Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA ESPACIAL I
2.3 – Entre ponto e plano
1 – COMO ESTUDAR GEOMETRIA
Dados um ponto
Só relembrando a primeira aula de Geometria
Plana, aqui vão algumas dicas bem úteis para
abordagem geral de uma questão de geometria:






Faça o desenho GRANDE! Desenhos
pequenos costumam ficar cheio de rabiscos e
complicados de se entender. Então, nada de
economizar
espaço...nada
de
ficar
aproveitando
a
figura
da
questão
(principalmente, se ela for pequena).


Dadas duas retas







A reta
está contida em
entre eles é uma reta;
A reta
é o plano
são
secantes), se a interseção
ponto;
A reta é paralela ao plano
entre eles é vazia;
Dadas dois planos


2.1 – Entre ponto e ponto
Coincidentes, se
Distintos, se e
e um plano :
, se a interseção
concorrentes (ou
entre eles é um
, se a interseção
2.6 – Entre plano e plano
2 – POSIÇÕES RELATIVAS


Coincidentes, se
(a interseção entre elas
é uma reta);
Concorrentes, se a interseção entre elas é um
ponto;
Paralelas distintas, se elas são coplanares
(pertencem ao mesmo plano) e a interseção
entre elas é vazia;
Reversas, se elas não são coplanares (não
pertencem ao mesmo plano);
Dados uma reta
Aprenda bem trigonometria com o Piti! Ela é
uma ferramenta muito poderosa em várias
questões de geometria.
Dados dois pontos
e , elas podem ser:
2.5 – Entre reta e plano
Sempre procure por triângulos equiláteros,
isósceles, semelhantes, ou retângulos. Eles
costumam facilitar a questão. Retas paralelas e
perpendiculares também costumam ser úteis.
No caso de Geometria Espacial, não é
necessário saber desenhar uma figura
tridimensional para resolver alguma questão. É
mais importante apenas enxergar a figura
tridimensional e a partir daí, desenhar as
figuras planas para resolver o problema.
pode pertencer ao plano ;
pode não pertencer ào plano ;
2.4 – Entre reta e reta
Capriche na figura. Não precisa ser
completamente igual ao que se pede (por
exemplo, não é necessário que se faça um
triângulo equilátero muito fiel ou uma
circunferência perfeita). Mas faça uma figura
legível para você conseguir enxergar os dados
da questão.
Marque os ângulos da figura. Aprendemos
como
buscar
o
valor
de
ângulos
desconhecidos. Use essas técnicas!
O ponto
O ponto
e um plano :

e , eles podem ser:
e , eles podem ser:
Coincidentes, se
(a interseção entre eles
é um plano);
Concorrentes, se a interseção entre eles é uma
reta;
Paralelos distintos, se a interseção entre eles é
vazia;
;
são diferentes;
2.2 – Entre ponto e reta


