Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência
Projeto Matemática 1
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Curitiba
2014
PLANO DE AULA DE SISTEMAS LINEARES
Dados de Identificação:
Instituição: Colégio Estadual Maria Aguiar Teixeira.
Professora: Adriana Vaz.
Professores estagiários: Bruno Cezar Steinmetz e Murilo Brum Alison.
Disciplina: Matemática.
Série: 2º Ano – Ensino Médio.
Turmas: C e D.
Período: Matutino.
Conteúdos:
 Equação Linear;
 Equação Linear Homogênea;
 Sistemas Lineares;
 Solução de Sistemas Lineares;
Objetivo geral:
Introduzir o conceito de equações do primeiro grau e após isso dar sentido ao uso
de sistemas lineares, fazendo com que o aluno tenha plena consciência do por que
estudar o assunto. Relembrar resolução de equações lineares.
Objetivos específicos:
Relembrar e associar o conhecimento já adquirido de equações lineares e suas
propriedades em séries anteriores. Reformular conceitos e idealizar a forma de um
sistema de equações lineares, ou seja, um sistema linear. Ampliar o conhecimento do
aluno enquanto receptor de informações novas e contextualizadas, fazendo com que o
mesmo seja induzido ao raciocínio matemático de maneira rápida e abrangente.
Apresentação de métodos para a solução de um sistema linear, como a adição e
substituição. Resolução de problemas contextualizados.
Metodologia:
A metodologia adotada envolve a resolução de problemas e aulas expositivas,
com uso de recursos didáticos que facilitem o andamento das aulas. Além disso, fazer
uso de discussões acerca do contexto em que o assunto está inserido, o porquê de se
estudar o mesmo.
Tema:
 Equação linear, sistemas lineares, sistemas homogêneos, resolução de sistemas
lineares.
Desenvolvimento dos temas:
 Equações Lineares:
Definir equação linear e suas características. Segue abaixo o material entregue
impresso aos alunos:
Consideremos como equação linear toda equação do tipo
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = c, onde
a1, a2, a3, ... , an : coeficientes reais, não todos nulos
x1, x2, x3, ... , xn : são as incógnitas
c: termo independente
Exemplos:
a) 2x + y + z = 4
b) x + y = 5
c) 4x + 5y + z = 0 (homogênea)
- Uma equação linear homogênea é uma equação que possui os termos
independentes iguais a zero.
 Sistemas de Equações Lineares:
Inicialmente, propor aos alunos um exemplo contextualizado de sistemas
lineares. Como sendo o primeiro exemplo da sucessão didática, os alunos deveriam
interpretar o problema de maneira a o modelar para a linguagem matemática. Feito isso,
o aluno é convidado a resolver ou solucionar um sistema de ordem 2x2 utilizando
alguma ferramenta já vista em séries anteriores. Dessa forma, o processo de
engajamento de conteúdos abordados se dá de maneira simples, onde o próprio aluno
deve lembrar em qual tópico da matemática o exercício se aplica.
Segue abaixo o exercício proposto I) entregue em material impresso aos alunos:
I) Ana e Caio lancharam na cantina da escola. Ana gastou R$10,00 para comprar 2
sucos e 2 chocolates. Com R$7,00, Caio comprou 1 suco e 2 chocolates.
Qual o preço do suco e do chocolate?
- Solução de Sistemas Lineares
Primeiramente explicar que uma solução é um conjunto de valores que
satisfazem, ao mesmo tempo, todas as equações do sistema linear. Como no exemplo a
seguir:
Exemplo – Para o sistema
2x + 3y = 7
x–y=1
Os valores que satisfazem as duas equações são x = 2 e y = 1.
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2, 1).
Após isso, ensinar aos alunos os modos que se pode chegar a solução.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
Após a explicação de tudo que veio acima, será dado aos alunos os seguintes
exercícios, para, primeiramente, eles tentarem fazer sozinhos, e depois haver a correção
juntamente com eles. E assim ver onde houve mais erros, e o que causou esses erros.
