Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 11 –
Amostragem e Reconstrução
Carlos Cardeira
Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and
Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya),
maioritariamente baseados na informação pública disponível em
http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.html
Codificação e Descodificação
Imagem
Audio
TV
Fax
Telefone
…
{0,1}
Codific.
{0,1}
Canal
Descod.
Imagem
Audio
TV
Fax
Telefone
…
O Codificador transforma qualquer sinal em 0s e 1s,
e o descodificador realiza a operação inversa.
Entre o sinal original e o sinal reconstituído deve
ser preservada alguma medida de qualidade
Canal de Comunicação

Características
BitRate – 56Kbps, 4Mbps, 1Gbps
 Taxa de Erro - 10-12(Fibra óptica) 10-3 (GSM)

Original

Características
N elementos do Alfabeto
 2^(número de bits)<N

Amostragem
x:Reais→Complexos
SamplerT
y:Inteiros→Complexos
Y=SamplerT(x)
n, y(n)=x(nT)
Unidades:
T: segundos por amostra
N: amostras
nT: segundos
Amostragem de uma sinusoide
t , x(t )  cos(2 ft )
Amostrando _ com _ período _ T :
t , x(nT )  cos(2 fnT )
se :
t , u (t )  cos(2 ( f  f s )t )
 
1 
n, u (nT )  cos  2  f   nT   x(nT )
T 
 
“Aliasing”
Sinusóides com frequência f e f+kfs têm
as mesmas amostras.
 Por isso não se poderão reconstituir
sinais de frequências superiores a fs.
 A este fenómeno chama-se
“aliasing”

Exemplo

Se a Frequência de Amostragem for de 8khz,
os seguintes sinais terão as mesmas amostras:








Sinusóide de 500 Hz; 8500Hz;-7500Hz
Sinusóide de 1000 Hz; 9000Hz;-7000Hz
Sinusóide de 3500 Hz; 11500Hz;-5500Hz
Ver as demos:
http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week13/aliasing.html
http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week13/images.html
http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week13/Moire Patterns.html
http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week13/fonts.html
http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week
13/aliasing.html
A sinusoide é amostrada a uma dada
frequência. Ouve-se o sinal amostrado.
 À medida que a frequência do sinal
aumenta a frequência do sinal
amostrado aumenta também.
 Mas quando se passa metade da
frequência de amostragem, a frequência
do sinal amostrado começa a baixar por
efeito de “aliasing”

http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week
13/images.html
A imagem mostra uma sinusóide.
 À medida que a frequência da sinusóide
aumenta a frequência do sinal
amostrado aumenta também.
 Mas quando se passa metade da
frequência de amostragem, a frequência
do sinal amostrado começa a baixar por
efeito de “aliasing”

http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week
13/Moire patterns.html
A imagem mostra um conjunto de linhas
que têm origem no mesmo vértice.
 À medida que se aumenta o número de
linhas, junto ao vértice a frequência
aumenta.
 A partir de certa frequência começam a
aparecer componentes de mais baixa
frequência junto ao vértice devido ao
fenómeno de aliasing.

http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week
13/fonts.html



A imagem mostra um “w” ideal e a sua
amostragem.
Como o w ideal tinha muitas frequências,
parte delas perde-se na amostragem.
Se antes de amostrarmos o “w” retirarmos as
componentes de alta frequência, o sinal
amostrado já se parece mais com o original,
pois evitamos o fenómeno de aliasing.
“Anti-aliasing”
Para evitar fenómenos de “aliasing”
indesejáveis é necessário filtar o sinal
antes de o amostrar.
 Este procedimento é muito usado em
aquisição de sinais, pois se o sinal
tivesse ruído com frequência superior a
metade da frequência de amostragem,
esse ruído viria a perturbar o sinal
efectivamente lido.

Reconstrução



Temos um conjunto de sinais amostrados.
Queremos reconstruir o sinal contínuo em
função das amostras
Varios sinais originais poderiam corresponder
ao mesmo sinal amostrado.
Reconstrução



A reconstrução de y(n) em y(t) faz-se em
várias fases:
São atribuídos instantes de tempo nT para
cada amostra.
Cria-se um sinal w(t) que em cada instante nT
tem um delta de Dirac com a amplitude igual
ao valor de y(n)

t , w(t ) 
 y(k ) (t  kT )
k 
Reconstrução
y(n)
t , w(t ) 

 y(k ) (t  kT )
k 
w(t)
Reconstrução

A esta série de impulsos e aplicado um
sistema linear (por exemplo, um filtro
passa baixo) que “reconstituirá” o sinal.
Reconstrução
Caracteristicas necessárias à
Resposta Impulsiva do LTI
Exemplos de LTI usados para
reconstrução
Exemplos de LTI usados para
reconstrução (cont.)
Exemplos de LTI usados para
reconstrução (cont.)
Exemplos de LTI usados para
reconstrução (cont.)
A interpolação ideal faz com que o sinal
final não tenha componentes de
frequência fora do intervalo –T e T.
 Neste sentido pode ser considerada
“ideal” porque não gera frequências que
o sinal não tinha.
