CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DE RACIOCÍNIO LÓGICO - CONCURSO 2012 DA POLÍCIA FEDERAL
1 Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3
Lógica sentencial (ou proposicional): proposições simples e compostas; tabelas-verdade; equivalências;
leis de De Morgan; diagramas lógicos. 4 Lógica de primeira ordem. 5 Princípios de contagem e
probabilidade. 6 Operações com conjuntos. 7 Raciocínio lógico envolvendo problemas
aritméticos, geométricos e matriciais.
O acréscimo dos itens em negrito no recente edital da Polícia Federal para Agente e Papiloscopista pode ter
surpreendido muitos candidatos, principalmente os que creram nos boatos de supressão da disciplina
Raciocínio Lógico. Para auxiliar os que já vem se preparando há algum tempo e foram surpreendidos com
este acréscimo sugiro estudar, conforme abaixo, pelo meu livro “Matemática Básica para Concursos”,
publicado pela Editora Ferreira, o qual tem muitas questões resolvidas e comentadas, sabendo que:
O capítulo 2 atende ao item 6. Operações com conjuntos;
O capítulo 1 atende ao item 7. Raciocínio Lógico envolvendo problemas aritméticos;
O capítulo 6 atende ao item 7. Raciocínio Lógico envolvendo problemas geométricos;
O resumo a seguir atenderá ao item 7. Raciocínio Lógico envolvendo problemas matriciais.
Lembrando que este resumo também poderá ser útil para o próximo concurso da Receita Federal, visto que
o assunto é cobrado em Raciocínio Lógico no cargo de Auditor. Por isso, incluí algumas questões ESAF,
além de algumas de testes ANPAD.
MATRIZES:
Denominamos matriz real do tipo m x n a toda tabela formada por m x n números reais dispostos em
m linhas e n colunas. Exemplos:
⎡2 5 8 ⎤
1) A = ⎢
é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas;
⎥
⎣ 1 4 10⎦ 2 x3
0⎤
⎡ π
2) B = ⎢
é uma matriz quadrada de ordem 2 (2 linhas e 2 colunas);
5 ⎥
−
2
,
4
⎢⎣
3 ⎥⎦ 2 x 2
⎡2
4
3⎤
⎢
⎥
3) C = ⎢ 5 6
é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 linhas e 3 colunas);
9 ⎥
⎢ 8 10 12 ⎥
⎣
⎦ 3 x3
Nesta última matriz vemos que os elementos 2, 6 e 12 formam a diagonal principal, enquanto os
elementos
3 , 6 e 8 formarão a diagonal secundária.
Matriz quadrada: Como já foi visto nos exemplos anteriores, uma matriz é quadrada quando o
número de linhas e de colunas for igual. Diz-se que é uma matriz quadrada de ordem n, onde n é o número
de linhas e colunas.
Matriz linha: É a matriz formada por uma única linha.
Exemplo: [1 4 3 5]1x 4 .
Matriz coluna: É a matriz formada por uma única coluna.
⎡ 1⎤
⎢ ⎥
Exemplo: ⎢4⎥
⎢⎣0 ⎥⎦
3 x1
Matriz nula: É a matriz em que todos os elementos são iguais a zero.
⎡0 0⎤
Exemplo: ⎢
⎥
⎣0 0⎦ 2 x 2
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Pedro Bello
Página 1
Matriz transposta: Para encontrarmos a matriz transposta de uma matriz qualquer, basta
transformarmos as suas linhas em colunas e suas colunas em linhas.
⎡a b c ⎤
;
Exemplo: Seja a matriz A dada por: A = ⎢
⎥
⎣ 1 2 3⎦ 2 x3
⎡a 1⎤
⎢
⎥
A matriz transposta de A será dada por: A = ⎢b 2⎥
;
⎢⎣c 3⎥⎦
3x2
t
Matriz simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando é igual à sua matriz
transposta, ou seja, A = A t .
⎡1 3⎤
⎡ 1 3⎤
t
t
Por exemplo: A = ⎢
⎥ e A =⎢
⎥ ⇒ A = A . Portanto a matriz A é simétrica.
⎣3 5⎦
⎣3 5⎦
Matriz anti-simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é anti-simétrica se: A = − A t .
⎡0 − 3⎤
⎡0 − 3⎤
⎡ 0 3⎤
t
t
Por exemplo: A = ⎢
⎥ ⇒ A =⎢
⎥ = A.
⎥ ⇒ −A =⎢
⎣3 0 ⎦
⎣3 0 ⎦
⎣− 3 0⎦
Matriz genérica de m linhas e n colunas:
⎡ a11 a12 a13
⎢
⎢ a21 a22 a23
⎢ a31 a32 a33
⎢
Seja a matriz A = ⎢ .
.
.
⎢ .
.
.
⎢
.
.
⎢ .
⎢a
a
a
m3
⎣ m1 m2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. a1n ⎤
⎥
. a2n ⎥
. a3n ⎥
⎥
.
. ⎥
.
. ⎥
⎥
.
