Amostragem/Reconstrução
Reconstrução
Amostragem impulsiva
1
Teorema de Amostragem
xs (t )  xc (t )s(t )
Ou critério de Nyquist
Notar que:
2  (  )   ( f )
Transformada de um pente de diracs é um pente de diracs:
2
s(t )    (t  nT )  S ( j) 
T
k  

TF

 (  k.
k  
S
)
1
1 
X S ( j) 
X C ( j) * S ( j)   X C ( j (  k. S ))
2
T k 
O espectro do sinal
amostrado é uma soma de
réplicas do sinal continuo
deslocadas na frequência.
  2 f / f a
  2 f
A reconstrução do sinal contínuo é
possível desde que:
S  2N  Fa  2FN
2
Teorema de Amostragem
xs (t )  xc (t )s(t )
Amostragem
impulsiva
Sem Sobreposição
espectral
(sem aliasing)
Espectro do sinal
contínuo
Espectro de uma
sequência de
diracs
Amostragem
Com Sobreposição
espectral (aliasing)
3
Aliasing
 Cos[(2-)n+]=Cos[-n+]=Cos[n-]

0< 

Dois sinais analógicos diferentes têm a mesma representação digital:

para n inteiro
Cos[(2fA-2f) t + ] e Cos[2f t - ]
t  nT  n  t f A
 Implica perca de informação a não ser que não seja possível
encontrar alguns dos sinais referidos na entrada, nomeadamente se
as frequências do sinal de entrada estiverem limitadas a fA/2.
4
Teorema de Amostragem
 Ou seja



Se o sinal original estiver limitado a frequências inferiores a fA/2 é possível
reconstruir o sinal original a partir do amostrado (com um filtro passa
baixo) e não há perca de informação.
Se o sinal não estiver limitado a frequências inferiores a fA/2 existem
diversas frequências analógicas que correspondem á mesma frequência
digital (aliasing), pelo que há perca de informação.
Conclusão: não há perca de informação quando
amostramos um sinal real analógico arbitrário com
largura de banda B, se e só se fA >2B
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Reconstrução
Amostragem
Reconstrução
É possível
através de um
filtro passa
baixo desde
que não exista
sobreposição
espectral
S  2 N
6
Reconstrução
xs (t ) 

 x[n] (t  nT )
k  
y(t )  xs (t ) * h(t ) 

 x[n]h(t  nT )
k  
Vale zero nos pontos
correspondentes às
restantes amostras
Soma de
Sincs
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Frequência de amostragem
 Na prática, dependendo da aplicação, a
frequência de amostragem deve ser maior do que
2B, por exemplo Fa=4B
 Tal permite filtros de reconstrução e de antialiasing menos selectivos, e mais fácil de
implementar na prática.
8
Sub/Sobre-Amostragem
Teorema da Amostragem
( B < (2/M)/2 )
 Sub Amostragem: Redução
da frequência de amostragem.
v[n]  x[ M .n]
 Sobre Amostragem:
Aumento da frequência de
amostragem.
v[n] 

  [n  kM ]x[k ]
k  
Nota: não é, em geral,
equivalente a amostrar a uma
frequência superior
1
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
35
40
1
0
-1
0
5
10
15
20
25
30
9
Processamento de Sinais
contínuos
Filtro AntiSobreposição de
espectro
Amostragem e
retensão
Conversor
Analógico para
Digital
Processador
Digital de Sinais
Filtro de
reconstrução
retenção de
ordem zero
Anti-aliasing filter
Sample and Hold
(SH)
Conversor Digital
para analógico
Analog to Digital
(A/D)
DSP
Reconstruction
Filter
Zero Order Hold
(ZOH)
Digital to Analog
(DA)
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Relação entre a DTFT e FT
A DTFT resulta da Transformada de Fourier quando
consideramos o sinal no tempo formado por uma série de diracs
xc (t ) 

 x[k ] (t  kT )
k  




k  



k  
k  
X(f ) 
  2f / f a
  2 f
 2 f t
 2 f t
x
(
t
)
e
dt

x
[
k
]

