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Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line
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Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre
PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.4b. 2005.
Desenhos construídos por: Giuliano M. Belussi.
DESENHO GEOMÉTRICO – AULA 4T EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. DIVIDIR O SEGMENTO AB = 5 CM EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO E INDICAR
O SEGMENTO ÁUREO DE AB E TAMBÉM O SEGMENTO O QUAL AB É
ÁUREO.
Seja o segmento AB = 5 cm pertencente à reta s.
Encontre (M) o ponto médio de AB. Levante uma perpendicular (r) por B. Centre o
compasso em B e com abertura BM trace um arco que corte a reta (r) em O. Ligue os
pontos A e O construindo assim o triângulo retângulo AOB cujo cateto maior é AB,
cateto menor é AB/2 e hipotenusa é AB√5/2.
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Centre o compasso em O e com abertura igual à OB trace um arco que corta a
hipotenusa em C'. Com a ponta seca do compasso em A e abertura igual a AC' trace
um arco que corte AB no ponto C transferindo assim, a medida AC' para o segmento
AB.
Para encontrar o ponto D' que divide o segmento AB em extrema razão, passe por AO
uma semi-reta (t). Centre a ponta seca do compasso em O e com abertura OB trace
um arco que corte a reta (t) em D'. Coloque a ponta seca do compasso em A e com
abertura igual a AD' trace um arco que corte a reta (s) no ponto D transferindo assim,
a medida AD' para a reta suporte do segmento AB.
O ponto C' divide o segmento AB em média razão pois a medida AC' é igual a
AB/2 - AB√5/2.
O ponto D' divide o segmento AB em extrema razão pois a medida AD' é igual a
AB/2 + AB√5/2
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O segmento AC' é o segmento áureo de AB. O segmento AB é o segmento áureo de
AD'. A proporção áurea é: C'B/AC'=AC'/AB e BD'/AB=AB/AD'. Em outras palavras: "O
segmento menor resultante da divisão está para o maior assim como o segmento
maior está para o segmento todo"
2. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MAIOR DO
RETÂNGULO 5 CM
Seja o lado AB = 7 cm e C o ponto que divide o segmento AB em média razão.
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levante por A uma perpendicular (p). Centre o compasso em A e com abertura AC
trace um arco que corte a reta (p) em C. Com a ponta seca do compasso em C e
abertura AB trace um arco. Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com
abertura AC trace um arco que corte o arco anterior em D.
Obtemos assim o retângulo áureo ABCD cujo lado menor é o segmento áureo do lado
maior AB dado.
3. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MENOR DO
RETÂNGULO L=4 CM
Seja AB o lado menor do retângulo
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Levante por B uma perpendicular e com a ponta seca do compasso em B e abertura
igual a BA' trace um arco que corte a perpendicular no ponto A. Levante uma
perpendicular (r) à reta (s) por A' e encontre o ponto médio de BA' (M). Levante uma
perpendicular (t) por A encontrando assim o quadrado de lado AB.
Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MC trace um arco que corte a
reta (s) em D. Levante por D uma perpendicular (u) que corte a reta (t) em E
encontrando assim o retângulo áureo ABED, no qual o lado AB dado é o segmento
áureo do lado BD encontrado.
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Veja a resposta: retângulo ABED cujo lado dado AB é o segmento áureo do lado maior
encontrado BD.
4. INSCREVER UMA ESPIRAL EM UM RETÂNGULO ÁUREO
Seja um retângulo áureo ABCD. Transporte o segmento AC para o lado AB
encontrando o ponto F em AB. Levante uma perpendicular ao lado AB por F
encontrando o ponto G em CD. Com a ponta seca do compasso em G e abertura igual
à GC trace o arco CF.
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Transporte o segmento FB para o segmento FG encontrando o ponto I. Levante por I
uma perpendicular encontrando o ponto H em BD. Com a ponta seca do compasso em
I e abertura IF trace o arco FH. Transporte o segmento HD para o segmento IH
encontrando ponto L. Levante por L uma perpendicular encontrando o ponto J. Com a
ponta seca do compasso em L e abertura LH trace o arco HJ.
Transporte o segmento JG para o segmento JL encontrando o ponto R. Levante uma
perpendicular por R encontrando o ponto T. Com a ponta seca do compasso em R e
abertura igual a RJ trace o arco JT. Transporte o segmento TI para o segmento TR
encontrando o ponto V. Levante por V uma perpendicular encontrando o ponto U. Com
a ponta seca do compasso em V e abertura igual a VT trace o arco TU.
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Transporte o segmento UL para o segmento UV encontrando o ponto Y. Levante por Y
uma perpendicular encontrando o ponto Z. Com a ponta seca do compasso em Y e
abertura igual a YU trace o arco UZ. Para encontrar o pólo da espiral trace os
segmentos AD e GB.
5. INSCREVER UM PENTÁGONO ESTRELADO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA DE
RAIO 5 CM
Seja uma circunferência de diâmetros AB e CD. Com a ponta seca do compasso em B e
abertura igual ao raio da circunferência trace um arco que corte a circunferência nos
pontos 1 e 2.
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Ligue os pontos1 e 2 encontrando M o ponto médio do raio. Com a ponta seca do
compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o diâmetro AB no ponto E.
Ligue CE obtendo assim o lado L5 do pentágono regular inscrito na circunferência.
Para construir o pentágono coloque a ponta seca do compasso em C e com abertura
CE (L5) trace um arco que corte a circunferência em G e F. Depois coloque a ponta
seca em G e F e com a mesma abertura (L5) trace mais dois arcos encontrando H e I
respectivamente. Ligando os pontos CHFGIC consecutivamente teremos o pentágono
regular estrelado (pentagrama).
As diagonais se cruzam nos pontos que as dividem em média e extrema razão.
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6. RELACIONAR A CONSTRUÇÃO DO PENTÁGONO,
PENTAGRAMA COM A PROPORÇÃO ÁUREA.
DECÁGONO
E
Seja a circunferência de diâmetros AB e CD. Encontre M o ponto médio do raio OB e
com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o raio OA
no ponto E.
O segmento CE é igual ao L5 (lado do pentágono) inscrito na circunferência. O
segmento OE é igual ao L10 (lado do decágono) inscrito na mesma circunferência. O
triângulo OCM possui lados iguais a R e R/2 e hipotenusa x=R√5/2.
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Então, a medida OE que é o valor do L10 (lado do decágono) será igual a: R - R√5/2
que é o segmento áureo do raio. Com o valor L5 é possível encontrar os vértices
CFEGH do pentágono e com o valor L10 é possível encontrar os vértices CJIFEKNGH do
decágono.
Ligando as diagonais CGEFHC é possível de se traçar o pentagrama.
A relação áurea é a seguinte:
1. O segmento DO = L10 (lado do decágono) é segmento áureo do raio da
circunferência.
2. As diagonais do pentágono se cortam no ponto que as divide em média e extrema
razão.
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7. CONSTRUIR AS SÉRIES VERMELHA E AZUL DO “LE MODULOR”
SÉRIE AZUL
Seja AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente levantado sobre a
cabeça. Levante uma perpendicular por A e marque nela a metade de AB. Ligue BC
encontrando assim o triângulo ABC de lados AB, AB/2 e hipotenusa ABV5/2.
Com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que corte a
hipotenusa CB no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em B e com
abertura até onde o arco cortou a hipotenusa trace um outro arco que corte o lado AB
em D. Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto D encontrando na hipotenusa o ponto
E. Temos agora um novo triângulo BDE. Repita o processo e obterá um outro triângulo
BFG e assim sucessivamente dividindo todos os segmentos áureos resultantes em
média razão.
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SÉRIE VERMELHA
Seja AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente levantado sobre a
cabeça. Divida o segmento AB pela metade encontrando M o ponto médio de AB.
Construa dois triângulos retângulos nos quais o lado menor é igual à 1/4 do segmento
AB. Têm-se os triângulos ACM e MDB. Siga a mesma construção da série azul,
dividindo AM em média razão (Ponto F). Em seguida divida também MB em média
razão (ponto H). Continue a divisão áurea, agora para o segmento BH encontrando J.
Repita o processo para encontrar mais divisões áureas.
As duas séries azul e vermelha se intercalam da seguinte forma:
1. Os pontos F, M, H, J, .... da série vermelha dividem os segmentos AD, DF, FH...
da série azul pela metade.
2. Os pontos D, F, H... da série azul dividem os segmentos FM, MH, HJ...da série
vermelha em média razão.
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8. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ÁUREO DE BASE 8 CM E INSCREVER NELE
UMA ESPIRAL
Seja um pentágono inscrito em uma circunferência de diâmetro AB. Considerando as
diagonais FHI do pentágono, obtemos um triângulo áureo.
Seja o triângulo áureo FHI, isósceles cujos ângulos adjacentes à base medem 72 graus
e o ângulo oposto à base mede 36 graus. Para iniciar o traçado da espiral, trace a
bissetriz do ângulo FHI (reta s) que corta o lado iF no ponto J. O ponto J é o vértice do
ângulo FJH. Coloque a ponta seca do compasso em J e trace um arco. Em seguida,
trace a bissetriz do ângulo JIH (reta u) encontrando o ponto L no segmento JH.
Coloque a ponta seca em L e trace o arco HI. Trace a bissetriz do ângulo IJH. Com a
ponta seca do compasso em N trace o arco IJ. Trace a bissetriz do ângulo IJH. Com a
ponta seca do compasso em N trace o arco IJ. Trace a bissetriz (reta v) do ângulo JLI
encontrando P no segmento JN. Com a ponta seca do compasso em P trace o arco JL.
Trace a bissetriz (reta x) do ângulo LNJ encontrando Q no segmento LP. Com a ponta
seca do compasso em Q trace o arco LN. Depois trace a bissetriz do ângulo NPL
encontrando o ponto R no segmento NQ. Co a ponta seca do compasso em R trace o
arco NP. E assim sucessivamente até chegar ao pólo da espiral.
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BIBLIOGRAFIA
BRAGA, Theodoro . Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p.
HUNTLEY, H. E. A Divina Proporção - Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática.
Brasília : Editora Universidade de Brasília, 1985. 178p.
NEUFERT. A Arte de Projetar em Arquitetura.
RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho
Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.