. ⎥
. amn ⎥⎦mxn
Teremos que:
a11 é o elemento situado na 1ª linha e 1ª coluna;
a12 é o elemento situado na 1ª linha e 2ª coluna;
a13 é o elemento situado na 1ª linha e 3ª coluna;
a1n é o elemento situado na 1ª linha e n-ésima coluna;
a21 é o elemento situado na 2ª linha e 1ª coluna;
a22 é o elemento situado na 2ª linha e 2ª coluna;
a23 é o elemento situado na 2ª linha e 3ª coluna;
a2n é o elemento situado na 2ª linha e n-ésima coluna;
a31 é o elemento situado na 3ª linha e 1ª coluna;
a32 é o elemento situado na 3ª linha e 2ª coluna;
a33 é o elemento situado na 3ª linha e 3ª coluna;
a3n é o elemento situado na 3ª linha e n-ésima coluna;
am1 é o elemento situado na m-ésima linha e 1ª coluna;
am2 é o elemento situado na m-ésima linha e 2ª coluna;
am3 é o elemento situado na m-ésima linha e 3ª coluna;
amn é o elemento situado na m-ésima linha e n-ésima coluna;
Igualdade entre matrizes: Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, são do mesmo tipo
m x n e os elementos correspondentes são iguais.
a12 ⎤
b12 ⎤
⎡a
⎡b
; B = ⎢ 11
.
Exemplo: A = ⎢ 11
⎥
⎥
a
a
b
b
22 ⎦ 2 x 2
22 ⎦ 2 x 2
⎣ 21
⎣ 21
Se:
a11 = b11 ;
a12 = b12 ;
a 21 = b 21 ;
a 22 = b 22 ;
Então temos A = B.
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Página 2
Operações com matrizes
1) Adição e Subtração:
Só estão definidas para matrizes de mesmo tipo m x n.
⎡1 3⎤
⎡− 4 1⎤
Exemplos: Sejam A e B duas matrizes dadas por A = ⎢
⎥ eB=⎢
⎥;
⎣2 5 ⎦
⎣ 1 2⎦
Para efetuar a soma das duas matrizes, basta somar cada elemento com o seu correspondente na
outra matriz, ou seja: a11 + b11, a12 + b12, a21 + b21 e a22 + b22.
Idem para a diferença, basta subtrair de cada elemento o seu correspondente na outra matriz.
Assim:
⎡− 3 4⎤
A +B = ⎢
⎥;
⎣ 3 7⎦
⎡5 2⎤
A −B = ⎢
⎥;
⎣ 1 3⎦
⎡ − 5 − 2⎤
B−A = ⎢
⎥
⎣ − 1 − 3⎦
Veja que, para a soma, vale a propriedade comutativa, A + B = B + A, o que não ocorre para a
diferença, pois A – B ≠ B – A.
2) Multiplicação por uma constante:
Todos os elementos serão multiplicados pela constante.
⎡ 6 18 ⎤
⎡ 1 3⎤
Exemplo: A = ⎢
⎥;
⎥ ⇒ 6A = ⎢
2
5
⎣12 30⎦
⎣
⎦
3) Produto de duas matrizes:
Condição para a existência Æ O número de colunas da 1ª deve ser igual ao número de linhas da 2ª.
A matriz gerada terá o número de linhas da 1ª e o número de colunas da 2ª.
Exemplos: Suponhamos duas matrizes A e B.
⎡. . . .⎤
⎡. . .⎤
⎡. . . .⎤
⎢
⎥
e
⇒ A ⋅B = ⎢
(existe o produto).
B
=
A=⎢
⎥
⎥
⎢. . . .⎥
.
.
.
. . . .⎦ 2x 4
⎣
⎦ 2 x3
⎣
⎢⎣. . . .⎥⎦
3x4
3=3
2x4
Será a dimensão da
matriz resultante do
produto
⎡. . . .⎤
⎡. . .⎤
⎢
⎥
Já o produto B ⋅ A , não existirá, pois B = ⎢. . . .⎥
e A=⎢
⇒ ∃/ B ⋅ A .
⎥
. . .⎦ 2 x3
⎣
⎢⎣. . . .⎥⎦
3x4
4≠2
OBS.: Para duas matrizes quadradas sempre existirá o produto.
Forma de efetuar o produto: Vamos fazer um exemplo.
⎡a b⎤
⎡(ap + br )
⎡p q⎤
Sejam A e B duas matrizes dadas por A = ⎢
⎥ e B=⎢
⎥ ⇒ A ⋅ B = ⎢(
⎣c d⎦
⎣ cp + dr )
⎣ r s⎦
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(aq + bs)⎤
(cq + ds)⎥⎦
Página 3
Basta lembrar os elementos da matriz genérica de uma matriz 2x2 e ver que na matriz resultante:
⎡a11 a12 ⎤
⎥
⎢
⎣a 21 a 22 ⎦
a11 é o elemento da 1ª linha e 1ª coluna e será o resultado da multiplicação da 1ª linha da primeira
matriz (A) pela 1ª coluna da segunda matriz (B). Assim:
⎡a b⎤
⎡p q⎤
⎡(ap + br ) .⎤
A=⎢
⎥ e B=⎢
⎥ ⇒ A ⋅B = ⎢
⎥
.