Dados um ponto e uma reta :
O ponto pode pertencer à reta ;
O ponto pode não pertencer à reta ;
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Geometria
1
3 – PROJEÇÃO ORTOGONAL (SOMBRA)
A projeção ortogonal (sombra) de um ponto
sobre um plano é a interseção
do plano com a
reta , onde
é a reta perpendicular ao plano que
passa por .
Exercício Resolvido 1:
No cubo abaixo, as retas formadas pelos
arestas são ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡ ,
⃡ , ⃡ . Entre elas, identifique:
a) As retas concorrentes com a reta ⃡
b) As retas paralelas à reta ⃡
c) As retas reversas com a reta ⃡
d) A projeção ortogonal do ponto sobre o quadrado
e) A projeção ortogonal da reta ⃡
Figura 1: projeção ortogonal do ponto
sobre o quadrado
f) projeção ortogonal da reta ⃡
sobre o plano
sobre o quadrado
A distância do ponto
ao plano
é o
comprimento do segmento
.
A projeção ortogonal (sombra) de uma figura
geométrica sobre um plano é a união das projeções de
todos os pontos da figura sobre o plano.
Isso está ilustrado nas figuras abaixo:
No cilindro reto abaixo, a projeção do centro
da base de cima é o centro da base de baixo.
Resolução:
As retas concorrentes com a reta ⃡
Figura 2: projeção ortogonal do ponto
sobre a base de baixo
Na pirâmide reta abaixo, a projeção do vértice
sobre o plano da base é o centro da base.
Figura 3: projeção ortogonal do vértice
Figura 4: projeção ortogonal do vértice
As retas paralelas à reta ⃡
são:
As retas reversas com a reta ⃡
são:
A projeção ortogonal do ponto
é
sobre o quadrado
A projeção ortogonal da reta ⃡
sobre o quadrado
A projeção ortogonal da reta ⃡
sobre o quadrado
sobre a base
No cone reto abaixo, a projeção do vértice
sobre o plano da base é o centro da base.
2
são:
sobre a base
Geometria
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Nível II
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
5. Atividade Proposta nº 2, Geometria Espacial I
1. Atividade Proposta nº 6, Geometria Espacial I
6. (FUVEST - 09) O ângulo
2. (UNIFESP - 09) Considere o sólido geométrico
exibido na figura, constituído de um paralelepípedo
encimado por uma pirâmide. Seja a reta suporte de
uma das arestas do sólido, conforme mostrado.
e
é tal que
√
formado por dois planos
. O ponto
pertence a
distância de a vale . Então, a distância de
intersecção de e é igual a:
a) √
b) √
c) √
d) √
ea
à reta
e) √
7. Atividade Proposta nº 3, Geometria Espacial I
8. (ESPCEX - 12) Considere um plano
, , e tais que
Quantos pares de retas reversas é possível formar com
as retas suportes das arestas do sólido, sendo r uma
das retas do par?
a)
b)
c)
d)
e)
3. (UNIFESP - 03) Dois segmentos dizem-se reversos
quando não são coplanares. Neste caso, o número de
pares de arestas reversas num tetraedro, como o da
figura, é
a)
b)
c)
d)
e os pontos
– O segmento
tem
de comprimento e está
contido em
– O segmento
tem
de comprimento, está
contido em e é perpendicular a
.
– O segmento
tem
de comprimento e é
perpendicular a
Nessas condições, a medida do segmento
é
a)
e)
b)
c)
d)
9. (ESPCEX - 13) O sólido geométrico abaixo é
formado pela justaposição de um bloco retangular e
um prisma reto, com uma face em comum. Na figura
estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do
prisma.
e)
4. (ESPM - 12) Na figura plana abaixo,
é um
quadrado de área
. Os segmentos
e
medem
cada. Essa figura deverá ser dobrada nas
linhas tracejadas, fazendo com que os pontos
e
coincidam com um ponto do espaço.
Considere os seguintes pares de retas definidas por
pontos dessa figura: as retas ⃡ e ⃡ as retas ⃡ e ⃡
e as retas ⃡ e ⃡ As posições relativas desses pares
de retas são, respectivamente,
A distância desse ponto
ao ponto
c) √
d) √
a)
b)
CASD Vestibulares
é igual a:
e)
a) concorrentes; reversas; reversas.
b) reversas; reversas; paralelas.
c) concorrentes, reversas; paralelas.
d) reversas; concorrentes; reversas.
e) concorrentes; concorrentes; reversas.
√
Geometria
3
10. (ENEM - 12) João propôs um desafio a Bruno, seu
colega de classe: ele iria descrever um deslocamento
pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a
projeção desse deslocamento no plano da base da
pirâmide.
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela
pirâmide, sempre em linha reta, do ponto ao ponto ,
a seguir do ponto ao ponto , e depois de a .
O desenho que Bruno deve fazer é
11. (ENEM - 13) Gangorra é um brinquedo que
consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e
fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo,
duas pessoas sentam-se nas extremidades e,
alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo
descer a extremidade oposta, realizando, assim, o
movimento da gangorra.
Considere a gangorra representada na figura, em que
os pontos e são equidistantes do pivô:
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos
e ,
sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se
encontra em movimento, é:
a)
a)
b)
c)
b)
c)
d)
e)
d)
e)
12. (FATEC - 06) O ponto pertence à reta , contida
no plano . A reta , perpendicular a , o intercepta no
ponto . O ponto pertence a e dista √
de .
Se a projeção ortogonal de ̅̅̅̅ em mede
eo
ponto dista
de , então a distância de a , em
centímetros, é igual a
a) √
b)
c)
