentes curriculares na escola, estimulando o
interesse dos alunos, despertando o prazer de aprender e facilitando a aquisição do
conhecimento necessário para sua vida.
Palavras-Chave: Razão Áurea, Cabri-Géomètre, Macro-Construções.
Introdução
Deparamo-nos, hoje, com a necessidade de o aluno aprender como
funcionam as novas tendências tecnológicas do mercado. À medida que as crianças
avançam em seu mundo de descobertas, tornam-se capazes de compreender
sistemas mais complexos.
Diante da necessidade da escola em se modernizar e repensar novas formas
de atingir seus objetivos, faz-se imprescindível uma reflexão acerca do seu novo
papel possibilitando ao aluno uma aprendizagem significativa.
O computador é essa nova necessidade tecnológica que as crianças de todo
o mundo querem interagir com ele, para que dele obtenham resultados favoráveis
aos seus conhecimentos e para o seu mundo de diversão e fantasia.
A partir de 9 de abril de 1997 foi criado no nosso país o Prolnfo (Programa
Nacional de Informática na Educação) através da portaria MEC 522, visando
melhorar o estudo pedagógico nas instituições do ensino fundamental e médio.
Ao lidar com computadores em diversas faixas etárias da vida, encontram-se
problemas do cotidiano da tecnologia da informação. Crianças, jovens e até mesmo
adultos utilizam-se deste meio para somente realizar o próprio ego de fantasias.
Crianças brincam, jovens batem papo e adultos entram no mundo da fantasia do
"ciber erotismo".
O computador não serve somente para esses fins que a humanidade está
inserida, mas serve como auxílio metodológico para crianças, jovens e adultos para
realizarem seus trabalhos estudantis e outros.
Para isso é que se situa a "As novas tecnologias na Educação". Esta ajudará
a integração das disciplinas no processo de ensino e aprendizagem, exigindo dos
agentes educacionais um posicionamento quanto ao quê e como fazer para dispor
os múltiplos recursos da informática a serviço da educação.
A integração dar-se-á na interdisciplinaridade no processo de ensinoaprendizagem. Refere-se à atuação conjunta de profissionais de áreas diferentes,
que se completam.
Os caminhos de aprendizagem do aluno neste mundo da tecnologia fazem do
computador um instrumento lúdico, instigante, atrativo. Este possibilita uma resposta
imediata, o erro pode produzir resultados interessantes favorecendo a flexibilidade
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do pensamento, estimula o desenvolvimento do raciocínio-Iógico e possibilita o
desenvolvimento do foco atenção e concentração.
As escolas não podem se limitar a ensinar os alunos a aprenderem a dominar
computadores altamente sofisticados. A tecnologia avança, tornando obsoleto
rapidamente o computador de ontem.
O computador em sala de aula visa quebrar os ciclos organizacionais das
escolas, que ministram suas aulas em quadros com giz ou quadros brancos com
canetas e até mesmo com projetores de transparências.
Transformar computadores em ferramentas de trabalho pedagógico é uma
tarefa muito desafiadora. Não só pelo desinteresse governamental de verbas para
esses fins, mas mesmo por parte dos alunos, que utilizam de forma errônea este
instrumento para obtenção de conhecimentos.
Para isso, o corpo docente das instituições de ensino do país tem que passar
por um programa de reciclagem educacional para aprender essa nova tendência e,
assim, servir de base pedagógica para o ensino dos nossos alunos. Entender esse
método de ensino é compreender de que forma isso ajudará cada aluno a assimilar
as formas da Matemática, os processos de aprendizagem da leitura interativa, a arte
de desenhar usando programas de editoração de imagem, desvendar os mistérios
das Ciências e explorar os maiores mistérios que a computação traz de benefícios
para os seus alunos.
É preciso compreender que papel ele exercerá em sala de aula, qual função
terá nos trabalhos e quais disciplinas serão utilizadas por esse meio.