.⎦
⎣c d⎦
⎣ r s⎦
⎣
a12 é o elemento da 1ª linha e 2ª coluna e será o resultado da multiplicação da 1ª linha da primeira
matriz (A) pela 2ª coluna da segunda matriz (B). Assim:
⎡a b⎤
⎡p q⎤
⎡.
A=⎢
⎥ e B=⎢
⎥ ⇒ A ⋅B = ⎢
⎣c d⎦
⎣ r s⎦
⎣.
(aq + bs)⎤
.
⎥
⎦
a21 é o elemento da 2ª linha e 1ª coluna e será o resultado da multiplicação da 2ª linha da primeira
matriz (A) pela 1ª coluna da segunda matriz (B). Assim:
.
.⎤
⎡a b⎤
⎡p q⎤
⎡
A=⎢
⎥ e B=⎢
⎥ ⇒ A ⋅ B = ⎢(
⎥
⎣c d⎦
⎣ r s⎦
⎣ cp + dr ) .⎦
a22 é o elemento da 2ª linha e 2ª coluna e será o resultado da multiplicação da 2ª linha da primeira
matriz (A) pela 2ª coluna da segunda matriz (B). Assim:
⎡a b⎤
⎡p q⎤
⎡.
A=⎢
⎥ e B=⎢
⎥ ⇒ A ⋅B = ⎢
⎣c d⎦
⎣ r s⎦
⎣.
⎤
(cq + ds)⎥⎦
.
⎡p q⎤
⎡a b⎤
E, portanto, o produto de A = ⎢
⎥ será:
⎥ por B = ⎢
c
d
⎣ r s⎦
⎣
⎦
⎡(ap + br )
A ⋅B = ⎢
⎣(cp + dr )
(aq + bs)⎤
.
(cq + ds)⎥⎦
4) Potenciação de matrizes:
Só é possível para matrizes quadradas de qualquer ordem n, sendo o expoente inteiro e não
negativo. Basta fazer o produto, por exemplo:
A2 = A ⋅ A ;
A3 = A2 ⋅ A ;
A 4 = A 3 ⋅ A e assim por diante, logo: A x + 1 = A x ⋅ A .
⎡1 3⎤
Vejamos um exemplo numérico: seja A = ⎢
⎥ . Então:
⎣2 5 ⎦
⎡ 1 3⎤ ⎡1 3⎤ ⎡ 1 + 6 3 + 15 ⎤ ⎡ 7 18⎤
A2 = A ⋅ A = ⎢
⎥= ⎢
⎥=⎢
⎥⋅⎢
⎥;
⎣2 5⎦ ⎣2 5⎦ ⎣2 + 10 6 + 25⎦ ⎣12 31⎦
⎡ 7 18⎤ ⎡ 1 3⎤ ⎡ 7 + 36 21 + 90 ⎤
⎡43 111⎤
A3 = A2 ⋅ A = ⎢
⎥ = ⎢
⎥=⎢
⎥⋅⎢
⎥;
⎣12 31⎦ ⎣2 5⎦ ⎣12 + 62 36 + 155 ⎦
⎣74 191⎦
Matriz Diagonal: Quando são nulos todos os elementos que não pertencem à diagonal principal de
uma matriz quadrada. Por exemplo, para uma matriz 4x4:
0
⎡a11
⎢
0 a 22
A=⎢
⎢ 0
0
⎢
0
⎣ 0
0
0
a 33
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
a 44 ⎦
0
0
0
Somente os elementos da diagonal principal são diferentes de zero.
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Matriz Identidade: É a matriz quadrada de ordem n em que os elementos da diagonal principal são
iguais a 1 e todos os demais são iguais a 0 (zero).
Exemplos:
⎡ 1 0⎤
I2 = ⎢
⎥;
⎣0 1⎦
⎡1
⎢
0
I4 = ⎢
⎢0
⎢
⎣0
⎡1 0 0⎤
⎥
⎢
I3 = ⎢0 1 0⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
0 0 0⎤
⎥
1 0 0⎥
0 1 0⎥
⎥
0 0 1⎦
Propriedade: Uma propriedade muito importante é que qualquer matriz, multiplicada pela matriz
identidade, resultará nela mesma, ou seja: A ⋅ In = A
Matriz Inversa: Só existe a matriz inversa se, e somente se, o produto da matriz pela sua inversa
resultar numa matriz identidade, ou seja: A ⋅ A −1 = In , onde A −1 é a matriz inversa da matriz A e In é a
matriz identidade de ordem n.
⎡ 1 2⎤
Exemplo 1: Verificar se a matriz A = ⎢
⎥ é inversível e obter a sua inversa.
⎣2 3 ⎦
Se existe a inversa de A, seu produto pela matriz A resultará na matriz identidade, ou seja,
A⋅A
−1
= I 2 . Então, fazemos:
⎡ 1 2⎤ ⎡a b⎤ ⎡1 0⎤
⎢
⎥⋅⎢
⎥=⎢
⎥.
⎣2 3⎦ ⎣c d⎦ ⎣0 1⎦
Obteremos:
a + 2c = 1;
2a + 3c = 0;
b + 2d = 0;
2b + 3d = 1;
Resolvendo o 1° sistema de equações, obteremos c = 2 e a = −3;
Resolvendo o 2° sistema de equações, obteremos d = −1 e b = 2;
⎡− 3 2 ⎤
Obtivemos solução para os sistemas, logo existe a inversa de A, dada por A −1 = ⎢
⎥.
