F-128 – Física Geral I
Aula Exploratória
Cap. 3
username@iﬁ.unicamp.br Soma de vetores usando componentes
cartesianas

A= Axiˆ+ Ay ˆj
Se 
B = Bx iˆ + B y ˆj,
y   
o vetor C = A + B será dado em 
C
By
componentes cartesianas por: 
ˆ + (B iˆ + B j)
ˆ
C = (Axiˆ + Ay j)
x
y
Ay
= (A + B )iˆ + (A + B )jˆ
x
x
y

B

A
y
= C xiˆ +C y jˆ
C x = Ax + Bx
onde: C = A + B
y
y
y
F128 – 2o Semestre de 2012 Ax
Bx
x 2 Produto escalar de dois vetores
Definição:
 
A·B = AB cos(θ)
 
onde θ é o ângulo formado entre as direções de A e B .

Geometricamente,
projeta-se A

na direção de B e multiplica-se
por B (ou vice-versa). Então:
 
A⋅ B = ( A cosθ ) B = ( B cosθ ) A

A
θ
A cos!

B
B
F128 – 2o Semestre de 2012 3 Propriedades do produto escalar
O produto escalar é
comutativo:
 
 
A·B = B·A
O resultado do produto escalar entre dois vetores é
um escalar.
F128 – 2o Semestre de 2012 4 Produto escalar usando componentes
Devido à distributividade do produto escalar de dois
vetores, podemos escrevê-lo em termos das suas compo
nentes cartesianas:
 
A⋅ B = ( Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ ) ⋅ ( B x iˆ + B y ˆj + Bz kˆ ) =
= Ax B x iˆ⋅iˆ + Ax B y iˆ⋅ ˆj + Ax Bz iˆ⋅kˆ +
= Ay B x ˆj ⋅iˆ + Ay B y ˆj ⋅ ˆj + Ay Bz ˆj ⋅kˆ +
= Az B x kˆ⋅iˆ + Az B y kˆ⋅ ˆj + Az Bz kˆ⋅kˆ
Mas como
teremos:
iˆ⋅ iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ⋅ kˆ = 1 e iˆ⋅ ˆj = iˆ⋅ kˆ = kˆ⋅ ˆj = 0 ,

A⋅B= Ax Bx + Ay By + Az BZ
F128 – 2o Semestre de 2012 5 Produto vetorial de dois vetores


Definição: o produto
vetorial de dois vetores A e B
 
  
representado por A× B , é um vetor C = A × B tal que:

C
i) a direção de é perpendicular
 
ao plano formado por A e B ;

C

B
θ
ii) o seu módulo é igual à área
 
do paralelogramo formado por A e B

A
C = A B sen θ

B
iii) o seu sentido obedece à regra da
mão direita (figura) ou do saca-rolhas.
θ

A

−C
F128 – 2o Semestre de 2012 6 O produto vetorial e o determinante
 
Outra forma de se escrever o produto vetorial de dois vetores A e B é através do determinante da matriz formada pelos versores iˆ, ĵ e k̂ e
 
pelas componentes cartesianas dos vetores A e B ao longo das suas
linhas:
iˆ
Ax
Bx
ˆj
Ay
By
kˆ
Az =
Bz
= ( Ay Bz − Az B y ) iˆ + ( Az Bx − Ax Bz ) ˆj + ( Ax B y − Ay Bx ) kˆ
F128 – 2o Semestre de 2012 7 Exercício 01
Um avião segue a rota mostrada na figura. Primeiramente, ele voa da
origem do sistema de coordenadas até a cidade A, localizada a 175
km em uma direção que forma 300 com o eixo x. Em seguida, ele voa
153 km para noroeste, formando 200 com a direção y, até a cidade B.
Finalmente, ele voa 195 km na direção oeste até a cidade C.
a) determine a localização da cidade C em relação à origem.
Utilize a notação de vetores unitários.

b) determine o módulo e a direção de R .
Resp:
a)
Rx= ax+bx+cx= -95.3km
Ry= ay+by+cy= 232km
b) 250 km, 22,30 a noroeste
F128 – 2o Semestre de 2012 
R

R = ( −95,3iˆ + 232 ˆj ) km
8 Exercício 02


São dados dois vetores: a = 4,0iˆ − 3,0 ĵ e b = 6,0iˆ + 8,0 ĵ. Quais são:

a) o módulo de a?
 
b) o ângulo de a + b com iˆ ?
 
c) o módulo e o ângulo de b − a com ĵ ?
   
d) o ângulo entre as direções de b − a e a + b ?
Resp:

a =5
a)
b) θ = arccos (2 5 / 5)

c) b − a = 5 5 ; θ ≅10,3o
d) θ ≅53, 3o
F128 – 2o Semestre de 2012 9 Exercício 03
Quais operações abaixo são possíveis e quais são os resultados?
Explique o significado geométrico de d).
( )
b) ( 2iˆ ⋅ 3iˆ ) ⋅ 4 ĵ
c) ( 2iˆ ⋅ 4 iˆ ) × 3k̂
d) ( 2iˆ × 3 ĵ ) × 4 iˆ
e) ( 2iˆ × 3 ĵ ) ⋅ 4 k̂
a) 2iˆ ⋅ 3iˆ 4 ĵ
F128 – 2o Semestre de 2012 Resp:
a)  Possível. Resultado: 24 ĵ
b)  impossível multiplicar escalarmente um número por um vetor
c)  impossível multiplicar vetorialmente um número por um vetor
d)  possível. Resultado = 24 ĵ
e)  volume do paralelepípedo formado pelas arestas dos três vetores.
10 Exercício 04
Três vetores são orientados conforme a figura abaixo. Os módulos dos
vetores são u = w = 3 unidades e v = 6 unidades. O vetor v forma um
ângulo de θ = 30 o com o eixo x.
  
a) Escreva os vetores u, v e w, em função dosversores iˆ, ĵ e k̂;
  
b) Encontre o módulo, a direção e o sentido do vetor u + v + w ;

c) Qual o produto escalar entre v e ĵ ?
F128 – 2o Semestre de 2012 11 Exercício 05
Considere dois deslocamentos: um de módulo 3,0 m e outro de
módulo 4,0 m. Mostre de que maneira estes deslocamentos podem
ser combinados para produzir um deslocamento de módulo:
a)  máximo possível;
b)  mínimo possível;
c)  5,0 m.
d)  neste último caso, que ângulo a resultante forma com o
deslocamento de menor módulo?
Resp:
a) colocados paralelamente e com mesmo sentido
b) colocados paralelamente e com sentido contrário
c) colocados perpendicularmente
d) θ ≅ 53o
F128 – 2o Semestre de 2012 12 Exercício 06
São dados três vetores (em metros):

r1 = − 3,0iˆ + 3,0 ˆj + 2,0kˆ

r2 = − 2,0iˆ − 4,0 ˆj + 2,0kˆ

r3 = 2,0iˆ + 3,0 ˆj + 1,0kˆ
Determinar:
  
a)  r1 ⋅ ( r2 + r3 ) ;
  
b) r1 ⋅ ( r2 × r3 )
  
c) r1 × ( r2 + r3 )
Resp:
a) 3,0 m2
b) 52 m3
c) (11,0iˆ + 9,0 ˆj + 3,0kˆ) m 2
F128 – 2o Semestre de 2012 13