Diante dessa necessidade da escola se modernizar, faz-se necessário refletir
acerca desse novo papel que é de fundamental importância para o processo de
aprendizagem dos alunos, possibilitando que essa seja significativa no seu processo
estudantil.
As metodologias de ensino hoje utilizadas infelizmente não prendem a
atenção dos discentes em sala de aula. É preciso utilizar meios que as crianças
sintam prazer de ir às escolas e permanecerem concentrados ao que o professor
ministra em classe.
A informática veio para somar com as demais disciplinas de estudo. Ela vem
preparar o aluno para novos conhecimentos e tecnologias, levando o mesmo a
compreender de maneira interativa e eficaz as disciplinas ministradas pelo professor,
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não lidando somente com informações acabadas e prontas, mas preocupar-se com
a capacidade do aluno de apreender.
Tem que se enfocar uma questão de pensamento matemático e da
generalidade do modelo em um ambiente computacional, através de softwares
próprios feitos por designers no ensino computacional para que os alunos possam
de maneira clara e prazerosa interagir com uma das disciplinas que mais geram
medo pelos que fazem parte do processo de aprendizagem.
A partir de teóricos e artigos que já defendem o assunto da informática na
educação, à luz da teoria destes, procurou-se identificar o quanto certos ambientes
informatizados são ferramentas de grande potencial no processo de ensinoaprendizagem. O que se pretendeu destacar é quão natural e intensa, se tomam,
nestes ambientes, as ações, reflexões e abstrações dos aprendizes.
O suporte oferecido por esses ambientes informatizados ajudam a superação
dos obstáculos inerentes ao próprio processo de construção do conhecimento por
parte do aluno. Aqui relatamos algumas vantagens que se vê de imediato no uso da
informática no ensino da Matemática. O computador torna-se uma ferramenta
extraordinária que visa simular, praticar ou vivenciar verdades matemáticas, de difícil
visualização por parte daqueles que desconhecem determinadas condições
técnicas, mas fundamentais à compreensão plena do que está sendo exposto.
Os computadores propiciam a criação de situações que possibilitam
reproduzir a forma de raciocinar e trabalhar de um aluno, ou seja, estimular a
investigação, a formulação de hipóteses, a simulação de situações tão pertinentes
ao trabalho do dia-a-dia.
O computador não pode ser mais ignorado pela escola. Ele é o símbolo e
principal instrumento do avanço tecnológico. No entanto, o desfio é colocar todo o
potencial dessa tecnologia a serviço do aperfeiçoamento do processo educacional,
aliado ao projeto da escola com o objetivo de preparar o futuro cidadão. Além desse
desafio, um outro surge como fundamental para que o potencial dessa tecnologia
contribua de forma efetiva para o processo educacional: o uso dos softwares
educativos, neste trabalho os matemáticos.
Mais importante que o software, em si, é o modo como ele é utilizado, pois
nenhum é, em termos absolutos, perfeito. A escolha do mesmo precisa se
fundamentar na proposta pedagógica da matemática da escola, visto que não se faz
uma proposta de ensino para usá-lo, ao contrário, escolhe-se o software em função
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da proposta de ensino adotada.
No que concerne à aprendizagem da Matemática, os softwares mais
proveitosos seriam aqueles que permitem uma grande interação do aluno com os
conceitos ou idéias matemáticas, propiciando a descoberta, inferindo resultados,
levantando e testando hipóteses e criando situações-problema. Por isso, a escolha
do software Cabri-Géomètre, que permite toda essa iteratividade com o aluno.
Histórico sobre razão Áurea
O número áureo recebe o nome de Phi em homenagem ao arquiteto grego
Phidias, construtor do Parthenon e que utilizou o número de ouro em muitas de suas
obras.
Algumas correntes místicas acreditam que objetos cujas dimensões estão
relacionadas a Phi harmonizam-se provocando a sensação de beleza e harmonia. O
homem sempre tentou alcançar a perfeição, seja nas pinturas, nos projetos
arquitetônicos ou até nos mapas.