⎣ 2 − 1⎦
⎡1
Exemplo 2: Verificar se a matriz B = ⎢
⎣2
⎡ 1 0⎤ ⎡a b⎤
B ⋅ B −1 = I 2 . Fazendo: ⎢
⎥⋅⎢
⎥=
⎣2 0⎦ ⎣c d⎦
0⎤
⎥ é inversível e obter a sua inversa.
0⎦
⎡ 1 0⎤
⎢
⎥.
⎣0 1⎦
Obteremos:
a = 1;
2a = 0;
b = 0;
2b = 1
Sistemas que não tem solução única e, portanto, não existe a matriz inversa de B.
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DETERMINANTES:
Determinante de matriz 2 x 2:
a12 ⎤
⎡a
Dada a matriz A = ⎢ 11
, o determinante de A é o número a11 ⋅ a 22 − a 21 ⋅ a12 , que
⎥
⎣a 21 a 22 ⎦ 2 x 2
vamos representar por det A.
Também indicamos:
det A =
a11
a12
a 21 a 22
−
= a11a 22 − a 21a12 .
+
⎡ 5 3⎤
Exemplo: Se A = ⎢
⎥ , então det A = 10 − ( −12) = 10 + 12 = 22 .
⎣ − 4 2⎦
Determinante de matriz 3 x 3:
⎡a11 a12
⎢
Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, dada por A = ⎢a 21 a 22
⎢⎣a 31 a 32
a13 ⎤
⎥
, definimos o
a 23 ⎥
a 33 ⎥⎦ 3 x3
determinante de A como:
(a11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 ) + (a12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 ) + (a13 ⋅ a 21 ⋅ a 32 ) − (a 31 ⋅ a 22 ⋅ a13 ) − (a 32 ⋅ a 23 ⋅ a11 ) − (a 33 ⋅ a 21 ⋅ a12 )
Uma maneira prática de efetuar essa operação é aplicando a Regra de Sarrus, como podemos ver a
seguir.
Regra prática de Sarrus:
Dada a matriz quadrada A de ordem 3:
⎡a11 a12
⎢
A = ⎢a 21 a 22
⎢⎣a 31 a 32
a13 ⎤
⎥
a 23 ⎥
a 33 ⎥⎦
1) Repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz;
a11
a12
a13 a11
a12
a 21 a 22
a 23 a 21 a 22
a 31 a 32
a 33 a 31 a 32
2) Multiplicamos os três elementos da diagonal principal ( a11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 ) e os das diagonais à direita
da principal. Os produtos obtidos nessas diagonais terão o sinal positivo;
a11
a12
a 21 a 22
a 31 a 32
a13 a11
a12
a 23 a 21 a 22
a 33 a 31 a 32
+
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+
+
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Página 6
3) Multiplicamos os três elementos da diagonal secundária ( a 31 ⋅ a 22 ⋅ a13 ) e os das diagonais à
direita desta. Os produtos obtidos nessas diagonais terão o sinal negativo;
a11
−
a12
a13 a11
a12
a 21 a 22
a 23 a 21 a 22
a 31 a 32
a 33 a 31 a 32
−
−
+
+
+
4) Somamos os seis produtos obtidos, considerando os sinais, para obter o determinante da matriz A.
(a11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 ) + (a12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 ) + (a13 ⋅ a 21 ⋅ a 32 ) − (a 31 ⋅ a 22 ⋅ a13 ) − (a 32 ⋅ a 23 ⋅ a11 ) − (a 33 ⋅ a 21 ⋅ a12 )
⎡3 4 3⎤
⎢
⎥
Exemplo: Calcular o determinante da matriz A = ⎢1 5 6⎥ .
⎢⎣2 1 2⎥⎦
Aplicando a Regra de Sarrus, ficamos com:
3 4 3 3 4
1 5 6 1 5
2 1 2 2 1
Resolvendo:
det A = (3 ⋅ 5 ⋅ 2) + (4 ⋅ 6 ⋅ 2) + (3 ⋅ 1 ⋅ 1) − (2 ⋅ 5 ⋅ 3 ) − (1 ⋅ 6 ⋅ 3 ) − (2 ⋅ 1 ⋅ 4 ) ⇒
det A = 30 + 48 + 3 – 30 – 18 – 8 = 25.
Propriedades dos Determinantes:
Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n > 2.
1. Se In é a matriz identidade, então:
det(In) = 1
2. Se N é uma matriz nula, então:
det(N) = 0
3. Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:
det(A) = 0
4. A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é:
det(At) = det(A)
5. Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k,
então:
det(B) = k det(A)
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Página 7
6. Se B=kA, onde k é um escalar, então:
det(B) = kn det(A)
7. Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:
det(B) = - det(A)
8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:
det(A) = 0
9. Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma
constante, então:
det(A) = 0
10. Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:
det(A) = 0
11. Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A será
uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.
12. Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante
da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.