1 – Resolva, em seu caderno, os sistemas abaixo:
a) x + y = 3
5x – 2y = 1
c) 3x + 5y = 3
6x – 15y = -4
b) 3x + y = 4
-x + y = 0
d)
x+z=4
z=4
e) a + 3b = 15
2a - b = 5
2 – Verifique se cada um dos pares ordenados é solução para este sistema:
x–y–z=0
x – 2y – 2z = 0
2x + y + z = 0
a) (0, 0, 0)
b) (0, 1, -1)
c) (1, 1, 1)
Recursos didáticos:
Quadro, giz e material impresso.
- Aula de sistemas lineares:
No primeiro dia passei a definição de sistemas lineares e o exemplo generalizado. Logo
passei o exemplo que o Bruno tinha colocado no material e deixei os alunos tentarem
resolver.
Depois de alguns minutos, nenhum aluno tinha conseguido encontrar uma resposta,
então passei algumas dicas para os alunos tentarem resolver o problema.
Um aluno resolveu por raciocínio e os outros não conseguiram, então a professora
Adriana resolveu pelo método de adição e eu pelo da subtração, assim eles conseguiram
se lembrar do conteúdo.
Depois passamos mais um exemplo para eles tentarem resolver, e alguns alunos
conseguiram sem ajuda e outros não conseguiram ou nem tentaram fazer. Então corrigi
e eles preferiram o método da substituição. E para terminar a aula passei mais uns
exercícios que seriam corrigidos no dia seguinte.
Plano de Aula
Matrizes
Instituição: Colégio Estadual Professora Maria Aguiar Teixeira
Estagiários: Aline de Fátima Cagorni
Lueinne Cristine Cipriano
Disciplina: Matemática
Série: 2º Ensino Médio
- Objetivo
Introduzir aos alunos conceitos básicos de matrizes, definições e aplicações.
Conteúdos a serem trabalhados
 Definição de matrizes
 Classificação de matrizes
 Adição e subtração de matrizes
 Multiplicação de matrizes por um número real
Procedimentos Metodológicos
1º Realização de pesquisa em grupos, para se obter dados estatísticos da classe de
maneira a ser construída uma tabela, no qual será feita a definição de matrizes e
representação dos elementos matriciais. (2 aulas)
2 ° Retomada da atividade e apresentação dos tipos diferentes de matrizes. Aplicação de
alguns exemplos e exercícios para fixação. (1 aula)
3° Aplicar as operações que podem ser realizadas com matrizes e algumas propriedades.
(1 aula)
4° Realização de exercícios envolvendo operações com matrizes, para melhor fixação
do conteúdo, discussão e correção dos exercícios com a classe. (2 aulas)
5° Conclusão da atividade e uma lista de exercícios (com todo o conteúdo), para ser
entregue como forma de trabalho.
Desenvolvimento
Pesquisa: A pesquisa realizada pelos alunos tem como objetivo final introduzir o
conceito de matrizes, os dados coletados por eles deverão ser colocados em uma tabela
em forma de matriz, sendo esse um exemplo de aplicação do conteúdo.
Pesquisa Matemática em Grupo
- Coloque na tabela abaixo a quantidade de itens existentes em sua casa.
- Cada linha representa um integrante do grupo.
- Apresente a média aritmética no final das colunas.
Grupo A
Tv´s
Media:
Celulares
Media:
Computadores
Media:
Definição:
Sejam m e n dois números inteiros maiores do que ou igual a 1. Denomina-se matriz
mxn (lê-se m por n) uma tabela retangular formada por m.n números reais, dispostos
em m linhas e n colunas.
Exemplo: a matriz formada pela pesquisa.
Representação geral:
Chamemos esta matriz de A, e sua ordem é m x n, ou seja, m linhas e n colunas. Nela
podemos observar o elemento aij, onde i representa a linha e j a coluna. Tomemos como
exemplo o elemento a32 → i = 3 e j = 2. O elemento está localizado na 3ª linha e na 2ª
coluna. Ainda podemos chamar esta matriz de A = (aij)m x n.
Tipos de matrizes
Matriz quadrada
Dizemos que uma matriz A de ordem m x n é quadrada, quando m = n. Isso significa
que o número de linhas será igual ao número de colunas. Podemos representar este tipo
de matriz por An. Exemplo:
Matriz triangular
Uma matriz de ondem n (quadrada) é triangular quando todos os elementos acima ou
abaixo da diagonal principal são nulos (iguais à zero).
