Guia do Professor
Audiovisual 12
Conteúdos Digitais
Alma Gêmea
Série Mundo da Matemática
Coordenação Geral
Elizabete dos Santos
Autores
Bárbara Nivalda Palharini Alvim Souza
Karina Alessandra Pessôa da Silva
Lourdes Maria Werle de Almeida
Luciana Gastaldi Sardinha Souza
Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino
Rodolfo Eduardo Vertuan
Revisão Textual
Elizabeth Sanfelice
Coordenação de Produção
Eziquiel Menta
Projeto Gráfico
Juliana Gomes de Souza Dias
Diagramação e Capa
Aline Sentone
Juliana Gomes de Souza Dias
Realização
Secretaria de Estado
da Educação do Paraná
DISTRIBUIÇÃO GRATUITA
IMPRESSO NO BRASIL
2
Audiovisual “O mundo da matemática”
Episódio 12 – “Alma Gêmea”
1 Introdução
No audiovisual “Alma Gêmea”, episódio 12 do programa “O Mundo da Matemática”,
Julia, Rafa e Julinho, decidem passar uma tarde no “Museu do Olho” e ver algumas obras
de arte em uma exposição recém-inaugurada na cidade. O vídeo oferece oportunidade
para discutir os conceitos de proporção áurea, sequência de Fibonacci, retângulo áureo,
bem como demonstrar a construção desse retângulo.
Nesse episódio é proposto um estudo da proporção áurea e da sua presença na história
da matemática, na arquitetura, em obras de arte, na música e na natureza.
1.1 Proporção Áurea e a Sequência de Fibonacci
A arte grega valorizava as ações humanas. O conhecimento, por meio da razão, esteve sempre acima da fé e das divindades. Os primeiros estudos matemáticos gregos tinham como objetivo compreender o lugar do homem no universo, de acordo com um
esquema racional. As mudanças no contexto sociocultural do país podiam ser notadas
nos temas e nas formas de apresentação das tragédias e das comédias gregas. Na arquitetura e na escultura buscavam, além da representação da natureza e do comportamento humano, a perfeição, um ideal de beleza, por meio do equilíbrio e da harmonia. O auge da arquitetura clássica ocorreu na época de Péricles, com a construção do
Parthenon (Figura 1), sob a direção de Ictinus e com a contribuição de Fídias (século
V a.C.). Nela observamos a razão áurea1.
Figura 1 - Parthenon
A proporção áurea, originalmente, foi concebida numa relação geométrica estabelecida entre áreas.
Figura 2 – Retângulo Áureo
1 A razão áurea é referida no início do VI livro de Euclides, Elementos, que aplica a teoria das proporções
eudoxiana. Hoje sabemos que a razão áurea é o número irracional
φ=
1+ 5
2
, que pode ser obtida divi-
dindo-se uma linha em duas partes de tal forma que a razão entre a linha original e a parte maior é igual à
razão da parte maior com a mais pequena (DEVLIN, 2002).
3
A área total do retângulo maior (ABCD) está para a área do quadrado (ABEF), assim
como a área deste quadrado está para a área do retângulo menor (CDFE).
AB. AC AB. AE
=
AB. AE EF .EC
Em seguida, a proporção áurea passou a ser concebida como relação entre segmentos.
a+b a
=
a
b
É nesse termo, como forma, e não como conceito de cálculo abstrato, que as noções
de proporção áurea fizeram parte dos conhecimentos artesanais de artistas, arquitetos e
construtores nas grandes civilizações antigas. O padrão da proporção áurea não é nada
óbvio, pois as subdivisões são desiguais e assimétricas. Segundo OSTROWER (1998), as
configurações da proporção áurea constituíram formas expressivas, cujas ordenações referiam-se a sentimentos de vida e de valores.
[...] desde o início esta proporção surgiu como que envolta numa áurea transcendental. Num misto de reverência e assombro ela foi denominada ‘proporção divina’,
‘corte de ouro’, ‘áurea’, sendo especificamente reservada para obras de cunho místico e de exaltação espiritual. E ao planejarem e executarem estas obras, em cada
mínimo detalhe, os artistas e arquitetos tinham plena consciência de que estavam
lidando com valores mais sublimes do ser humano” (OSTROWER, 1998, p.244).
Na Idade Média, Leonardo Fibonacci (c.a. 1175 – 1250) abstraiu o sentido concreto de
áreas, na proporção áurea, ao relacionar a ideia geométrica com uma sequência numérica, que ficou conhecida como a Sequência de Fibonacci. Obtemos essa sequência quando
começamos com 1 e formamos o número seguinte adicionando os dois números anteriores (com exceção do segundo termo que é o próprio 1). Assim a sequência começa {1, 1,
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...}. Chama-se Sequência de Fibonacci porque
Leonardo Fibonacci (século XII) estudou a existência desse padrão.