13. O determinante da matriz-produto AB de duas matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao
produto dos deteminantes das matrizes A e B.
det(AB) = det(A) ⋅ det(B)
14. Determinante da matriz inversa:
det(A−1) =
1
det( A )
Verifica-se então que, uma matriz quadrada A será inversível se, e somente se, det(A) ≠ 0 e não
inversível se det(A) = 0.
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QUESTÕES DE CONCURSOS RESOLVIDAS E COMENTADAS:
1) [TESTE ANPAD-1996] A soma dos elementos da diagonal principal da matriz resultante do produto das
matrizes
⎡ 1 3 2⎤
⎡ 2 0 − 1⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢3 1 4⎥ e ⎢ 0 1 3 ⎥ vale:
⎢⎣2 4 0 ⎥⎦
⎢⎣− 1 3 − 2⎥⎦
A) − 10
B) 3
C) 13
D) 20
E) 23
Resolução comentada:
As duas matrizes são quadradas (3x3), portanto conforme observação na página 3: “Para duas matrizes
quadradas sempre existirá o produto”. Assim, o produto será a seguinte matriz (genérica):
⎡a11 a12
⎢
⎢a 21 a 22
⎢⎣a 31 a 32
a13 ⎤
⎥
a 23 ⎥
a 33 ⎥⎦
3 x3
Agora é só raciocinar que, nesta matriz resultante:
a11 é o resultado do produto da 1ª linha da 1ª matriz com a 1ª coluna da 2ª matriz;
a12 é o resultado do produto da 1ª linha da 1ª matriz com a 2ª coluna da 2ª matriz;
a13 é o resultado do produto da 1ª linha da 1ª matriz com a 3ª coluna da 2ª matriz;
a21 é o resultado do produto da 2ª linha da 1ª matriz com a 1ª coluna da 2ª matriz;
a22 é o resultado do produto da 2ª linha da 1ª matriz com a 2ª coluna da 2ª matriz;
a23 é o resultado do produto da 2ª linha da 1ª matriz com a 3ª coluna da 2ª matriz;
a31 é o resultado do produto da 3ª linha da 1ª matriz com a 1ª coluna da 2ª matriz;
a32 é o resultado do produto da 3ª linha da 1ª matriz com a 2ª coluna da 2ª matriz;
a33 é o resultado do produto da 3ª linha da 1ª matriz com a 3ª coluna da 2ª matriz;
Portanto, teremos como produto:
⎡ [(1 ⋅ 2) + (3 ⋅ 0 ) + (2 ⋅ ( −1))] [(1 ⋅ 0 ) + (3 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3 )]
⎢
⎢ [(3 ⋅ 2) + (1 ⋅ 0 ) + (4 ⋅ ( −1))] [(3 ⋅ 0 ) + (1 ⋅ 1) + (4 ⋅ 3 )]
⎢⎣[(2 ⋅ 2) + (4 ⋅ 0 ) + (0 ⋅ ( −1))] [(2 ⋅ 0 ) + (4 ⋅ 1) + (0 ⋅ 3 )]
⎡ (2 + 0 − 2) (0 + 3 + 6 ) (− 1 + 9 − 4 ) ⎤
⎡0 9
⎢
⎢
⎥
⎢(6 + 0 − 4 ) (0 + 1 + 12 ) (− 3 + 3 − 8 ) ⎥ = ⎢2 13
⎢⎣(4 + 0 + 0 ) (0 + 4 + 0 ) (− 2 + 12 + 0 )⎥⎦
⎢⎣4 4
[(1 ⋅ ( −1)) + (3 ⋅ 3) + (2 ⋅ ( −2))]⎤
[(3 ⋅ ( −1)) + (1 ⋅ 3) + (4 ⋅ (−2))]⎥⎥ =
[(2 ⋅ (−1)) + (4 ⋅ 3) + (0 ⋅ (−2))]⎥⎦
4 ⎤
⎥
− 8⎥ = matriz resultante do produto das matrizes.
10 ⎥⎦
A soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz será: 0 + 13 + 10 = 23.
Gabarito: Letra E.
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⎡ 1 0 1⎤
⎡1 2 3⎤
⎢
⎢
⎥
⎥
2) [TESTE ANPAD-1998] Dadas as matrizes A = ⎢ 1 1 1⎥ e B = ⎢ 1 3 1⎥ , a soma dos elementos da
⎢⎣0 1 1⎥⎦
⎢⎣0 3 1⎥⎦
diagonal principal da matriz C = A x B é igual a:
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Resolução comentada:
É o mesmo raciocínio da questão anterior. A matriz resultante do produto será:
⎡(1 + 0 + 0 )
⎢
⎢ (1 + 1 + 0 )
⎢⎣(0 + 1 + 0 )
(2 + 0 + 3) (3 + 0 + 1)⎤
(2 + 3 + 3) (3 + 1 + 1)⎥⎥
(0 + 3 + 3) (0 + 1 + 1)⎥⎦
⎡ 1 5 4⎤
⎢
⎥
= ⎢2 8 5 ⎥ .
⎢⎣ 1 6 2⎥⎦
A soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz será: 1 + 8 + 2 = 11.
Gabarito: Letra B.