Exemplos:
Matriz identidade
Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos da diagonal
principal são iguais a 1 e os elementos acima e abaixo desta diagonal são nulos (iguais a
zero). Podemos representar esta matriz por In.
Matriz nula
Numa matriz nula, todos os elementos são iguais à zero. Podemos representar uma
matriz nula m x n por 0m x n; caso ela seja quadrada, indica-se por 0n.
Matriz linha
É toda matriz que possui apenas uma linha. Numa matriz linha m x n, m = 1.
Matriz coluna
É toda matriz que possui apenas uma coluna. Numa matriz coluna m x n, n = 1.
Matriz transposta:
Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-se transposta de A e indica-se por At a matriz
que se obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. A operação de
obtenção de uma matriz transposta de A é denominada transposição da matriz. Observe
o exemplo:
Note que A é do tipo 3 x 2 e At é do tipo 2 x 3 e que, a matriz transposta , a primeira
linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha à segunda
coluna, também da matriz original.
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos
correspondentes forem iguais. Assim, se A=(aij) e B=(bij) são matrizes do tipo m x n,
então:
Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais
Solução:
Adição de matrizes
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz
obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.
Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B.
Solução:
Propriedades da adição
Sendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q ∈ R, valem as
propriedades:
- Comutativa: A+B = B+A
- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C
- Elemento neuto: A+O = O+A = A
Matriz oposta
Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma com A resulta na matriz nula.
Exemplo:
Dada a matriz:
A oposta de A será
pois:
Subtração de matrizes
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a
matriz obtida subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.
Multiplicação de número real por matriz
Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do
numero real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por
k.
Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de
Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades da
multiplicação de numero real por matriz:
- 1.A = A
- (-1).A = -A
- p.O = O
- 0.A = 0
- p.(A + B) = p.A + p.B
- (p + q).B = p.B + q.B
- p.(q.A) = (p.q).A
Multiplicação de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da
matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij)
satisfaz:
Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz
B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:
O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas
da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:
O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade (I).
Recursos didáticos: Quadro, giz e material impresso
-Relatório da aula de matrizes:
Comecei aplicando a pesquisa que a Aline e a Lueinne planejaram. Depois que eles
terminaram, associei a tabela de pesquisa como uma matriz. Logo mostrei uma matriz
generalizada e segui a explicação da folha que estava no material, que consistia em
matrizes transpostas, quadradas, soma e subtração de matrizes e outras definições, e fui
resolvendo mais exemplos no quadro para facilitar o atendimento deles. Aparentemente
eles entenderam a matéria e só não deu tempo de terminar a explicação da folha, que era
parte da multiplicação de um escalar pela matriz e de multiplicação de matrizes.
Plano de aula de Determinantes
Instituição: Colégio Estadual Professora Maria Aguiar Teixeira
Período: 1 semana
Data prevista para a aplicação do plano: 02/09/14 até 07/10/14
Público- alvo: alunos do 2 ano do ensino médio
Conteúdo: determinantes
Objetivos:
Compreender a definição e a aplicação de determinantes;
Apresentar situações-problema aos alunos, com o intuito que desenvolvam um
raciocínio lógico mais aguçado.
Tópicos do conhecimento:
Relembrar algumas propriedades de matrizes;
Conceitos e definições de determinantes.
Planejamento:
Apresentar a definição de determinantes e algumas propriedades.
Aplicar alguns exercícios e fazer com que os alunos resolvam sem a ajuda do(a)
professor(a).
Corrigir os exercícios e tirar as dúvidas.
Bibliografia: Ético; Editora Saraiva,vol.4 – Acesso
DETERMINANTES
A toda matriz quadrada (nxn), está associada a um número, que damos o nome
de determinantes (det).
Ordem 1: dada uma matriz de ordem 1 M =│a11│, o seu determinante será o número
real a11.
Ex: M = ( 2 )
det M│2│= 2.
Ordem 2: dada uma matriz de ordem 2 M =
:
Det M = 2x3 – 1x5= 6 – 5 = 1.
Matrizes transpostas: o determinante de uma matriz A, é igual ao determinante de sua
transposta.