O número áureo voltaria a ser aplicado mais tarde, principalmente nas
pinturas renascentistas, como se poderia observar em algumas obras de Leonardo
da Vinci.
O segmento áureo
O número áureo pode ser obtido por meio de um segmento, seguindo a
seguinte definição: se um ponto divide um segmento de reta em média e extrema
razão, se o mais longo dos segmentos é uma média geométrica entre o menor e o
segmento todo, então a razão do segmento menor com o segmento maior é a razão
áurea.
Isto pode ser exemplificado a partir da figura abaixo:
Figura 1
Pelo estudo das proporções podemos estabelecer que para que esse segmento
esteja dividido na razão Áurea podemos estabelecer que:
5
u
v
=
u+v u
Que pode ser escrito como
u v u
u
+ = , fazendo = x , temos
u u v
v
1+
1
= x x2 − x −1= 0
x
Essa equação apresenta duas raízes reais, que são
1− 5
≅ 0,618 e
2
1+ 5
x2 =
≅ 1,618 = Phi
2
x1 =
E portanto a relação
u
representa o segmento áureo.
v
A construção do segmento áureo por meio de régua e compasso, pode ser
feita da seguinte maneira:
Seja dado um segmento AB qualquer,
Obtendo o ponto médio de AB, colocando a ponta seca do compasso em um
extremo, abra-o até o outro extremo e trace um arco para cima e para baixo do
segmento da reta AB. Repita este procedimento com o outro extremo da reta, sem
alterar a abertura do compasso. Os pontos onde os arcos se cruzam devem ser
unidos por um segmento de reta (visto em vermelho) e posto onde este segmento
cruza o primeiro segmento AB, é o ponto médio de AB;
Figura 02
Traçando uma reta perpendicular a AB, passando por B com a metade do
comprimento de AB;
Figura 03
6
Traçando primeiramente a perpendicular a AB;
Figura 04
Com a ponta seca do compasso em B, abrir até o ponto médio M e traçar um arco
até que este cruze a reta perpendicular a AB;
Figura 05
Tem-se assim um novo segmento BC perpendicular a AB com exatamente a metade
do comprimento de AB.
Figura 06
Unindo o ponto C encontrado, temos o triângulo ABC;
Figura 07
Colocando a ponta seca do compasso no vértice C do triângulo e abrindo até o
ponto B. Usando este raio para marcar o ponto E na hipotenusa do triângulo;
7
Figura 08
Daí, finalmente com a ponta seca do compasso no vértice A, abrindo-o até o ponto E
marcado na hipotenusa e usando este raio para marcar o ponto D na primeira reta
AB. Este ponto é o ponto que divide o segmento AB em duas partes, onde o maior
segmento é 1,618... vezes o menor;
Figura 09
Com isto , é obtido o ponto D procurado.
Figura 10
Esse tipo de construção é validado a partir do seguinte argumento:
Se o lado AB do triângulo mede 1 unidade de comprimento, então o lado BC
mede a metade e obtemos a medida da hipotenusa pelo teorema de Pitágoras:
AC 2 = AB 2 + BC 2 , logo AC 2 = 1 +
1 5
5
= . Daí, AC =
.
4 4
2
E o ponto E na hipotenusa é marcado de forma que CE tenha o mesmo
comprimento que CB, ou seja,
1
, daí AE =
2
(
)
5 −1
.
2
Como o ponto D foi marcado na mesma distância de A, temos
AD = AE =
(
)
5 −1
2
Então temos que a proporção
AB
=
AD
(
)
5 +1
, que é o número áureo.
2
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Retângulo Áureo
Denominamos como qualquer retângulo áureo qualquer retângulo ABCD
como o da figura abaixo que apresentem a seguinte propriedade: caso seja retirado
deste um quadrado, por exemplo, o quadrado ABFE, o retângulo restante CDEF é
semelhante ao original.