3) [TESTE ANPAD-2001]: Dadas as sentenças:
I. Se A e B são matrizes 5x6 e 6x7 respectivamente, então AB é uma matriz 5x7 e não existe BA.
II. Se A e B são matrizes 3x5 e 5x3 respectivamente, então AB é 3x3 e BA é 5x3.
III. Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3, então AB e BA também são matrizes quadradas de ordem 3.
IV. A, B e C são matrizes 3x3, 3x1 e 2x1 respectivamente, então C(AB) é uma matriz 2x1.
Assim sendo, os valores (V, se verdadeiro e F, se falso) das sentenças formam a seguinte seqüência:
A) V, V, F, F
B) F, F, V, V
C) F, V, V, F
D) F, F, F, F
E) V, F, V, F
Resolução comentada:
A sentença I é VERDADEIRA. Existirá o produto AB, pois o número de colunas da matriz A (6 colunas) é
igual ao número de linhas da matriz B (6 linhas); a matriz resultante terá o número de linhas de A (5 linhas)
e o número de colunas de B (7 linhas). O produto BA não existirá, B é 6x7 e A é 5x6 (7 ≠ 5);
A sentença II é FALSA. O produto AB será 3x3, mas o produto BA seria 5x5, e não 5x3;
A sentença III é VERDADEIRA. Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3, existirão os produtos AB e
BA, resultando ambos em matrizes quadradas 3x3;
A sentença IV é FALSA. Sendo a matriz A uma matriz 3x3 e a matriz B uma matriz 3x1, o produto AB
resultará numa matriz 3x1. Mas o produto da matriz C (2x1) pelo produto resultante da A por B não existirá,
pois o número de colunas da matriz C (1 coluna) é diferente do número de linhas da matriz AB (3 linhas).
Gabarito: Letra E.
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Página 10
4) [ESAF - SERPRO-Analista-2001] Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser
representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz
S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que
(aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é igual a:
(A) 1/5
(B) 2/5
(C) 3/5
(D) 4/5
(E) 1
Resolução comentada:
⎡a11 a12
⎢
A matriz genérica da matriz A será: ⎢a 21 a 22
⎢⎣a 31 a 32
(
(
(
⎡ 12 + 12
⎢
seguintes valores numéricos para A: ⎢ 2 2 + 12
⎢ 3 2 + 12
⎢⎣
a13 ⎤
⎥
e pela lei de formação, dada por i2 + j2, teremos os
a 23 ⎥
a 33 ⎥⎦ 3 x3
) (1
) (2
) (3
⎡b11 b12
⎢
A matriz genérica da matriz B será: ⎢b 21 b 22
⎢⎣b 31 b 32
⎡ (1 + 1)2
⎢
os seguintes valores numéricos para B: ⎢(2 + 1)2
⎢(3 + 1)2
⎣⎢
) (1
+ 2 ) (2
+ 2 ) (3
2
+ 22
2
2
2
2
)
)
)
+ 32 ⎤
⎥
2
+ 32 ⎥
⇒A=
2
2 ⎥
+3 ⎥
⎦ 3x3
2
⎡ 2 5 10 ⎤
⎢
⎥
⎢ 5 8 13 ⎥
⎢⎣10 13 18 ⎥⎦
3 x3
b13 ⎤
⎥
e pela lei de formação, dada por (i + j)2, teremos
b 23 ⎥
b 33 ⎥⎦ 3 x 3
(1 + 2)2 (1 + 3)2 ⎤⎥
(2 + 2)2 (2 + 3)2 ⎥
(3 + 2)2 (3 + 3)2 ⎥⎦⎥
⎡ 4 9 16 ⎤
⎢
⎥
⇒ B = ⎢ 9 16 25⎥
⎢⎣16 25 36 ⎥⎦
3 x3
3x3
⎡ s11 s12 s13 ⎤
⎡ 6 14 26⎤
⎢
⎢
⎥
⎥
A matriz S, resultante da soma das matrizes A e B será: S = ⎢s 21 s 22 s 23 ⎥
= ⎢14 24 38 ⎥
⎢⎣s 31 s 32 s 33 ⎥⎦
⎢⎣26 38 54 ⎥⎦
3x3
3x3
s 31
26
Portanto,
=
= 1.
26
s13
Gabarito: Letra E.
5) [ESAF - AFC-2002] De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por
mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira
ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que
(aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a:
(A) 17
(B) 29
(C) 34
(D) 46
(E) 58
Resolução comentada:
As leis de formação de A e B são as mesmas da questão anterior e a matriz S é a soma de A e B, ou seja:
⎡ 6 14 26⎤
⎢
⎥
S = ⎢14 24 38 ⎥
. A soma dos elementos da primeira linha da matriz será: 6 + 14 + 26 = 46.
⎢⎣26 38 54 ⎥⎦
3x3
Gabarito: Letra D.