Algo que era sensível (áreas) foi transformado em algo que é puramente mental (relação entre medidas de segmentos).
A ideia tomou lugar da imagem, da configuração visual. As comparações de equivalência não se dão mais entre retângulos e quadrados, mas entre números.
Figura 3 – Retângulo Áureo e
a Sequência de Fibonacci
4
1.2 Construção de um retângulo Áureo
Um retângulo áureo pode ser construído a partir da divisão de uma circunferência em
dez partes iguais, como demonstrado a seguir.
Figura 4 – Circunferência dividida em dez partes iguais
Tomando-se três destas partes consecutivas obtém-se uma corda l correspondente ao
ângulo central obtido. Desse modo, obtém-se o lado maior do retângulo.
Figura 5 – Circunferência dividida em dez partes iguais e
representação da corda (lado
maior do retângulo áureo)
O raio do círculo é o lado menor.
Figura 6 – Circunferência
dividida em dez partes iguais,
representação da corda (lado
maior do retângulo áureo), e
do raio (lado menor do retângulo áureo)
5
Com estas medidas, constrói-se o retângulo áureo.
Figura 7 – Retângulo Áureo
A razão 1 é conhecida como número áureo.
a
Somente como curiosidade, apresentamos a seguir uma aproximação deste número
com 40 casas decimais, de modo a evidenciar a irregularidade da sequência de números
(número irracional):
A proporção áurea, observada na arte grega, foi utilizada por Leonardo da Vinci (1452
– 1519) em algumas de suas pinturas, como, por exemplo, na Mona Lisa (1504-1505).
Disponível em: <http://
monalisasegredo.blogspot.
com/2008/07/retangulo-aureo.
html>.
Acessado em 12 jul 2009
6
Isso inspirou Luca Pacioli a escrever o livro Divina Proporção, em 1509. Esse livro trata
do papel da razão áurea na geometria, arquitetura, música e natureza.
A proporção áurea pode ser observada ainda na moda, no design, veja algumas
ilustrações a seguir.
Na natureza
Disponível em:
<http://www.goldenmeangauge.co.uk/golden.htm>.
Acessado em 12 jul 2009.
No design
Disponível em:
<http://www.goldenmeangauge.co.uk/golden.htm>.
Acessado em 12 jul 2009.
7
Na moda
Disponível em:
<http://www.goldenmeangauge.co.uk/golden.htm>.
Acessado em 12 jul 2009.
Na arquitetura
Disponível em:
<http://www.goldenmeangauge.co.uk/golden.htm>.
Acessado em 12 jul 2009.
Objetivos
•
•
•
•
Encontrar o número de ouro a partir das dimensões de um retângulo áureo.
Construir um retângulo áurea.
Conhecer a proporção áurea e sua relação com as artes.
Relacionar a espiral logarítmica com o número de ouro e a Sequência de Fibonacci.
8
3 Sugestão de atividade
Após assistir ao vídeo o professor pode propor atividades que permitam aos alunos
refletir, questionar e aprofundar conchecimentos sobre os conteúdos abordados. A seguir
apresentamos algumas sugestões.
Atividade 1- Qual o valor do número áureo?
De acordo com o que foi apresentado no filme e na introdução desse guia, “O lado
maior do retângulo áureo está para o menor, assim como a soma de ambos está para o
maior”. Se chamarmos o lado maior de l e o lado menor de a, então, podemos escrever
esta proporção da seguinte maneira:
l l+a
=
a
l
l representa o número áureo.
a Qual o valor dessa razão?
Comentários para o professor:
O professor pode orientar os alunos a substituir l por x. Como l = l + a , se separarmos
a segunda fração: l = l + a , teremos: l = 1 + a .
a
l
a l l
a
a
l
Como o que nos interessa conhecer é precisamente a razão l , vamos substituí-la pela
a
variável x , de tal forma que se l = x , então a = 1 . Desta maneira nossa proporção, em
l x
a
termos de x, ficaria x = 1 + 1 .
x
Se multiplicarmos toda a equação por x obteremos uma igualdade sem denominadores. Assim, x2= x + 1
Reescrevendo esta equação de segundo grau x2 - x - 1 = 0, e aplicando a fórmula geral
para encontrar x:
x=
−(−1) ± (−1) 2 − 4(1)(−1)
2(1)
x=
1± 5
2
Encontramos dois possíveis valores para x que satisfazem a equação, no entanto, des-
prezamos o valor negativo como solução para a razão l , já que estamos nos referindo a
a
medida do lado de um retângulo. Desta maneira, o valor exato que encontramos para a
razão de ouro é dada por:
φ=
1± 5
2
9
Atividade 2- Proporção áurea no cotidiano
a) Investigar objetos do cotidiano nos quais seja possível observar a proporção áurea.
b) Investigar e selecionar obras de arte em que se pode verificar a proporção áurea.