Figura 11
Tomemos “a + b” e “a” como os comprimentos dos lados do retângulo original
da propriedade descrita para este retângulo, teremos a seguinte relação:
a
b
=
(a + b ) a
e fazendo uso da teoria das proporções, teremos que:
a
b
(a − b ) , ou seja b = (a − b )
= =
(a + b ) a (a + b ) − a
a
b
Em outras palavras, temos que o retângulo áureo de lados a+b e a é áureo,
então o retângulo de lados a e b também o é.
Tal procedimento é o mesmo para que se venha a calcular e verificar que
também são áureos os retângulos de lados b e a-b, a-b e b-a etc.
Figura 12
O processo de sua construção pode ser feito de forma semelhante a do
segmento Áureo.
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Espira Áurea
A espira logarítmica é também chamada de eqüiangular, pois corta todos os
raios vetores sob o mesmo ângulo é uma curva gerada por um ponto que caminha
em torno de um pólo. O ponto se desloca no raio vetor em progressão geométrica,
enquanto o raio polar gira em torno do pólo em progressão aritmética numa
sucessão de ângulos iguais.
Figura 13
Algumas aplicações
Vemos aplicações do número áureo desde a Antigüidade. No Egito Antigo,
em várias partes podia ser visto essa sua aplicação. Muitos hieroglíficos têm
proporções baseadas na razão áurea.
FIGURA 14
10
Na figura acima, vemos que a letra h é na verdade uma espira dourada. O
uso da mão e pé como hieroglíficos mostra que os egípcios eram cuidadosos com o
corpo como proporcional à razão áurea. Outros símbolos, como o p, e sh, são
retângulos áureos. Os egípcios usavam a razão áurea em sua escrita para tornar
mais fácil para aqueles que escrevessem o fazer com a mesma proporção.
Vemos que muitos dos retângulos desenhados são proporcionais aos
retângulos áureos.
A razão áurea também se mostra presente nos templos egípcios.
Figura 15
Na Grécia Antiga, também foi muito utilizado.
Construído muitas centenas de anos depois( entre 447 e 433 a. C.) , o
Partenon Grego , templo representativo do século de Péricles contém a razão de
Ouro no retângulo que contêm a fachada (Largura / Altura), o que revela a
preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. O escultor e arquiteto
encarregado da construção deste templo foi Fídias. A designação adotada para o
número de ouro é a inicial do nome deste arquiteto - a letra grega Phi
Figura 16
11
Conclusão
Vemos a importância da razão áurea no desenvolvimento da humanidade,
seja nas construções, nas observações da natureza ou na procura pela perfeição e
pelo belo, o número phi está sempre presente.
Ainda hoje ele se faz presente nos estudos e desenvolvimentos de novos
produtos que comumente seguem a razão áurea para que sejam visualmente
atrativos.
Torna-se, no entanto, difícil separar a eterna procura por relações com as
divindades, iniciada pelos gregos, com relações matemáticas concretas. Em muitas
situações, resultam em respostas não muito claras.
No entanto, é necessário analisar e considerar o phi com muita profundidade,
pois um valor que nos acompanha com tanta constância tem sua importância e
relevância. Também é certo que se precisa ter um cuidado redobrado para que não
se encontre relações onde não haja.
A incontestável presença da razão áurea na vida cotidiana já a coloca em
motivo de pesquisa. Quando se liga a tais questionamentos ela se torna ainda mais
importância, enigmática e fascinante.
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Referências Bibliográficas
[1] BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Universidade de São Paulo,
1974.
[2] EVES, Howard Tópicos de História da Matemática. São Paulo: Atual Editora
Ltda, 1997.
[3] LIVIO, Mario. A razão áurea. São Paulo: Record. 2006.
[4] Nóbriga, Jorge Cássio Costa. Aprendendo como o Cabri-Géomètre II e II-Plus
– volume único – Brasília: Ed. Do Autor, 2007.
[5] Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática Secretaria de Educação
Fundamental. – Brasília: MEC/ SEF, 1998
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