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6) [ESAF - AFC-2003] Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por
mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de
terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e
que bij = (i − j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a:
(A) 16
(B) 18
(C) 26
(D) 65
(E) 169
Resolução comentada:
⎡a11 a12
⎢
A matriz genérica da matriz A será: ⎢a 21 a 22
⎢⎣a 31 a 32
⎡ 12
⎢
seguintes valores numéricos para A: ⎢2 2
⎢3 2
⎢⎣
12
22
32
⎡b11 b12
⎢
A matriz genérica da matriz B será: ⎢b 21 b 22
⎢⎣b 31 b 32
a13 ⎤
⎥
e pela lei de formação, dada por i2, teremos os
a 23 ⎥
a 33 ⎥⎦ 3 x3
12 ⎤
⎡ 1 1 1⎤
⎢
⎥
2⎥
2 ⎥
⇒ A = ⎢4 4 4⎥
⎢⎣9 9 9 ⎥⎦
3 2 ⎥⎥
3x3
⎦ 3x3
b13 ⎤
⎥
b 23 ⎥
e pela lei de formação, dada por (i − j)2, teremos
b 33 ⎥⎦ 3 x 3
⎡ (1 − 1)2
⎢
os seguintes valores numéricos para B: ⎢(2 − 1)2
⎢(3 − 1)2
⎣⎢
(1 − 2)2 (1 − 3)2 ⎤⎥
(2 − 2)2 (2 − 3)2 ⎥
(3 − 2)2 (3 − 3)2 ⎥⎦⎥
⎡ x 11
⎢
A matriz X, resultante da soma das matrizes A e B será: X = ⎢ x 21
⎢⎣ x 31
O produto dos elementos x31 e x13 será: 13⋅5 = 65.
⎡0 1 4 ⎤
⎥
⎢
⇒ B = ⎢ 1 0 1⎥
⎢⎣4 1 0 ⎥⎦
3 x3
3 x3
x 12 x 13 ⎤
⎡ 1 2 5⎤
⎥
⎥
⎢
x 22 x 23 ⎥
= ⎢ 5 4 5⎥
⎢⎣13 10 9⎥⎦
x 32 x 33 ⎥⎦ 3 x 3
3 x3
Gabarito: Letra D.
7) [ESAF - MPU-Técnico Administrativo-2004] Sejam as matrizes
⎡ 1 4⎤
⎡1 3 4 5 ⎤
⎥
⎢
A = ⎢2 6 ⎥ e B = ⎢
⎥
⎣1 2 3 4⎦
⎢⎣3 3 ⎥⎦
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X = (A⋅B)t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do
produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 1/3
(E) 1/2
Resolução comentada:
A matriz A é uma matriz 3x2 e a matriz B é 2x4. Logo, o produto AB será uma matriz 3x4, conforme abaixo:
⎡ (1 + 4 )
⎢
A⋅B = ⎢(2 + 6 )
⎢⎣(3 + 3 )
(3 + 8) (4 + 12) (5 + 16 ) ⎤
(6 + 12) (8 + 18 ) (10 + 24)⎥⎥
(9 + 6) (12 + 9) (15 + 12)⎥⎦ 3 x 4
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⎡5 11 16 21⎤
⎥
⎢
= ⎢8 18 26 34 ⎥
. A matriz X, a transposta de A⋅B será:
⎢⎣6 15 21 27⎥⎦
3x4
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Página 12
⎡5 8 6⎤
⎢
⎥
11 18 15 ⎥
16
= 2.
X = (A⋅B)t = ⎢
e a razão entre x31 e x12 é igual a:
⎢16 26 21⎥
8
⎢
⎥
⎣ 21 34 27⎦ 4 X3
Gabarito: Letra B.
⎡ senx − cos x ⎤
8) [TESTE ANPAD-2000]: Considere a matriz A = ⎢
⎥ e as seguintes proposições:
⎣cos x senx ⎦
I. Se Paris está na França então o determinante de A é igual a 0 (zero).
II. Se Paris está na Inglaterra então o determinante de A é igual a 1 (um).
III. Se Paris está na França, então o determinante de A é igual a 1 (um).
IV. Se Paris está na Inglaterra, então o determinante de A é igual a 0 (zero).
Então, entre as quatro proposições acima, o rol completo da(s) proposição(ões) CORRETA(S) é:
A) I
B) II
C) III e IV
D) I, II e III
E) II, III e IV
Resolução comentada:
O primeiro passo é verificar o valor do determinante da matriz A, para podermos verificar se são verdadeiros
(V) ou falsos (F) os conseqüentes das quatro proposições condicionais.
Assim, det A = senx ⋅ senx − cos x ⋅ (− cos x ) = sen2x + cos2x.
Mas, como sabemos, a Relação Fundamental da Trigonometria (RFT), nos diz que: sen2x + cos2x =1.
Logo, det A = 1 e temos nas proposições:
I) Verdade que Paris está na França e Falso que det A = 0. Portanto: V Æ F = F;
II) Falso que Paris está na Inglaterra e Verdade que det A = 1. Portanto: F Æ V = V;
III) Verdade que Paris está na França e Verdade que det A = 1. Portanto, V Æ V = V;
IV) Falso que Paris está na Inglaterra e Falso que det A = 0. Portanto, F Æ F = V;
Gabarito: Letra E.
9) [ESAF - APO-2005] O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o
determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz
Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que
(aij) = (i + j)2 e que bij = i2, então o menor complementar do elemento y23 é igual a:
(A) 0
(B) –8
(C) –80
(D) 8
(E) 80
Resolução comentada:
Já conhecemos (das questões 4 e 5) o resultado da matriz dada pela lei de formação (i + j) 2.