Ex: A=
det A= 5x4 – 1x2 = 18.
At =
det At = 5x4 – 2x1 = 18.
Linha ou coluna nula: Se uma matriz A possuir uma linha ou uma coluna nula, então o
seu determinante será nulo.
Ex: A=
det A= 3x0 – 2x0 = 0 ou B=
det B = 0x5 – 1x0 = 0.
Ordem 3: Dada uma matriz de ordem 3 M =
Det M= 1x1x9 + 5x3x1 + 4x7x2 – 5x7x9 – 1x3x2 – 4x1x1 = 9 + 15 + 56 – 315 – 6 – 4
= 80 – 325 = – 245.
Teorema de Binet: Sendo A e B matrizes quadradas (nxn), então
det (AxB) = det A x det B
Ex: A=
→ det A = 3x2 – 0x1 = 6 e B =
det A+ det B = 6x2 = 12.
AxB ( multiplicação de matrizes) =
→ det B= 3x2 – 4x1= 2. Assim
→ det AxB = 9x8 – 12x5 = 12.
Exercícios:
1) Resolva os seguintes determinantes:
a) M =
b) M =
c) M =
2) Resolva pelo Teorema de Binet:
a) A =
eB=
det AxB =
b) C =
eD=
det CxD =
3) Resolva os determinantes das seguintes matrizes:
a) A =
.
b) B =
c) C =
d) D =
e) E =
f) F =
DESAFIO: (UFPI) Sejam A =
+ y é igual a:
(A) 2.
(B) 3.
(C) 4.
eB=
(D) 5.
e Dt =
. Se det A = 4 e det B = 2, então, x
(E) 6.
RELATÓRIOS DAS AULAS DE DETERMINANTES:
- Relatório 1
A aula do dia 01 de outubro de 2014 se procedeu de forma tranquila e
abrangente. Iniciamos a aula seguindo o plano de aula de determinantes, o que define o
que é determinante e quando podemos calculá-lo. Nesse momento foi preciso relembrar
o significado de matriz quadrada nxn que é quando o numero de linhas é igual ao
numero de colunas da matriz. Após isso, exemplificamos o caso da matriz de ordem 1,
onde o seu determinante é seu único elemento. Até aí os alunos interagiram muito bem.
Após isso, fomos para o caso de matrizes de ordem 2. Explicamos como se
procederia o cálculo de determinantes de matriz desse tipo. Não fizemos uso de matrizes
genéricas, já que poderia ser um problema para os alunos trabalharem com outros
termos a não serem propriamente números. Além disso, reforçamos o conceito de
diagonal principal e secundária de uma matriz. Como os alunos não tiveram
dificuldades até então, demos continuidade à sequência didática do plano de aula.
O conceito de determinantes de matrizes transpostas foi bem entendido pelos
alunos após termos que retomar e exemplificar transpostas de matrizes. Para verificar se
os alunos realmente tinham entendido o conceito, propusemos alguns exemplos onde
era pra calcular o determinante de uma matriz transposta dada a matriz original e o
determinante da mesma. Essa sucessão não estava no plano de aula, porém foi algo que
surgiu durante a aula.
Depois disso, apresentamos o determinante de uma matriz que tivesse colunas
ou linhas nulas, ou seja, onde todos os coeficientes eram zero. Para que a ideia fosse
melhor entendida, passamos um exemplo de matriz de ordem 2 onde uma coluna era
nula e a outra eram coeficientes altos ou números irracionais. Deixamos um tempo para
os alunos tentarem resolver, alguns entenderam que era zero pela definição, outros
efetuaram as contas para descobrir isso.
Dando sequência ao assunto, explicamos o procedimento para calcular
determinantes de matrizes quadradas de ordem 3. O método aplicado foi a Regra de
Sarrus. Tivemos novamente que reforçar a ideia de diagonais primárias e secundárias de
uma matriz quadrada de ordem 3. Os alunos compreenderam sem dificuldades.