Comentários para o professor:
O professor pode levar para a sala de aula figuras, fotos, reproduções de obras de
arte nas quais seja possível identificar a proporção áurea, ou orientar os estudantes na
pesquisa.
Atividade 3 – Construção de um retângulo áureo
Existem vários modos de se contruir um retângulo áureo. Na introdução desse guia
há uma dessas construções assumindo a circunferência como ponto de partida. Construa,
utilizando régua e compasso, um retângulo áureo a partir de um quadrado.
Comentários para o professor:
O professor pode orientar os alunos no processo de construção ou de pesquisa sobre
diferentes modos de se construir um retângulo áureo.
Apresentamos as seguir, uma dessas possibilidades.
Construa um quadrado de lado unitário.
Divida um dos lados do quadrado ao meio. O ponto F representa o ponto médio do
segmento CD.
10
Encontre o ponto E (ponto médio de AB) e una os pontos E e F.
Trace uma diagonal no retângulo BDFE do vértice F ao vértice oposto B e estenda a
base do quadrado ABDC.
Usando a diagonal como raio, trace um arco do vértice direito superior do retângulo à
base que foi estendida.
Pelo ponto (G) de interseção do arco com o segmento da base, trace um segmento
perpendicular à base. Estenda o lado superior do quadrado até encontrar este último
segmento para formar o retângulo AHGC, o retângulo áureo que se procurava.
Atividade 4 – Retângulo áureo e a espiral logarítmica
Existem conchas de moluscos que apresentam em sua forma uma auto-semelhança.
Na figura a seguir é possível observar um dessas conchas e uma espiral que a representa
(espiral logarítmica).
Disponível em:
< http://www.mat.uc.pt/~picado/
conchas/introd.html>. Acessado
em 10 ago. 2010.
11
A espiral logarítmica é uma espiral crescente, cuja curvatura aumenta em progressão
geométrica.
Tal espiral pode ser obtida a partir tanto da proporção áurea quanto da Sequência de
Fibonacci.
Utilizando régua e compasso, construa essa espiral logarítmica a partir do retângulo
áureo.
Comentários para o professor:
O professor pode sugerir que os alunos construam o retângulo áureo apresentado na
introdução.
O novo retângulo, construído a partir do retângulo inicial (vertical) está agora na posição horizontal. Nele podemos projetar o lado menor sobre o maior. Obtemos um quadrado e um retângulo, desta vez, vertical.
12
Repetindo este mesmo procedimento, continuaremos obtendo novos quadrados e retângulos, cada vez menores, desiguais, ora na vertical, ora na horizontal, de posições
alternadamente invertidas.
Se em cada um destes quadrados fizermos um arco de circunferência, obteremos a
espiral logarítmica, espiral encontrada na concha do caramujo Náutilus.
4 Avaliação
A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por
meio de questionamentos e preenchimento dos quadros. O professor pode aproveitar as
respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias.
5 Sugestões de sítios
Os sítios a seguir podem oferecer interessantes motivações para pesquisas:
http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=9561
http://www.youtube.com/watch?v=hWLAtn3KVw8
http://www.youtube.com/watch?v=2BRo7fFo0_c&NR=1
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm
http://www.goldenmeangauge.co.uk/golden.htm
http://www.goldenmeangauge.co.uk/index2.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm
6 Indicações de leituras
ATALAY, Bulent A Matemática e a Mona Lisa: a confluência da arte com a ciência. São
Paulo: Mercuryo, 2007.
ÁVILA, G. Retângulo Áureo e divisão áurea in: Explorando o Ensino da Matemática: artigos. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria da Educação Básica, v. 1, p. 109-116, 2004.
_______As Pirâmides do Egito e a Razão Áurea in: Explorando o Ensino da Matemática: artigos. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria da Educação Básica, v. 1,
p. 117-121, 2004.
HUNTLEY, H.E. A Divina Proporção: Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora
UnB, Brasília, 1985.
OSTROWER, F. A Sensibilidade do Intelecto. 5ª ed. Rio de Janeiro: Campus, 1998.
13
Condigital
Realização: