SEJAFERA
APOSTILA EXERCÍCIOS / QUESTÕES DE VESTIBULARES
Matrizes e Determinantes
Depois de estudado uma matéria em matemática é importante que você resolva
um número significativo de questões para fixação de conteúdo. Existem vários
blocos de um mesmo conteúdo, é recomendado que você resolva pelo menos
dois deles.
Prof. Gerson Henrique
SEJAFERA
 1 2
 9 − 4
2
1) (PUC-MG) Se A = 
l1eA = 
 .0
a b 
 − 8 17 
valor do produto a . b é:
a) – 4
b) – 6
c) – 8
d) – 17
1 0
a b 
2) (PUC-MG) As matrizes A = 
, B = 
e
2 0
 2 3
4 5 
C = 
 são tais que AB=AC. O valor de a + b é:
6 7 
− 2 1 
a) 

 3 − 2
 2 − 3
b) 

− 1 2 
 3 2
c) 

 1 2
 2 − 1
d) 

 2 − 3
− 1 2 
e) 

 2 − 3
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
6) (PUC-MG) O produto da matriz A = [3, 4] com a
 1 2 3
matriz B = 
 tem três elementos. A soma
4 5 6 
desses três elementos de AB é:
3) (PUC-MG) Na matriz M 2 x 3 o termo geral é
a) 70
b) 78
c) 80
d) 82
e) 86
a ij = i 2 − 2 j . A segunda coluna da matriz M é:
 − 1

a) 
 2 
0
b)  
 3
7) (FUVEST) Dadas as matrizes:
1) A = ( a ij )4 x7 , definida por a ij = i − j
 − 3

c) 
 0 
 2
d)  
 1
2) B = ( bij )7 x 9 , definida por bij = i
3) C = ( c ij ); C = AB
 1
e)  
 2
 1 0
4) (PUC-MG) Sejam dadas as matrizes A = 

 − 1 1
 1 2
e B = 
 . A matriz X tal que AX = BA é igual a:
3 4
1
a) 
3
1
b) 
1
2

4
1

5
− 1
c) 
− 2
 1
d) 
− 1
 4
e) 
− 1
2

6
0

1
1

2
 2 3
5) (PUC-MG) A matriz inversa da matriz A = 

 1 2
é igual a:
O elemento C63 é:
a) -112
b) -18
c) -9
d) 112
e) Não existe
a 0 
8) (Acafe-SC) Dadas as matrizes A = 
 e
0 a 
2 b
B = 
 , o valor a + b. de modo que AB = I, sendo
b 2
I a matriz identidade, valerá:
a) 2
b) 0
c) l/2
d) l
e) 1/4
9) (UFPI) Uma matriz A é simétrica se, e somente se,
for igual à
sua transposta, isto é, A = At.
3

Seja  4
2 x

x2
−2
x+ y
x−2

x + 2 y  . Se A é simétrica, o valor
5 
de 2x+y é:
a) 4
b) 2
c) 0
d) - 2
e) -4
 5
− 2 3
 é:
10) (PUC-SP) A inversa da matriz  6
1 
− 1
6
3 

2 4
a) 

1 5 
6
b)  5
− 6
− 5
6
c) 
 1
 6
 5
d) 
− 1
− 3 
2
− 3 
−3 
2
1

−
3
− 2

1 
d) 0
e) 4
14) (Mackenzie) O conjunto solução de
1 x
1 x
1 1
é:
=
1 1
1 1
x 1
a) {x ∈ R / x ≠ 1}
b) 0 e 1
c) 1
d) 0
e) 1
0 1 
15) (PUC) Sejam as matrizes A = 
,
1 0
1 0
 1 2
B = 
 e C = 
 . O determinante da matriz
 2 1
0 1 
A + B . C é:
a) -4
b) -2
c) 0
d) 1
e) 5
2 3 
11) (UEMG) Se a inversa de A = 
 é
3 x
 5 − 3

 o valor de x é:
− 3 2 
a) 5
b) 6
c) 7
d) 9
16) Os elementos do conjunto verdade da equação
1 2 −1
0 1 x = 1 , são:
1 x −1
a) 1
b) -l
c) 1 e -l
d) φ
12) A matriz oposta da matriz 2 x 2, definida por:
a ij = i + 2 j → se , i ≠ j

 a ij = i − 2 j → se , i = j
x
17) O produto das raízes da equação 1
x
− 1 5 
a) 

 4 − 2
− 1 4 
b) 

 5 − 2
− 2 4 
c) 

 5 − 1
 1 − 5
d) 

− 4 2 
13) (UFV) Seja A uma matriz inversível de ordem 2. Se
Det(2A) = Det(A2), então o valor de DetA é:
a) 2
b) 1
c) 3
x
x
1
1
x = 0 é:
x
a) -21
1
b) −
2
c) -1
d) 1
a 1 2a + 3
18) O valor do determinante b 1 2b + 3 é:
c 1 2c + 3
a) 3abc
b) 0
c) 2/3 abc
d) 3.(a + b + e)
2 1 1


19) Se A =  3 1 2  e f ( x ) = − x 2 − x − 1 ,


1 −1 0
1 

então f  −
 vale:
det
A

1
4
3
b) −
4
5
c) −
4
a) −
24) (FEI-SP) Dada a matriz A =
2
3
−1 2
, sendo At sua
transposta o determinante da matriz A . At é:
a) 1
b) 7
c) 14
d) 49
1
25) (Mackenzie) Se
d) – 3
2
1
0
1 1 −2 1
= 0 , então o
1 −3 2 −1
1 3
3
x
valor de x é:
20) (FGV) Se
a
b
c d
= 0 , então o valor do
determinante
a b 0
0 d 1 é:
c 0 2
1
26) (PUC) Se 2
x
a) 0
b) bc
e) 2bc
d) 3bc
2 −1
21) (PUC-MG) Considere as matrizes A = 0
1 e
−2 2
0
B =
1 2
1 2 1
. O valor de Det(AB) é:
a) -6
b) -4
c) 0
d) 4
22) (Cefet-PR) O valor do número real x que verifica a
x
equação x
x
1
2
x + 1 3 = 4 é:
1
3
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
23) (USJT-SP) A soma das soluções da equação
x
x
x
a) -1
b) 0
e) 1
d) 3
1
x
x
a) 0
b) 1
c) -1
d) 49
e) 0,6
1
2 = 0 é:
x
2 3
x
3 4 = −4 , então 6
1
y z
y z
9 12 vale:
2 3
a) 12
b) -12
c) 4
d) 3/4
e) - 3/4
 1 2
 2 1
27) (UNI-BH) Se A = 
 e B = 
 , então o
4 5 
3 4
determinante de A. Bt, onde Bt é a transposta de B vale:
a) -16
b) -15
c) 15
d) 16
 1 3
28) (PUC-MG) Dadas as matrizes A = 
 e
2 4
− 1 2
B = 
 , o determinante da matriz A . B é:
 3 1
a) -l
b) 6
c) 10
d) 12
e) 14
1
 -1