Por ultimo, apresentamos o Teorema de Binet (det(AxB) = det(A)xdet(B)). Os
alunos não apresentaram dificuldades no entendimento do mesmo. Para que ficasse
mais dinâmico, apresentamos dois exemplos de determinantes da multiplicação de duas
matrizes quadradas. No primeiro, era proposto o determinante do produto de duas
matrizes, onde a primeira tinha uma coluna nula e a segunda apresentava coeficientes
irracionais e menores que zero. A ideia era que o aluno utiliza-se o Teorema de Binet e,
além disso, a definição de determinante de matriz que possui linha ou coluna nula.
Nenhum aluno procedeu como o desejado, todos calcularam o determinante da matriz
com coluna nula e o da matriz com coeficientes irracionais negativos. Ao corrigirmos o
exemplo no quadro, usamos a definição de determinante da matriz com coluna nula que
é zero, e perguntamos se precisaria calcular o determinante da outra para se obter o
determinante do produto das duas. Os alunos acharam interessante a proposta e pediram
alguns outros exemplos. Vale lembrar que essa ideia não estava descrita no plano de
aula e foi algo que surgiu durante a aplicação do mesmo.
Por fim, a aplicação foi abrangente, a maioria dos alunos conseguira entender
determinantes. No entanto, passamos exercícios para que os alunos praticassem.
- Relatório 2
Na turma que eu vou nas segundas- feiras, as definições já tinham sido apresentadas e
os exercícios dados para eles resolverem. Mas nenhum aluno tinha resolvido, então
corrigi alguns e passei outros exercícios de determinantes do livro da professora
Adriana e deixei eles tentarem resolver. O resultado foi bom, a turma demonstrou
interesse e tiraram dúvidas.
- Relatório 3
Na aula de determinantes dada para o segundo C foi passado a teoria no quadro e foi
explicado o conteúdo utilizando exemplos.
Logo após foi passado exercícios para eles resolverem e todos conseguiram resolver .
A teoria foi bem compreendida aparentemente os alunos não ficaram com dúvidas.
Além disso observou-se alguns alunos começaram a fazer perguntas interessantes.
O conteúdo foi terminado em duas aulas apenas a correção dos exércitos que não foi
concluída.
- Relatório 4
Participei de uma aula realizada pelo Bruno no 2ºD sobre determinantes. Primeiramente
o Bruno passou a definição de determinante e suas propriedades, depois passou
exemplos de exercícios resolvidos e após passou exercícios para os alunos resolverem
tanto de matrizes 2x2 quanto de matrizes 3x3.
Nessa aula os alunos entenderam muito bem a matéria, se interessaram pelo assunto, e
conseguiram resolver os exercícios.
Um fato interessante que aconteceu foi que, dado duas matrizes 3x3 era pedido o
resultado do produto delas, porém uma matriz possuía uma coluna nula. Todos os
alunos calcularam os determinantes das duas matrizes, mesmo uma sendo nula e
tínhamos acabado de passar uma propriedade para eles que nos mostrava que ao
observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são
iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero, logo eles não precisariam
calcular o determinante das duas matrizes pois se um determinante era nulo, qualquer
que fosse o outro determinante multiplicado pelo determinante nulo daria zero.
O Bruno deixou todos os alunos resolverem e após resolveu no quadro explicando
novamente essa propriedade.
PLANO DE AULA DE ESCALONADO DE SISTEMA LINEAR E
MATRIZES
Dados de identificação:
Instituição: Colégio Estadual Professora Maria Aguiar Teixeira.
Professora Supervisora: Adriana Vaz.
Professora / Bolsista: Juliana Rodrigues de Araújo.
Disciplina: Matemática.
Publico Alvo: Alunos do 2° ano do Ensino Médio.
Turmas: C e D.
Turno: Manhã.
Tempo Estimado: Quatro aulas.
Recursos Didáticos: Quadro, Giz e a utilização da Metodologia de Resolução de
Problemas.
Conteúdos:
Sistemas Lineares Escalonados.
Escalonamento de um sistema linear.
Resolução de um sistema linear na forma escalonada.
Objetivo Geral:
Passar ao aluno a definição de um sistema escalonado através de exemplos.
Mostrar que um sistema escalonado é constituído por equações que se iniciam conforme
a posição correspondente de cada equação.
Apresentar técnicas para solução de um sistema linear escalonado.
Apresentar técnicas para transformar um sistema linear não escalonado em um sistema
escalonado.
Metodologia:
A metodologia abordada envolve a resolução de problemas e aulas expositivas, com uso
de recursos didáticos que facilitem o andamento das aulas. Além disso, fazer uso de
discussões acerca do contexto em que o assunto está inserido.
Tema:
Sistemas Lineares Escalonados.
Desenvolvimento do tema:
Inicialmente, retomar com o aluno o exemplo contextualizado já visto em sistemas de
equações lineares. Feito isto, propor que eles escalonem este sistema sem interferência
do professor, ao final discutir essa solução com todos e convidá-los a resolver este
sistema linear utilizando a definição abaixo.
Dizemos que um sistema linear S está na forma escalonada (ou, simplesmente, é
escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo,
aumenta de equação para equação.
Vejamos alguns exemplos para melhor entendermos:
Com isso, ler e através do diálogo interpretar o conteúdo do material entregue a cada
aluno.
Segue abaixo o material a ser distribuído.
RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA NA FORMA ESCALONADA
1° Número de equações igual ao número de variáveis, ou seja, neste caso o sistema terá
três equações e três variáveis (ou incógnitas).
Vamos encontrar o valor de cada variável (ou incógnitas), partindo da terceira equação
do sistema acima, encontraremos o valor de z:
3z = - 6, então, z = - 2
Substituindo o valor encontrado na segunda equação temos:
y + 2 (- 2) = - 3 → y - 4 = - 3 → y = 1
E finalmente, para encontrarmos o valor de x, basta substituir o valor de y e z na
primeira equação e:
x - 2y + z = - 5 → x - 2 (1) + (- 2) = - 5 → x - 4 = - 5 → x = - 1.
Assim, encontramos a solução do sistema que é (- 1, 1, - 2). E podemos classificá-lo de
(SPD), pois apresenta sempre uma única solução.
2° Número de equações menor que o número de variáveis ( ou incógnitas).
(i) Vamos identificar a variável que não aparece no inicio de nenhuma das equações,
chamada de variável livre. Neste caso a variável livre é z.
(ii) Transpomos a variável livre z para o segundo membro em cada equação e obtemos:
(iii) Se atribuímos valores para z, encontraremos um sistema determinado. E assim,
notaremos que o sistema dado tem infinitas soluções.
(iv) Então, façamos z = b ( b é um número real qualquer) e substituindo-o no nosso
sistema linear,
encontraremos o valor de x = - 2b + 6 e y = 1 + b de tal forma que a solução do sistema
é (- 2b + 6, 1 + b, b).
ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA
1° Passo: Para a primeira equação o coeficiente da primeira incógnita não pode ser nulo.
2° Passo: Anular o coeficiente da primeira incógnita, de tal forma que a equação
comece a partir do segundo coeficiente.
3° Passo: Para a terceira equação, devemos anular o coeficiente da primeira incógnita e
o da segunda, podendo então observar o que diz a definição: "...o número de
coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para
equação".
EXEMPLO:
Escalone e resolva o sistema
→ Em primeiro lugar, precisamos anular os coeficientes de x na segunda e terceira
equação.
→ Para isso, vamos multiplicar a primeira equação por (2), assim obtemos uma nova
equação: -2x + 2y - 4z = -18.
→ Agora, vamos somar essa nova equação com a segunda equação do sistema:
-2x + 2y - 4z = -18 (1° equação)
2x + y + z = 6 (2° equação)
Solução: 3y - 3z = -12 ( soma das duas)
Então o sistema passou por uma transformação, e agora ele ficou da seguinte forma:
Obs: Note que ainda temos que anular a primeira incógnita e a
segunda da terceira equação.
→ Vamos multiplicar a primeira equação por (-2) e assim obter: 2x - 2y + 4z = +18.
→ Somaremos com a terceira equação para obter:
2x - 2y + 4z = 18 (1° equação multiplicada por -2)
-2x - 2y + z = 1 (3° equação)
Solução: -4y + 5z = 19 ( soma das duas)
Obs: Note que anulamos a incógnita x da segunda e terceira
equação.
→ Vamos agora repetir o processo para anular o coeficiente da incógnita y.
→ Divida a segunda equação do sistema que acabamos de encontrar por (3).
