16a : aula (1h) — 29/10/2010 Duas maneiras de determinar um subespaço vectorial 16-1
Instituto Superior Técnico
Álgebra Linear 1o ano
2010/11 –1o semestre
das Lics. em Engenharia Inform ática e de Com putadores
Duas maneiras de determinar um sub-espaço vectorial
A)
espaço vectorial LK (V; W )
o conjunto das aplicações lineares T : V ! W entre K-espaços vectoriais é
designado por LK (V; W ); trata-se de um K-espaço vectorial, quando munido
das operações '+ e ' (onde '; estão em LK (V; W ) e está em K) de…nidas
(para qualquer x em V ) através de:
1) (' + )(x) = '(x) + (x)
2) ( ')(x) = ('(x))
Note-se que sendo U; V; W espaços vectoriais e sendo S 2 LK (U; V ) e T 2
LK (V; W ) tem-se T S 2 LK (U; W ).
endomor…smo linear ou operador linear: é um elemento de LK (V; V );
este conjunto designa-se por EndK (V ) ou ainda por LK (V ).
automor…smo linear: é um endomor…smo linear bijectivo; o conjunto dos
automor…smos de V designa-se por AutK (V ).
isomor…smo linear: é uma aplicação linear bijectiva; existindo um isomor…smo linear entre V e W escreve-se V ' W ; esta notação sugere que se trata
quase de uma igualdade, passando-se bijectivamente de V para W através de
um isomor…smo como se de um dicionário se tratasse.
Observação importante:
1) Sendo V um espaço vectorial de dimensão …nita n sobre K e …xando um referencial
(v1 ; : : : ; vn ) de V obtém -se um isomor…smo de V sobre K n que a cada x 2 V tal
que x = 1 v1 + : : : + n vn associa as coordenadas ( 1 ; : : : ; n ) 2 K n do vector x 2 V
relativamente ao referencial (v1 ; : : : ; vn ).
2) Sendo V um espaço vectorial de dimensão …nita n sobre K e sendo W um espaço
vectorial de dimensão …nita m sobre K, …xando um referencial (v1 ; : : : ; vn ) de V e
…xando um referencial (w1 ; : : : ; wm ) de W obtém -se um isomor…smo de LK (V; W )
sobre M(m n; K) que a cada T 2 V associa a matriz A 2M(m n; K) da aplicação
linear T relativamente aos referenciais (v1 ; : : : ; vn ) e (w1 ; : : : ; wm ).
núcleo e imagem de uma aplicação linear T : dada uma alicação linear
T : V ! W entre dois K-espaços vectoriais o seu núcleo é o conjunto ker T =
fx 2 V : T (x) = 0g e a sua imagem é o conjunto im T = fy 2 W : existe
x 2 V tal que y = T (x)g; trata-se de dois sub-espaços de V e W respectivamente;
T será injectiva se e só se ker T = f0g e T será sobrejectiva se e só se im T = W:
forma linear: sendo V um K-espaço vectorial chama-se K-forma linear
(ou apenas forma linear) a qualquer aplicação linear ' : V ! K, ou seja que '
tem o corpo K como conjunto de chegada.
Observação:
1) Sendo U; V; W espaços vectoriais de dimensão …nita sobre K, respectivamente,
16a : aula (1h) — 29/10/2010 Duas maneiras de determinar um subespaço vectorial 16-2
dimK U = p; dimK V = n e dimK W = m, …xe-se referenciais (u1 ; : : : ; up ), (v1 ; : : : ; vn )
e (w1 ; : : : ; wm ) respectivamente em U; V e W ; então sendo S 2 LK (U; V ) e T 2
LK (V; W ) representadas relativamente a esses referenciais respectivamente pelas matrizes A 2 M(p m; K) e B 2 M(m n; K) então a matriz representando T S 2
LK (U; W ) relativamente a esses referenciais é a matriz produto AB 2 M(p n; K).
2) Sendo V; W espaços vectoriais de dimensão …nita sobre K, respectivamente, dimK V =
n e dimK W = m, …xe-se referenciais (v1 ; : : : ; vn ) e (w1 ; : : : ; wm ) respectivamente em
V e W ; então sendo T 2 LK (V; W ) representada relativamente a esses referenciais
pela matriz A 2 M(m n; K), a matriz representando T t 2 LK (W 0 ; V 0 ) relativamente aos referenciais duais daqueles é a matriz transposta de A ou seja a matriz
At 2 M(n m; K) que se obtém de A tomando como linhas as colunas de A.
B)
Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K, sendo V de dimensão
…nita e seja L
V um seu sub-espaço; L pode ser de…nido de duas maneiras
particularmente úteis:
1) Através de um conjunto …nito de geradores: L = v1 ; : : : ; vk .