29) Seja as matrizes dadas, A := 
-1
B := 
0
4
 , resolva:
−3
a) A + B
b) A – B
c) B – A
2
 e
3
a) X = A -1 . B t
b) X = B t . A -1
c) X = (B . A) t
d) X = (AB) t
e) X = A t . B -1
d) (A+B)2
e) 2.A – 3.B
GABARITO
questão 1
resposta d
7
e
14
b
21
c
8
c
15
a
22
d
2
a
9
d
16
a
23
c
3
c
4
c
5
b
6
b
10
a
11
a
12
a
13
a
17
b
24
d
18
b
25
c
19
b
26
a
27
b
20
d
28
e
Questões Quentes
1) Seja
Qual é o valor de x para que tenhamos At = A?
2) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos
de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A
quantidade de material empregada em cada tipo de casa
é dada pela tabela:
5) No que se refere à solução da equação A . X = B em
que A e B são matrizes quadradas de ordem 3 , pode-se
dizer que:
a) a equação não pode ter solução;
b) a equação nunca tem solução;
c) a equação tem sempre uma solução que é X = B - A
d) a equação tem sempre uma solução que é X = B . A 1
;
e) a equação tem sempre uma solução que é X = A -1 .
B.
6) (FGV) A e B são matrizes quadradas de ordem e
det B 0.
a) Calcule: (A + B) • (A - B)
b) Que condições devem ser satisfeitas por A e B de
modo que: (A + B)² = A² + 2 •A • B + B²?
c) Calcule det A det (-A)
d) Se B for a inversa de A, qual a relação entre o
determinante de B e o de A?
7) (CEFET-MG) Para que sejam idênticos os
x b a
polinômios P1 ( x ) = 2 cx 2 x e
1
1
1
P2 ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 4 o valor de a + b + c deve
ser igual a
a) Se ele pretende construir 5, 6 e 12 casas dos tipos
moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente,
quantas unidades de cada material serão empregadas?
b) Suponha que os preços por unidade de ferro,
madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15,
8, 5, 1, e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de
casa?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Calcule, se for possível: xTy, xy, xyT , yTx, e yxT .
8) (CEFET-MG) O(s) valor(es) de x para que
1 2
x
x 0
− 1 = −8 é (são)
x − 2 − 3
a) -1
b) 1
c) 3
d) -1 e 1
e) -1 e 3
4) (PUC-SP) Sendo A e B matrizes inversíveis de
mesma ordem e X uma matriz tal que (X . A) t = B ,
então:
1 1
9) (CEFET-MG) A solução da inequação 2 − 3
4 9
c) Qual é o custo total do material empregado?
3) Sejam
é:
a) x ∈ R
1
x
x2
b) –3 < x < 2
c) –2 < x < 3
d) x < –3 ou x > 2
e) x < –2 ou x > 3
progressão geométrica, ambas de mesma razão”. Se
a12 = 2, o determinante de A vale:
 3x

10) (EFOA) Seja a matriz A =  1  x
 
 9 
x, y ∈ IR , x ≠ 0 , y ≠ 0 .
9y 
y
1  ,
 
 3  
a)
b)
c)
d)
e)
14)
Se det A = 0 , então é CORRETO afirmar que
y
é
x
4
−4
0
8
−8
(UFLA)
x + y
A=
 1
Dadas
x - y
1 
as
e
seguintes
1
B=
2
matrizes
0
.
1
igual a :
Os valores de x e y, de modo que A2 = B, são:
a) 3
b) 2
c) 1
d) − 1
e) − 2
a)
x = 1 , y = 0
b)
x = 0 , y = 1
c)
x = y = 1
d)
x = y =
e)
x = y = 0
11)
(EFOA)
Seja
 1
A=
o
sen 190
a
matriz
A 2 ×2
dada
por
sen 10 o 
 . O determinante de A
cos 2 10 o 
vale:
a)
b)
c)
d)
e)
1
sen 10 o
sen 190 o
cos 2 10 o
cos 20 o
12) (EFOA) Considerando a matriz A3 x 3 cujo termo
geral é dado por
d)
e)
15) (UFOP) Considere a matriz A.

 π 
− sen  
 2 − 3
 3 
A = 
1
π




cos ec 6 

2 + 3 

Ao calcular seu determinante, obtém-se:
a) 2( 1 − 3 )
b) 0
c) 2( 1 _ 3 )
d) 2
aij = (− 1) i + j ,
é CORRETO afirmar que:
a)
b)
c)
1
2
A = − At
A é inversível
aij = cos ((i + j )π )
a11 + a22 + a33 = 0
a11 + a21 + a31 = 0
13) (EFOA) Na matriz quadrada A = (a ij ) de ordem 2,
os elementos a11 , a12 , a 21 e a 22 , nesta ordem,
apresentam a seguinte propriedade: “Os três primeiros
estão em progressão aritmética e os três últimos em
16) A matriz A, dada a seguir, igual a oposta da
transforma, ou seja, A = - At .
x y z


A =  1 x w
2 0 x


Seu determinante vale:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0