→ Equação encontrada:
. Multiplique-a por (4).
→ Então teremos
.
→ Por fim, some com a ultima equação do sistema acima:
4y - 4z = -16
-4y + 5z = 19
Solução: z = 3 ( soma das duas)
► Portanto, o sistema na forma escalonada é
► Próximo passo é resolver este sistema já escalonado.
→ Como já sabemos o valor da incógnita z = 3, vamos substituir na segunda equação
para encontrar o valor de y:
y - 3 = -4
y=-4+3
y=-1
→ Agora vamos substituir o valor de y = -1 e z = 3 na primeira equação e encontrar o
valor de x:
- x + y - 2z = - 9
- x + (-1) - 2(3) = - 9
-x-7=-9
- x = - 2 ( multiplicando por (-1)
x=2
Logo, a solução do sistema é (2, -1, 3 ).
O tempo utilizado para a discussão de todo o conteúdo acima será de duas aulas, e a
outra parte desse tempo será utilizada para a discussão e resolução dos exercícios
propostos abaixo.
1) Verifique se cada um dos sistemas abaixo está escalonado e resolva-os.
a)
b)
c)
2) Resolva e classifique cada um dos sistemas escalonados:
a)
b)
RELATÓRIOS DAS AULAS DE ESCALONAMENTO:
- Relatório 1:
Iniciamos a aula do dia 18 de setembro de 2014 com a definição de sistema
escalonado, dando aos alunos uma explicação do por que se estudar esse tipo de
sistema, dizendo que seria necessário para desenvolver sistemas em que o método da
adição ou substituição não funcionasse. Citando alguns exemplos, os alunos disseram
ter compreendido o conceito principal e, a partir disso, escalonamos um sistema de
ordem 3x3 seguindo os passos do escalonamento. Vale lembrar que antes disso, tivemos
que retomar o conceito de linhas e incógnitas de um sistema linear.
Não seguimos o roteiro estabelecido no plano de aula. Por convenção da
professora supervisora e pela falta de tempo, primeiro escalonamos um sistema linear
3x3 e feito isso explicamos como se procederia a solução do mesmo. No plano didático,
a ideia era solucionar um sistema já escalonado primeiro e depois escalonar um sistema
e solucioná-lo.
Ao iniciarmos o processo de escalonamento, os alunos até respondiam algumas
perguntas que fazíamos, como por exemplo: o resultado da multiplicação de 2 por 2. Ao
longo do processo, os alunos ficaram perdidos e confusos, e até questionavam se não
poderiam resolver o sistema por adição ou substituição, métodos já vistos em aulas
anteriores. Novamente respondíamos que nem sempre seria possível, e que escalonar
poderia algo mais prático.
Como essa aula era a ultima da manhã, então os alunos começaram a ficar
agitados querendo ir pra casa, o que dificultou ainda mais o processo de escalonamento.
E como este se deu de forma lenta, a aula terminou sem que tivéssemos conseguido
terminar o mesmo.
-Relatório 2:
Participei de duas aulas realizadas pela Lueinne sobre sistemas lineares, uma no 2ºD e
outra no 2ºC. No 2ºD a Lueinne começou apresentando a definição e resolução de
sistemas lineares através do modo de escalonamento, e após passou alguns exemplos. A
Lueinne foi bem didática mas infelizmente o resultado esperado não foi alcançado, os
alunos tiveram muitas dificuldades, não entenderam o motivo de se escalonar um
sistema linear, pois achavam mais fácil resolver pelo modo de substituição. Além de
não entenderem o motivo de se escalonar um sistema, também tinham dificuldades em
saber as operações que precisavam ser feitas para o sistema ficar escalonado, e
cometiam muitos erros relacionados a “jogo de sinal”.
A professora Adriana achou que os exercícios propostos no plano de aula eram muito
difíceis para os alunos, e pediu para procurarmos alguns exercícios mais fáceis para
serem aplicados no 2ºC, porém, aconteceu a mesma dificuldade.
Nas duas salas foram passados exercícios para os alunos tentarem resolver. Alguns
alunos não tentaram fazer, outros resolveram com a nossa ajuda e poucos conseguiram
fazer sozinhos os exercícios.