2) Como núcleo de uma aplicação linear: L = ker T onde T 2 LK (V; W ).
Por vezes é mais conveniente descrever um sub-espaço L de V de uma destas
maneiras e por vezes da outra maneira; vejamos como se passa de uma descrição
para a outra.
Note-se que uma vez …xados referenciais em V e em W basta considerar o
caso em que V = K n ; W = K m e T é uma aplicação linear representada por
uma matriz A 2 M(m n; K).
Faremos uma análise prática do problema através de exemplos.
1) No R-espaço vectorial R5 considere-se L = v1 ; v2
onde v1 = (1; 3; 2; 2; 3) e
v2 = (1; 4; 3; 4; 2). Se for v = (x; y; z; s; t) 2 L este vector terá de ser uma combinação
linear de v1 e de v2 e portanto ao condensar a matriz a seguir indicada há-de poder
obter-se
uma linha de zeros
2
3 como
2 última linha:
3
1 3
2 2 3
1
3
2
2
3
4 1 4
4 0
5
3 4 2 5
1
1
2
1
x y
z
s t
0
3x + y 2x + z
2x + s
3x + t
2
3
1 3
2
2
3
4 0 1
5
1
2
1
0 0
(3x y) + 2x + z 2(3x y) 2x + s
(3x y) 3x + t
2
3
1 3
2
2
3
4 0 0
5
2
0
2
0 0
x + y + z 4x 2y + s
6x + y + t
As coordenadas do vector v = (x; y; z; s; t) terão de satisfazer
2
3 portanto:
x
8
2
3
2
3
7
x+y+z =0
1
1
1 0 0 6
0
<
6 y 7
7 4 0 5.
4x 2y + s = 0
2 0 1 0 56
ou seja 4 4
6 z 7=
:
6x + y + t = 0
6
1
0 0 1 4 s 5
0
t
2
3
x
2
3
6 y 7
1
1
1 0 0
6
7
5
7
2 0 1 0 5e =6
Pondo A = 4 4
6 z 7vem L = ker T onde T : R !
4 s 5
6
1
0 0 1
t
16a : aula (1h) — 29/10/2010 Duas maneiras de determinar um subespaço vectorial 16-3
R3 é dada em escrita matricial por 7! T ( ) = A .
2) No R-espaço vectorial R5 considere-se L = ker T onde T : R5 ! R3 é dada em
escrita matricial por 7! T ( ) = A sendo A e como atrás; para determinar uma
base de L = kerT = f 2 R5 : T ( ) = 0g basta determinar uma base do sub-espaço
das soluções do sistema A = 0 (onde 0 é o vector nulo de R3 ); para resolver o sistema
pode (por exemplo) 3proceder-se
condensando a3 matriz
A:
2
2
2
3 2
4
2
4
1
4
6
1
2
1
1 1
0
1
0
0
2
1
0
0
1
2
4
0
1
0
0
1
2
5
2
0
1
0 5 4 0
1
0
3 2
1
0
0 5 4 0
1
0
1
1
0
2
4
1
5
6 0
1 1
0
3
1 0
4
5
0 4
2
3
0
1
1
0 5 4 0
2
1
0
5
3 2
0
1 0
1 5 4
0
1
2
1
0
0
1
4
6
1
0
1
0
1
0
3
4
3
4
5
8
0
0 5
1
1
2
1
2
1
4
4
3
5
1
0
0
2
4
1
1
5
1
0
0
0
1
0
1
1
1 0 0
8
4
3
1 5
4 0 1 0
ou seja: x = 18 s + 14 t, y = 34 s + 21 t, z = 58 s 14 t.
4
2
1
5
0 0 1
8
4
Para determinar uma base do do conjunto das soluções do sistema basta por exemplo
escolher s = 1 e t = 0 obtendo-se u1 = ( 18 ; 43 ; 58 ; 1; 0) e escolher s = 0 e t = 1 obtendose u2 = ( 14 ; 12 ; 14 ; 0; 1); os vectores w1 = (1; 6; 5; 8; 0) e w2 = (1; 2; 1; 0; 4) também
constituem naturalmente uma base para L tendo-se portanto: L = w1 ; w2 .
Nota: O sub-espaço L = v1 ; v2 onde w1 = (1; 6; 5; 8; 0) e w2 = (1; 2; 1; 0; 4)
também se escreve na forma L = v1 ; v2
onde v1 = (1; 3; 2; 2; 3) e v2 = (1; 4; 3; 4; 2);
os vectores v1 e v2 correspondem às soluções do sistema obtidas respectivamente com
s = 2; t = 3 e s = 4 e t = 2.
1
2
6
0
0
1
0
1
2
0
1
8
3
4
5
8
3
0
0 5
1
1
4
1
2
1
4
3
5