(
t

kT
)
e
dt 
 

 2 f k T
 k
j
x
[
k
]
e

x
[
k
]
e

H
(
e
)


11
Relação entre a DTFT e FT
A FT também pode ser derivada da DTFT quando
o intervalo de amostragem tende para zero!


lim H T (e j ) T  lim
T 0
T 0

 j k
x
[
k
]
e
T
 T
k  

lim
T 0
x
k  
C
(kT )e
 j f A kT
T

 t
x
(
t
)
e
dt  H ()
 C

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Resposta em Frequência
 O processamento de sinais contínuos através de
sistemas discretos (digitais) conduz a sistemas que
são apenas aproximadamente invariantes no
tempo!
  2f / f a
xs (t )  xc (t )s(t )
 No entanto quando podemos aplicar o critério de Nyquist:

Ys ( f )
 H s ( f )  H A ( f ) H(e jω )
f

 2π
ω
Xs( f )
fa

Frequência
normalizada

H R ( f )


H A ( f ),- Filtroanti- sobreposição de espectro
H ( f )  H(e jω )
f ,- Respostaem frequênciado sistema discreto
ω 2 π
fa
H R ( f ),- Filtrode reconstrução
  2 f
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Aproximação de invariancia no tempo
 Os sistemas de Processamento digital de sinais contínuos são
apenas aproximadamente invariantes no tempo:


Os sinais devem estar dentro do limite de Nyquist limitados pelos filtros de
anti-aliasing ou de reconstrução.
Tal pode implicar duas coisas:


Que o atrasos do filtro é consideravelmente maior que o período de
amostragem. Para filtros muito selectivos o atraso será grande. Se os filtros não
forem muito selectivos então o sinal fora da banda é reflectido para dentro da
banda resultando em ruído de medição. Os filtros utilizados na prática
dependem da aplicação.
Os sinais variam lentamente quando comparados com o período de amostragem
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Exemplo: Implementação de um
Atraso Fraccionário
 Atraso Fraccionário: Um atraso que não é múltiplo da
frequência de amostragem. nT
Assumindo filtros de anti-aliasing e de reconstrução ideais:
1
h[n] 
2

 e
 j  / f a

sin  (n   / T ) 
d 
 (n   / T )
H S ( f )  e2 f   H (e j )  e / fa
O que corresponde a um impulso para atrasos
inteiros, e a um sinc amostrado para atrasos
fraccionários.
1
0.5
Notar que é possível facilitar muito a
implementação se não se exigir a
correspondência ao atraso em toda a banda.
0
-0.5
0
5
10
15
20
15
Modelação e desmodelação
Sinal
digital
DSP
A/D
Filtro de
reconstrução
Canal
Sinal
digital
DSP
D/A
Filtro antialiasing
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Amostragem e Retenção
 A reconstrução é muitas vezes efectuada utilizando
retentores de ordem zero.
Amostragem
Retenção de
ordem zero
(ZOH)
17
ZOH
 ZOH
 Saída é convulsionada,
t
y(t )  y' (t ) * rect 
T 
Y  f   Y '  f T sinc f / T 
 Se necessário o efeito pode ser eliminado pre-filtrando o sinal por um filtro cuja
função de transferência seja a inversa deste na banda de passagem!
Ex:
Fa = 400 Hz
B = 80 Hz
Amplitude
1
ZOH
Sinal digital
0.5
0
0
100
200
resultado
300
400
500
600
Frequencia (Hz)
700
800
900
1000
18
Amostragem de Sinais Passa-banda
Sinal Real
B
Amostragem
para certos valores da frequência
central e da largura de banda
(tal como na figura)
Distância entre
réplicas: 2B = Fa
Em qualquer caso é pelo menos necessário que Fa>2B
Replicando
separadamente
as frequências
positivas e
negativas
Para sinais
complexos
temos Fa>B!
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