d)
e) √
13. Atividade Proposta nº 9, Geometria Espacial I
14. Atividade Proposta nº 1, Geometria Espacial I
15. Atividade para Sala nº 4, Geometria Espacial I
4
Geometria
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5. Como
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
A figura do triângulo
1. A figura do problema é a seguinte:
Seja
a projeção ortogonal de
Então
. Além disso,
O ângulo entre a reta ⃡ e o plano
dista
sobre o plano
do plano ,
é a seguinte:
.
é o ângulo
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
2. A figura do problema é a seguinte:
A figura do triângulo
é a seguinte:
Sejam
a base de baixo do paralelepípedo,
a base da pirâmide e o vértice da pirâmide.
Note que as retas ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡ são concorrentes
⃡ e as retas ⃡ , ⃡ , ⃡ , são paralelas
com a reta
⃡
⃡
à reta
. Logo as retas reversas à reta
são ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡ , ⃡
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
3. No tetraedro, não existem arestas paralelas. Note
que cada aresta é concorrente com outras arestas e
é reversa com a última aresta. Por exemplo, a aresta
é concorrente com as arestas
,
,
,
eé
reversa com a aresta
. Como o tetraedro tem
arestas, elas podem ser divididas nos seguintes pares
de arestas reversas:
e
,
e
,
e
.
A figura do triângulo
:
é a seguinte:
4. A figura do problema é a seguinte:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
Como a área do quadrado
é
, o seu lado
é
. Assim, a diagonal
é
√
. Use Pitágoras no
√
√ √
√
triângulo retângulo
.
CASD Vestibulares
Geometria
5
6. A figura do problema é a seguinte:
8. A figura do problema é a seguinte:
Seja
a projeção ortogonal de
sobre . Como a
distância de
a
vale ,
. Sejam
a reta
interseção de e e o ponto de mais próximo de
. Então a distância de à reta é
√
√
√
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
√
7. Considere que o plano de baixo é o plano , o plano
de cima é o plano ,
,
,
,
. Sejam
e
as projeções ortogonais de e sobre o plano
, respectivamente. Então as projeções ortogonais de
e
sobre o plano são
e
. Sejam
e
. Então:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
√
Seja
a distância entre os planos
.
e
. Então
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
√
A figura do problema é a seguinte:
9. Note que o quadrilátero
é um paralelogramo.
⃡
⃡
As retas
e
são as retas suportes das diagonais
e
do paralelogramo, logo elas se encontram no
centro do paralelogramo e são concorrentes.
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
(
(
As retas ⃡ e ⃡ pertencem ao plano do pentágono
(face direita do bloco), logo elas não são
reversas. Além disso, elas também não são paralelas.
Logo, as retas ⃡ e ⃡ são concorrentes.
O ponto
não pertence ao plano que contém os
pontos , , , logo as retas ⃡
e ⃡
não são
coplanares. Logo, as retas ⃡ e ⃡ são reversas.
10. Seja o centro do quadrado
. Note que
projeção ortogonal de sobre o quadrado
.
)
)
Como o primeiro trecho do caminho é o segmento
a projeção do primeiro trecho é o segmento
.
Como o segundo trecho do caminho é o segmento
a projeção do segundo trecho é o segmento
Como o terceiroo trecho do caminho é o segmento
a projeção do trecho trecho é o segmento
éa
,
,
,
Logo Bruno deve desenhar o caminho
6
Geometria
CASD Vestibulares
11. A figura do problema é a seguinte:
13. Seja
o triângulo isósceles de base
. Seja
a altura relativa à base
. Seja
a projeção
ortogonal de sobre o plano do triângulo
. Seja
a distância entre e o plano do triângulo. Logo
,
,
A figura dos triângulos
De acordo com a figura, segue que a projeção
ortogonal da trajetória dos pontos e sobre o chão
da gangorra, corresponde aos segmentos
e
12. Seja
a projeção ortogonal de sobre a reta .
Então a projeção ortogonal de
sobre a reta é
,
logo
. Como o ponto
dista
de ,
.
A figura do triângulo
:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
Seja
,
. Como
é a altura relativa à base
também é mediana. Logo
.
é a seguinte:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
é a seguinte:
:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
√
(
é a seguinte:
(
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
√
CASD Vestibulares
é a seguinte:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
A figura do triângulo
A figura do triângulo
e
:
)
)
:
( √ )
Geometria
7
14. Seja o centro do triângulo equilátero
. Então
é o raio
da circunferência circunscrita.
Relembrando o arquivo “Geomtria Plana X”, tem-se:
√
√
√
A figura do triângulo
A figura do círculo é a seguinte:
√
é a seguinte:
Seja
o raio do círculo. Como
é ponto médio,
. Fazendo Pitágoras no triângulo
:
√
√
√
√ √
A distância entre
e
GABARITO
é o valor de
15. Sejam o centro do círculo e o ponto médio de
. Como a projeção ortogonal de
sobre
é , a
distância entre
e
é
. Além disso, como
,
. Logo o triângulo
é isósceles
de base
. Logo a mediana
em relação à base
também é a altura.
A figura do triângulo
é a seguinte:
1. B
2. C
3. B
4. A
5. C
6. C
7. C
8. A
9. E
√
√
A figura do triângulo
10. C
√
11. B
é a seguinte:
12. B
13. C
14. C
15. E
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
( √
8
:
)
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