⎡ 4 9 16 ⎤
⎥
⎢
Portanto, A = ⎢ 9 16 25⎥
.
⎢⎣16 25 36 ⎥⎦
3 x3
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Página 13
Já conhecemos (da questão 6) o resultado da matriz dada pela lei de formação i2.
⎡ 1 1 1⎤
⎥
⎢
Portanto, B = ⎢4 4 4⎥
.
⎢⎣9 9 9 ⎥⎦
3x3
⎡ 5 10 17 ⎤
⎥
⎢
A matriz Y = A + B = ⎢13 20 29 ⎥
.
⎢⎣25 34 45⎥⎦
3 x3
⎡ 5 10 ⎤
O menor complementar do elemento y23 será: det ⎢
⎥ = 170 – 250 = –80.
⎣25 34⎦
Gabarito: Letra C.
10) [ESAF - GEFAZ-MG-2005] Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que B = 21/4A.
Sabendo que o determinante de A é igual a 2−1/2, então o determinante da matriz B é igual a:
(A) 21/2
(B) 2
(C) 2–1/4
(D) 2–1/2
(E) 1
Resolução comentada:
Observemos a propriedade nº 6 dos determinantes que diz:
Se B = kA, onde k é um escalar, então det(B) = kn det(A).
( )
Como B = 21/4A, e ambas são matrizes de 2ª ordem (n = 2), então det(B) = 21 4
2
⋅ det( A ) = 21 2 ⋅ det( A ) .
Mas, det(A) = 2−1/2. Então, det(B) = 21 2 ⋅ 2 −1 2 = 20 = 1.
Gabarito: Letra E.
11) [ESAF - MPU-Técnico-Consultório Dentário-2004] Considere as matrizes
⎡1 2 3⎤
⎡a 2 3 ⎤
⎥
⎥
⎢
⎢
X = ⎢2 4 6 ⎥ , Y = ⎢2 b 6 ⎥
⎢⎣5 3 7 ⎥⎦
⎢⎣5 3 c ⎥⎦
onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das
matrizes X e Y é igual a
(A) 0.
(B) a.
(C) a + b + c.
(D) a + b.
(E) a + c.
Resolução comentada:
Não há necessidade de fazer o produto das duas matrizes. Basta observar que, pela propriedade nº 10 dos
determinantes, se uma linha (ou coluna) de uma matriz for múltipla de outra linha (ou coluna) da mesma
matriz, o determinante será igual a zero. Isto ocorre na matriz X, pois a 2ª linha é múltipla da 1ª.
Portanto, det X = 0.
Pela propriedade nº 13 dos determinantes, temos que: det(XY) = det(X)⋅det(Y).
Como o determinante de X é igual a zero, teremos: det(XY) = 0⋅det(Y) = 0.
Gabarito: Letra A.
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Página 14
QUESTÃO CESPE (nº 23) da prova para o Cargo 16-Técnico – Qualificação: Operação de Redes SERPRO, aplicada em 23/5/2010
Considere as seguintes proposições:
A: Se M é uma matriz quadrada e o determinante de M (det M) é diferente de zero, então a matriz
transposta de M, MT, é inversível.
B: Se M e N são matrizes quadradas de mesma ordem e det [M×N] = 0, então nenhuma dessas
matrizes é inversível.
C: Se M e N são matrizes quadradas de mesma ordem e det [M×N] = 1, então uma matriz é,
necessariamente, a matriz inversa da outra.
D: Se M é uma matriz quadrada qualquer, então det [2×M] = 2×det M.
Nesse caso, é correto afirmar que apenas duas dessas proposições são V.
Resolução comentada:
A proposição A é VERDADEIRA. Pela propriedade nº 4, uma matriz e sua transposta possuem o mesmo
determinante. Se det M ≠ 0, o determinante da matriz transposta de M, MT, também será diferente de zero
e, nesse caso, ambas serão inversíveis;
A proposição B é FALSA. A condição para que uma matriz seja inversível é que seu determinante seja
diferente de zero. Pela propriedade nº 13, sabemos que det(MxN) = det M x det N. Se apenas uma das
matrizes (M ou N) tiver determinante igual a zero ela não será inversível e o determinante do produto
também será zero. Portanto, não é necessariamente verdadeiro que “nenhuma das matrizes é inversível”,
pois uma delas pode ser inversível e mesmo assim o det (MxN) seja igual a zero;
A proposição C é FALSA. O produto do determinante de uma matriz pelo determinante da sua inversa
sempre será igual a 1 (vide propriedede nº 14). Mas o fato do determinante do produto ser igual a 1 não
garante que M e N sejam inversas;
A proposição D é FALSA. Pela propriedade nº 6, se M está sendo multiplicado pelo escalar 2, o
determinante de 2⋅M será 2n⋅det M e não 2⋅det M.
Portanto, apenas uma das proposições será V e o item está ERRADO.
Gabarito oficial: Errado.
BOAS PROVAS E BONS ESTUDOS a todos!
Aproveito a oportunidade para solicitar aos que me enviaram e-mail na 1ª quinzena de abril/2012, que me
reenviem. Tive um probleminha em meu correio e perdi alguns e-mails. Antecipadamente agradeço.
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Pedro Bello
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